2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺-定義新運算提高練習(xí)

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺定義新運算提高練習(xí)

一、選擇題

1.若一個n位數(shù)中各數(shù)字的n次籍之和等于該數(shù)本身，這個數(shù)叫做“自戀數(shù)”.下面四個數(shù)中是“自戀數(shù)”

的是()

A.66B.153C.225D.250

2.如果三角形滿足一個角是另一個角的3倍，那么我們稱這個三角形為“智慧三角形”.下列各組數(shù)據(jù)

中，能作為一個智慧三角形三邊長的一組是()

A.1,2,3B.l,1,\f2C.l,1,5D.1,2,小

3.對于兩數(shù)a、b,定義運算：a*b=a+b—ab,則在下列等式中，正確的為()

①a*2=2*a;(2)(—2)*a=a*(—2);③(2*a)*3=2*(a*3);④0*a=a

A.①③B.①②③C.①②③④D.①②④

4.我們根據(jù)指數(shù)運算，得出了一種新的運算.

如表是兩種運算對應(yīng)關(guān)系的一組實例：

指數(shù)

252?=4"2‘=8#3三3~32=9.、3'=27》…小

運算7

新運

,3j

log2=l^log24=2*log8=3*log3=l^log?9二2-log27=3*???3

算，2223

根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫出了三個式子：

①log216=4;②log525=5;③log2().5=-1.其中正確的是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

5.對a,b定義運算“*”如下：a*b4a:,已知**3=-1,則實數(shù)x等于()

匕a-b(a<b).

A.lB.-2C.1或一2D.不確定

6.在有理數(shù)范圍內(nèi)定義運算“*”，其規(guī)則為a*b=；(2a+b),貝I］方程(2*3)(4*x)=49的解為()

A.-3B.55C.-56D.-55

7.對于點A(xi,yD、B(X2,y2),定義一種運算：A十B=(xi+x2)+(yi+y2).例如，A(-5,4),B(2,

-3),A十B=(-5+2)+(4-3)=-2.若互不重合的四點C,D,E,F,滿足C十D=D十E=E十F=F十D,

則C,D,E,F四點()

A.在同一條直線上

B.在同一條拋物線上

C.在同一反比例函數(shù)圖象上

D.是同一個正方形的四個頂點

8.對于兩個實數(shù)，規(guī)定max{a,b}表示a、b中的較大值，當(dāng)a>b時，max{a,b}=a,當(dāng)a<b時，max{a,

b}=b,例如：max{1,3}=3.則函數(shù)y=max{x2+2x+2,-x?—1}的最小值是()

A.lB.-1C.OD.2

二、填空題

9.李明同學(xué)開發(fā)了一種數(shù)值轉(zhuǎn)換程序，當(dāng)任意實數(shù)對(a,b)進入其中時，會得到一個新的實數(shù)：a'+

|b|-7r°,例如把(3,-1)放入其中，就會得到3-兀。=g.再將實數(shù)對(-1,3)放入其中，得到

實數(shù)m,再將實數(shù)對(m,2)放入其中，得到實數(shù)是_______.

10.請你規(guī)定一種適合任意非零實數(shù)a,b的新運算“a十b”，使得下列算式成立：

74

102=2?1=3,(-3)?(-4)=(-4)?(-3)=-g,(-3)十5=5十(-3)=-謳，.…你規(guī)定的新運算

aeb=(用含a,b的一個代數(shù)式表示).

11.我們知道，一元二次方程x2=-l沒有實數(shù)根，即不存在一個實數(shù)的平方等于-1,如果我們規(guī)定

一個新數(shù)“i”，使它滿足i2=-l(即x2=-l有一個根為i),并且進一步規(guī)定：一切實數(shù)可以與新數(shù)“i”

進行四則運算，且原有的運算律和運算法則仍然成立，于是有：i'=i,i2=-l,i3=i2?i=(_i)?i=—

i,i4=(i2)2=(-l)2=l,從而對任意正整數(shù)n,由于i4n=口4尸=4=1,j4n+1=[4,=].j=j,同理可得

j4n+2=_],i4n+3=_j,那么，j9=；j2026=.

12.經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩個小三角形，如果其中一個是等腰

三角形，另外一個三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”.如圖，

線段CD是△ABC的“和諧分割線”，Z1ACD為等腰三角形，4CBD和AABC相似，NA=46。，則

ZACB的度數(shù)為.

13.一?般地，當(dāng)a,P為任意角時，cos(a+B)與cos(a-0)的值可以用下面的公式求得cos(a+p)=cosa?cos0

-sina,sinp;cos(a-B)=cosa?cosB+sina?sinp.例如：cos90°=cos(300+600)=cos300,cos600-

sin30°?sin60°=2X2_2X2=0類似地，可以求得cosl5。的值是(結(jié)果保留根號).

14.定義運算：aXb=b-2a,下面給出了關(guān)于這種運算的四個結(jié)論：

①(-2)※(-5)=-1;②aXb=bXa;

③若a+b=0,貝|J(aXa)+(bXb)=0;④若3Xx=0,貝x=6.

其中，正確結(jié)論的序號是(填上你認為所有正確結(jié)論的序號).

三、解答題

15.定義［p,q］為一次函數(shù)y=px+q的特征數(shù).

(1)若特征數(shù)是［2,m+1］的一次函數(shù)為正比例函數(shù)，求m的值；

(2)已知拋物線y=(x+n)(x-2)與x軸交于點A、B,其中n〉0,點A在點B的左側(cè)，與y軸交于點C,

且AOAC的面積為4,0為原點，求圖象過A、C兩點的一次函數(shù)的特征數(shù).

16.閱讀以下材料：

對于三個數(shù)a,b,c,用M{a,b,c}表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用min{a,b,c}表示這三個數(shù)中最小

的數(shù).例如:

-1+2+341a(aS-1),

M{-1,2,3}="-=彳；min{-l,2,3}=—1;min{—1,2,a}=

3J［―1(a>—1).

解決下列問題：

⑴填空：如果min{2,2x+2,4—2x}=2,則x的取值范圍為;

(2)如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},求x.

17.對于平面直角坐標(biāo)系中任意兩點PI(XI,yi),P2(X2,y2),稱|xi—X2|+|yi—y2|為Pi,P2兩點的直角

距離，記作：d(Pi,P2).若Po(xo,yo)是一定點,Q(x,y)是直線y=kx+b上的一動點,稱d(P0,Q)

的最小值為Po到直線y=kx+b的直角距離.令Po(2,-3),。為坐標(biāo)原點.

⑴求d(0,Po);

(2)若P(a,—3)到直線y=x+l的直角距離為6,求a.

18.在平面直角坐標(biāo)系中，過一點分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成的矩形的周長與面積相等，

則這個點叫做和諧點.例如，圖中過點P分別作x軸、y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長

與面積相等，則點P是和諧點.

(1)判斷點M(l,2),N(4,4)是否為和諧點，并說明理由；

(2)若和諧點P(a,3)在直線y=-x+b(b為常數(shù))上,求點a,b的值.

abab12

19.閱讀材料：對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號的意義是d=ad-be例如:=lx4-2x3

cdc34

-24

=一2,=（一2）x5—4x3=-22.

35

56

(1)按照這個規(guī)定請你計算的值;

78

x+12x

⑵按照這個規(guī)定請你計算：當(dāng)x2—4x+4=0時,的值.

x-12x-3

20.通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定,

因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似地,可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義:

等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如圖1在△ABC中，AB=AC,頂角A的正對記作

sadA,這時sad容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.根據(jù)上

述角的正對定義，解下列問題：

(l)sad600=;

(2)對于0°<A<180°,ZA的正對值sadA的取值范圍是

3

(3)如圖2,已知sinA=；,其中NA為銳角，試求sadA的值.

參考答案

1.B

2.D

3.D

4.B

5.A

6.B

7.A.

8.A.

9.答案為：2.

2a+2b

10.答案為:ab

11.答案為：i,-1.

12.答案為：113?；?2。.

13.答案為：與返.

14.答案為：①③④

15.解：(1)由題意得m+1=0..*.m=-1.

(2)由題意得點A的坐標(biāo)為(-n,0),點C的坐標(biāo)為(0,-2n).

△OAC的面積為4,

??^xn,2n4,

n=2".點A的坐標(biāo)為(-2,0),點C的坐標(biāo)為(0,-4).

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b.

0=-2k+b,fk=-2,

**-4:b.,?b=-4.

???直線AC的解析式為y=-2x-4.

???圖象過A、C兩點的一次函數(shù)的特征數(shù)為[-2,-4].

16.解：(1)0<X<1;(2)x=l.

17>:(l)VPo(2,-3),O為坐標(biāo)原點，

???d(O,Po)=|O-2|十|O—(—3)|=5.

(2)VP(a,一3)到直線y=x+l的直角距離為6,

設(shè)直線y=x+l上一點Q(x,x+1),則d(P,Q)=6,

/.|a—x|+|—3—x—1|=6,即|a—x|+|x+4|=6,

當(dāng)a—xNO,xN—4時，原式=a—x+x+4=6,解得a=2;

當(dāng)a—x