切線的判定與性質(zhì)

24.2直線和圓的位置關(guān)系第2課時切線的判定與性質(zhì)導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會判定一條直線是否是圓的切線并會過圓上一點(diǎn)作圓的切線.2.理解并掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.（重點(diǎn)）3.能運(yùn)用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理解決問題.（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課情境引入轉(zhuǎn)動雨傘時飛出的雨滴，用砂輪磨刀時擦出的火花，都是沿著什么方向飛出的？都是沿切線方向飛出的.

生活中?？吹角芯€的實(shí)例，如何判斷一條直線是否為切線呢？學(xué)完這節(jié)課，你就都會明白.ＯABC問題：已知圓O上一點(diǎn)A，怎樣根據(jù)圓的切線定義過點(diǎn)A作圓O的切線？觀察：（1）圓心O到直線AB的距離和圓的半徑有什么數(shù)量關(guān)系?（2）二者位置有什么關(guān)系？為什么？切線的判定定理一O講授新課經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.∵OA為⊙O的半徑且BC

⊥

OA于A∴BC為⊙O的切線ＯABC切線的判定定理符號語言O(shè)要點(diǎn)歸納判一判：下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請說明為什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因?yàn)闆]有垂直.(2),(3)不是，因?yàn)闆]有經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)A.

在此定理中，“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線.注意判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：1.定義法：直線和圓只有一個公共點(diǎn)時，我們說這條直線是圓的切線;2.數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；3.判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.lAlOlrd要點(diǎn)歸納例1：如圖,∠ABC=45°，直線AB是☉O上的直徑，點(diǎn)A,且AB=AC.求證：AC是☉O的切線.解析：直線AC經(jīng)過半徑的一端，因此只要證OA垂直于AB即可.證明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°.

∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.

∵AB是☉O的直徑，∴AC是☉O的切線.AOCB例2已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線.OBAC分析：由于AB過⊙O上的點(diǎn)C，所以連接OC，只要證明AB⊥OC即可.

證明：連接OC(如圖).∵OA＝OB,CA＝CB,

∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線.

∴AB⊥OC.

∵OC是⊙O的半徑,∴AB是⊙O的切線.

例3

如圖,△ABC

中，AB

＝AC

，O是BC的中點(diǎn)，⊙O

與AB

相切于E.求證：AC

是⊙O的切線．BOCEA分析：根據(jù)切線的判定定理，要證明AC是⊙O的切線，只要證明由點(diǎn)O向AC所作的垂線段OF是⊙O的半徑就可以了，而OE是⊙O的半徑，因此只需要證明OF=OE.F證明：連接OE，OA,過O作OF⊥AC.∵⊙O與AB相切于E

，∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，O是BC的中點(diǎn)．∴AO平分∠BAC，F(xiàn)BOCEA∴OE＝OF.∵OE是⊙O半徑，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是⊙O的切線．又OE⊥AB，OF⊥AC.(1)有交點(diǎn)，連半徑,證垂直;(2)無交點(diǎn)，作垂直,證半徑.證切線時輔助線的添加方法例1例2有切線時常用輔助線添加方法

見切點(diǎn)，連半徑，得垂直.切線的其他重要結(jié)論(1)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn);(2)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.要點(diǎn)歸納思考：如圖，如果直線l是⊙O

的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，那么OA與l垂直嗎？AlO∵直線l是⊙O

的切線，且A是切點(diǎn)，∴直線l⊥OA.切線的性質(zhì)定理二切線性質(zhì)

圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．符號語言1.如圖：在⊙O中，OA、OB為半徑，直線MN與⊙O相切于點(diǎn)B，若∠ABN=30°，則∠AOB=

.2.如圖AB為⊙O的直徑，D為AB延長線上一點(diǎn)，DC與⊙O相切于點(diǎn)C，∠DAC=30°，若⊙O的半徑長1cm，則CD=

cm.60°練一練

利用切線的性質(zhì)解題時，常需連接輔助線，一般連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解題.方法總結(jié)當(dāng)堂練習(xí)

1.判斷下列命題是否正確.⑴經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線.（）⑵垂直于半徑的直線是圓的切線.（）

⑶過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.（）⑷和圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線.（）⑸過直徑一端點(diǎn)且垂直于直徑的直線是圓的切線.（）

××√√√證明：連接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OBP=∠C.

∴OP∥AC.

∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.

∴PE為⊙O的切線.5.如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，PE⊥AC于E.

求證:PE是⊙O的切線.OABCEP切線的判定方法定義法數(shù)量關(guān)系法判定定理1個公共點(diǎn)，則相切d=r，則相切經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線