2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)特殊平行四邊形綜合

特殊平行四邊形綜合

【知識(shí)回顧】

的平行四邊形叫做矩形。矩形的四個(gè)角都是，對(duì)角線。

個(gè)角是直角的四邊形式矩形，對(duì)角線相等的是矩形

相等的平行四邊形叫做菱形，菱形的條邊都相等，對(duì)角線，并且每條對(duì)角線平分.

,對(duì)角線的平行四邊形是菱形。

相等，并且有一個(gè)角是的平行四邊形叫做正方形，正方形的個(gè)角都是直角，四條邊都。

,并且，每條對(duì)角線平分一組。

是正方形，有一個(gè)角是直角的是正方形。

8.在線段、等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的共有個(gè)

【課堂精講】

1.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)D作DE〃AC,且DE=LAC,連接CE、0E,連接AE,交

2

0D于點(diǎn)F.若AB=2,ZABC=60°,則AE的長(zhǎng)為（）

A.V3B.癡.A/?D.2A/2

2.如圖，在正方形ABCD中，AD=5,點(diǎn)E、F是正方形ABCD內(nèi)的兩點(diǎn)，且AE=FC=3,BE=DF=4,貝ijEF的

長(zhǎng)為（）

A，微以yD-V2

3.我們規(guī)定：將一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“等積線”，等積線被這個(gè)平面圖

形截得的線段叫做該圖形的“等積線段”（例如三角形的中線就是三角形的等積線段）.己知菱形的邊長(zhǎng)為4,且

有一個(gè)內(nèi)角為60。，設(shè)它的等積線段長(zhǎng)為m,則m的取值范圍是（）

A.m=4或m=4?B.4WmW4V^C.2TWmW4

4.如圖，菱形ABCD中，AB=4,NA=60。，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)（不與A,B重合），作NEDF交BC于點(diǎn)E

且/EDF=60。，則4BEF周長(zhǎng)的最小值是（）

A.6B.4?C.4+5/3D.4+2遮

5.如圖，①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30。內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無縫隙）.若①②③④四個(gè)平行

四邊形面積和為14cm2,四邊形ABCD面積是lien?,則①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)總和為（）

A.48cmB.36cmC.24cmD.18cm

6.如圖，在正方形ABCD的對(duì)角線上取點(diǎn)E,使得NBAE=15。，連結(jié)AE,CE.延長(zhǎng)CE到E連結(jié)BF,使得

BC=BF.若AB=1,則下列結(jié)論：①AE=CE；②F到BC的距離為返；③BE+EC=EF；@SAAED=—⑤SA

_2412

EBF=Y3.其中正確的是（）

12

A.①③B.①③⑤C.①②④D.①③④⑤

7.如圖，在菱形ABCD中，AB=4,/A=120。，點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,CD,BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK

的最小值為（）

A.2B.2TC.4D.273+2

8.已知線段AB=6,C、D是AB上兩點(diǎn)，且AC=DB=1,P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊三角形

APE和等邊三角形PBF,G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，G點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為.

9.如圖，以直角三角形ABC的斜邊BC為邊在三角形ABC的同側(cè)作正方形BCEF,設(shè)正方形的中心為O,連

結(jié)A0,如果AB=4,A0=6圾，則AC=.

10.如圖，四邊形ABCD是菱形，ZBAD=60°,AB=6,對(duì)角線AC與BD相較于點(diǎn)。，點(diǎn)E在AC上，若OE=2

正，則CE的長(zhǎng)為

11.如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E,連接AE、BE、DE.過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P.若AE=AP=1,

PB=道.下列結(jié)論：①4APD絲AAEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為y；③EBJ_ED：④SAAPD+SAAPB=1+加;

⑤S止方形ABCD=4+加.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

12.如圖，一個(gè)正方形內(nèi)兩個(gè)相鄰正方形的面積分別為4和2,它們都有兩個(gè)頂點(diǎn)在大正方形的邊上且組成的圖

形為軸對(duì)稱圖形，則圖中陰影部分的面積為.

13.己知：如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4,它的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A,

D都不與原點(diǎn)重合），頂點(diǎn)B,C都在第一象限，且對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)P,連接OP.設(shè)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離

為d,則在點(diǎn)A,D運(yùn)動(dòng)的過程中，d的取值范圍是.

14.如圖，在四邊形紙片ABCD中，AB=AD,CB=CD,/B=/D=90。，ZA=135°.將紙片先沿直線AC對(duì)折,

再將對(duì)折后的圖形沿從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的直線裁剪，剪開后的圖形打開鋪平.若鋪平后的圖形中有一個(gè)是面積為

2圾的平行四邊形，則CD=.

15.如圖，已知矩形紙片ABCD,AB=4,BC=10,M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿折線BA-AD運(yùn)動(dòng)，以MP為折痕

將矩形紙片向右翻折，使點(diǎn)B落在矩形的邊上，則折痕MP的長(zhǎng).

16.若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，我們把這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)

四邊形叫做和諧四邊形.在四邊形ABCD中，AB=AD=BC,ZBAD=90°,AC是四邊形ABCD的和諧線，則/

BCD=.

17.如圖，矩形ABCD中，BC=2?,ZCAB=30°,E,F分別是AB,CD上的點(diǎn)，且BE=DF=2,連結(jié)AF、

CE.點(diǎn)P是線段AE上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH〃CE交AC于點(diǎn)H,設(shè)AP=x.

（1）請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀并證明；（2）用含x的代數(shù)式表示AH的長(zhǎng)；

（3）請(qǐng)連結(jié)HE,則當(dāng)x為何值時(shí)AH=HE成立？

【綜合提升練習(xí)】

18.如圖1,點(diǎn)O為正方形ABCD的中心.

(1)將線段0E繞點(diǎn)0逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,連結(jié)EF,AE,BF,請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖1(用

尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)；

(2)根據(jù)圖1中補(bǔ)全的圖形，猜想并證明AE與BF的關(guān)系；

(3)如圖2,點(diǎn)G是OA中點(diǎn)，AEGF是等腰直角三角形，H是EF的中點(diǎn)，NEGF=90。，AB=8,GE=4,AEGF

繞G點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角度，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中BH的最大值.

19.在如圖所示方格中，點(diǎn)A,B,C,D都在格點(diǎn)上，且AB=BC=2CD=4,P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，連AP,DP.

(1)設(shè)BP=x,用含字母x的代數(shù)式分別表示線段AP,DP的長(zhǎng)，并求當(dāng)x=2的時(shí)候，AP+DP的值；

(2)AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值.

20.已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，E為CD邊上的一點(diǎn)，連接AE,并以AE為對(duì)稱軸，作與4ADE成

軸對(duì)稱的圖形AAFE,延長(zhǎng)EF(或FE)交直線BC于G.

(1)求證：DE+BG=EG；ZEAG=45°；(2)設(shè)AB=1,GF=m,FE=n,求m+n+mn的值；

(3)若將條件中的“E為CD邊上的一點(diǎn)”改為“E為射線CD上的一點(diǎn)"，則(1)中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理

由.

21.如圖，直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是菱形，對(duì)角線OB在x軸正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,4加)，點(diǎn)

D為AB的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)。出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位，試解答下列問題：

(1)則菱形ABCO的周長(zhǎng)為；

(2)當(dāng)t=4時(shí)，求MA+MD的值；

(3)當(dāng)t取什么值時(shí)，使MA+MD的值最小？并求出它的最小值.

特殊平行四邊形綜合教師版

【知識(shí)回顧】

的平行四邊形叫做矩形。矩形的四個(gè)角都是，對(duì)角線。

個(gè)角是直角的四邊形式矩形，對(duì)角線相等的是矩形

相等的平行四邊形叫做菱形，菱形的條邊都相等，對(duì)角線，并且每條對(duì)角線平分。

,對(duì)角線的平行四邊形是菱形。

相等，并且有一個(gè)角是的平行四邊形叫做正方形，正方形的個(gè)角都是直角，四條邊都。

,并且，每條對(duì)角線平分一組。

是正方形，有一個(gè)角是直角的是正方形。

8.在線段、等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的共有個(gè)

【課堂精講】

1.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)D作DE〃AC,且DE=1AC,連接CE、OE,

2

連接AE,交OD于點(diǎn)F.若AB=2,ZABC=60°,則AE的長(zhǎng)為()

A.V3B.V5C.V?D.2>/2

【分析】先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直求出NCOD=90。，證

明四邊形OCED是矩形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC=AB,再根據(jù)勾股定理得出AE的長(zhǎng)度即可.

【解答】解：在菱形ABCD中，OC=LAC,AC±BD,

2

/.DE=OC,

?.?DE〃AC,

???四邊形OCED是平行四邊形，

VAC1BD,

二平行四邊形OCED是矩形，

'在菱形ABCD中，ZABC=60°,

.,.△ABC為等邊三角形，

，AD=AB=AC=2,OA=1AC=1,

2

在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD=屈復(fù)后=后不=我，

在RtaACE中，由勾股定理得：AE=〃c2+CE2M2+(花”瓜

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形

的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明四邊形是矩形是解決問題的關(guān)鍵.

2.如圖，在正方形ABCD中，AD=5,點(diǎn)E、F是正方形ABCD內(nèi)的兩點(diǎn)，且AE=FC=3,BE=DF=4,

則EF的長(zhǎng)為()

金.春)我

【分析】延長(zhǎng)AE交DF于G,再根據(jù)全等三角形的判定得出AAGD與aABE全等，得出AG=BE=4,

由AE=3,得出EG=1,同理得出GF=1,再根據(jù)勾股定理得出EF的長(zhǎng).

【解答】解：延長(zhǎng)AE交DF于G,如圖：

VAB=5,AE=3,BE=4,

...△ABE是直角三角形，

.?.同理可得4DFC是直角三角形，

可得4AGD是直角三角形，

，ZABE+ZBAE=ZDAE+ZBAE,

.,.ZGAD=ZEBA,

同理可得：NADG=NBAE,

在4AGD和4BAE中，

'NEAB=/GDA

，AD=AB，

NABE=NDAG

/.△AGD^ABAE（ASA）,

，AG=BE=4,DG=AE=3,

，EG=4-3=1,

同理可得：GF=L

/,EF=V12+12=V2,

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出EG=FG=1,再利用勾

股定理計(jì)算.

3.我們規(guī)定：將一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“等積線”，等積線

被這個(gè)平面圖形截得的線段叫做該圖形的“等積線段”（例如三角形的中線就是三角形的等積線

段）.已知菱形的邊長(zhǎng)為4,且有一個(gè)內(nèi)角為60。,設(shè)它的等積線段長(zhǎng)為m,則m的取值范圍是（）

A.m=4或2遙1fse4?D.2TWmW4

【分析】由題目所提供的材料信息可知當(dāng)菱形的“等積線段”和邊垂直時(shí)最小，當(dāng)“等積線段”為菱形

的對(duì)角線時(shí)最大，由此可得問題答案.

【解答】解：由“等積線段”的定義可知：當(dāng)菱形的“等積線段”和邊垂直時(shí)最小，

此時(shí)直線1LDC,過點(diǎn)D作DN±AB于點(diǎn)N,

則NDAB=60。，AD=4,

故DN=AD?sin600=2?,

當(dāng)“等積線段''為菱形的對(duì)角線時(shí)最大，

則DO=2,故AO=2^,即AC=4^,

則m的取值范圍是：2我

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，讀懂題意，弄明白”等積線段”的定義，并準(zhǔn)

確判斷出最短與最長(zhǎng)的“等積線段''是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，菱形ABCD中，AB=4,NA=60。，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)（不與A,B重合），作NEDF

交BC于點(diǎn)F,且/EDF=60。，則4BEF周長(zhǎng)的最小值是（）

A.6B.4佟.4+V3D.4+2正

【分析】只要證明△DBEg△DCF得出△DEF是等邊三角形，因?yàn)?BEF的周長(zhǎng)

=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,所以等邊三角形4DEF的邊長(zhǎng)最小時(shí)，ABEF的周長(zhǎng)最小，

只要求出4DEF的邊長(zhǎng)最小值即可.

【解答】解：連接BD,

'菱形ABCD中，ZA=60°,

/.△ADB與4CDB是等邊三角形，

/.ZDBE=ZC=Z60o,BD=DC,

,/ZEDF=60°,

.,.ZBDE=ZCDF,

rZDBE=ZC

在aBDE和4CDF中,NBDE=NCDF，

BD=CD

.,.△DBE^ADCF,

，DE=DF,ZBDE=ZCDF,BE=CF,

.,.ZEDF=ZBDC=60°,

.?.△DEF是等邊三角形，

,:ABEF的周長(zhǎng)=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,

等邊三角形4DEF的邊長(zhǎng)最小時(shí)，4BEF的周長(zhǎng)最小，

當(dāng)DEJ_AB時(shí),DE最小=2b，

...△BEF的周長(zhǎng)最小值為4+2遮，

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、最小值問題

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想解

決問題，所以中考?？碱}型.

5.如圖，①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30。內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無縫隙）.若①②

③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2,四邊形ABCD面積是lien?,則①②③④四個(gè)平行四邊形

周長(zhǎng)的總和為（）

A.48cmB.36cmC.24cmD.18cm

【分析】根據(jù)①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2,四邊形ABCD面積是lien?,可求出⑤

的面積，從而可求出菱形的面積，根據(jù)菱形的性質(zhì)可求出邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求出①②③④四個(gè)平行四邊

形周長(zhǎng)的總和.

【解答】解:由題意得:S?=S四邊杉ABCD-（Sq）+S②+S③+S④）=4cm-,

2

AS菱形EFGH=14+4=18cm2,

XVZF=30°,

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x,則菱形的高為Sin3(rx=3,

2

根據(jù)菱形的面積公式得：x?三=18,

2

解得：x=6,

菱形的邊長(zhǎng)為6cm,

而①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和=2(AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE)=2(EF+FG+GH+HE)

=48cm.

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)及平行四邊形的知識(shí)，難度較大，關(guān)鍵是求出菱形的面積，解答本

題需要用到平行四邊形的對(duì)角線平分平行四邊形的面積.

6.如圖，在正方形ABCD的對(duì)角線上取點(diǎn)E,使得NBAE=15。，連結(jié)AE,CE.延長(zhǎng)CE到F,

連結(jié)BF,使得BC=BF.若AB=1,則下列結(jié)論：

①AE=CE；②F到BC的距離為區(qū)；③BE+EC=EF；④SAAED=L+返；⑤SAEBF=豆.

241212

其中正確的是()

A.①③B.①③⑤C.①②④D.①③④⑤

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC,ZABD=ZCBD=45°,利用SAS證明△ABEgZ\CBE,

即可判斷①正確；過F作FHLBC于H,先求出NFBH=30。，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出FH,

即可判斷②錯(cuò)誤；在EF上取一點(diǎn)N,使BN=BE,由NBEN=60。，得出aNBE為等邊三角形，再

利用ASA證明4FBN絲ACBE,得出NF=EC,從而判斷③正確；過A作AMJ_BD交于M,根據(jù)

勾股定理求出BD,解直角4ADM與直角AAEM,求出AM、DM與EM的值，根據(jù)三角形的面

積公式求出SAAED=—DEXAM=—+,即可判斷④正確；根據(jù)SAEBF=SAFBC-SAEBC及SCBE=SA

2412A

ABE=SAABM-SzxAEM，求出SAEBF=Y5，進(jìn)而判斷⑤正確.

12

【解答】解：①?.?四邊形ABCD是正方形，

，AB=BC,NABD=NCBD=45。，

VBE=BE,

在4ABE和4CBE中，

/.△ABE^ACBE(SAS),

.,.AE=CE,

...①正確；

②過F作FHJ_BC于H.

VAABE^ACBE,

/.ZBAE=ZBCE=15O.

VBF=BC=1,

/.ZBFC=ZFCB=15°,

，NFBH=NBFC+NFCB=30。，

z.FH=1BF=1,

22

???②錯(cuò)誤；

③在EF上取一點(diǎn)N,使BN=BE,

又?:NBEN=NEBC+NECB=45°+15°=60°,

.?.△NBE為等邊三角形，

.".ZENB=60°,

又?.?NNFB=15。，

.,.ZNBF=45°,

又?.?/EBC=45°,

/.ZNBF=ZEBC,

又?；BF=BC,ZNFB=ZECB=15°,

在4FBN和ACBE中，

??.△FBN^ACBE(AAS),

，NF=EC,

故BE+EC=EN+NF=EF,

...③正確；

④過A作AM1BD交于M.

在直角AABM中，VZBAD=90°,AB=AD=1,

，BD=&,

在直角AADM中，VZAMD=90°,NADM=45。，AD=1,

，DM=AM=返，

2_

在直角AAEM中，VZAME=90°,ZAEM=60°,AM=返,

_2

.?.EM=M=返，

V36__

/.SAAED=IDExAM=1(返+返)x返=1+返，

22262412

...④正確；

(§)VBD=V2，AM=DM=返，EM=2Z1,

26

，BM=BD-DM=J2-返=返，BM-EM=返-返，

2226_

SAABE=SAABM-SAAEM=—BMeAM--EM*AM=-AM(BM-EM)=工義返義(返-返)=u

22222264

返

12

VAABE^ACBE,

??SAABE-SACBE—-—叵

412_

SAEBF=SAFBC-SAEBC=—X1X-(—-^3.)

2241212

...⑤正確.

故正確答案為①③④⑤.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，解直角三角形

等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度.準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在菱形ABCD中，AB=4,ZA=120°,點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,CD,BD上的任意

一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為()

A.2B.2V3C-4D.2折2

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P',連接PQ與BD的交點(diǎn)即為

所求的點(diǎn)K,然后根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知PQJ_CD時(shí)，

PK+QK的最小值，然后求解即可.

【解答】解：作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P，，作PQLCD交BD于K,交CD于Q,

VAB=4,ZA=120°,

二點(diǎn)P，到CD的距離為4X

2

.,.PK+QK的最小值為2遮，

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱確定最短路線問題，熟記菱形的軸對(duì)稱性和利用軸對(duì)稱確

定最短路線的方法是解題的關(guān)鍵.

8.已知線段AB=6,C、D是AB上兩點(diǎn)，且AC=DB=1,P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別

作等邊三角形APE和等邊三角形PBF,G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，G點(diǎn)移

動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為2.

【分析】分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H,易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出G為PH中點(diǎn)，則G

的運(yùn)行軌跡為三角形HCD的中位線MN.再求出CD的長(zhǎng)，運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出MN的長(zhǎng)度即

可.

【解答】解：如圖，分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H.

VZA=ZFPB=60°,

，AH〃PF,

VZB=ZEPA=60°,

；.BH〃PE,

四邊形EPFH為平行四邊形，

...EF與HP互相平分.

???G為EF的中點(diǎn)，

...G為PH中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動(dòng)過程中，G始終為PH的中點(diǎn)，所以G的運(yùn)行軌跡為三角形HCD

的中位線MN.

VCD=6-1-1=4,

，MN=2,即G的移動(dòng)路徑長(zhǎng)為2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形及中位線的性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)問題，是中考的熱點(diǎn).

9.如圖，以直角三角形ABC的斜邊BC為邊在三角形ABC的同側(cè)作正方形BCEF,設(shè)正方形的

中心為0,連結(jié)A0,如果AB=4,A0=6亞，則AC=16.

【分析】在AC上截取CG=AB=4,連接0G,根據(jù)B、A、0、C四點(diǎn)共圓，推出/AB0=NAC0,

證△BA0g/XCGO,推出0A=0G=6M，NA0B=NC0G,得出等腰直角三角形A0G,根據(jù)勾股

定理求出AG,即可求出AC.

【解答】解：在AC上截取CG=AB=4,連接0G,

?四邊形BCEF是正方形，ZBAC=90°,

，OB=OC,ZBAC=ZBOC=90°,

??.B、A、0、C四點(diǎn)共圓，

ABONACO,

?.?在△BAO和△CGO中

fBA=CG

<NBAO=NGCO，

OB=OC

.,.△BAO^ACGO,

，OA=OG=6M，ZAOB=ZCOG,

,/ZBOC=ZCOG+ZBOG=90°,

...ZAOG=ZAOB+ZBOG=90°,

即AAOG是等腰直角三角形，

由勾股定理得：AG={AO2+OG2=12,

即AC=12+4=16.

故答案為：16

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定

等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

10.如圖，四邊形ABCD是菱形，ZBAD=60°,AB=6,對(duì)角線AC與BD相較于點(diǎn)O,點(diǎn)E在

AC上，若OE=2/則CE的長(zhǎng)為5立或近.

【分析】由菱形的性質(zhì)證出4ABD是等邊三角形，得出BD=AB=6,OB=1BD=3,由勾股定理得

2

出OC=OA=JAB2_QB2=S即可得出答案.

【解答】解：???四邊形ABCD是菱形，

，AB=AD=6,AC±BD,OB=OD,OA=OC,

VZBAD=60°,

.?.△ABD是等邊三角形，

.*.BD=AB=6,

.,.OB=1BD=3,

2

/.OC=OA=7AB2-OB2=3>/3,

AC=2OA=6立，

?.?點(diǎn)E在AC上，OE=25,

當(dāng)E在點(diǎn)O左邊時(shí)CE=OC+273=573，

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)O右邊時(shí)CE=OC-243=43,

，CE=5蟲或?；

故答案為：5b或加.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由

勾股定理求出OA是解決問題的關(guān)鍵.

11.如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E,連接AE、BE、DE.過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P.若

AE=AP=1,PB=J^.下歹U結(jié)論：@AAPD^AAEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為M；(3)EB1ED；

@SAAPD+SAAPB=1+V6；⑤S正方形ABCD=4+加.其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③⑤.

【分析】①首先利用已知條件根據(jù)邊角邊可以證明aAPD絲^AEB；

②由①可得NBEP=90。，故BE不垂直于AE過點(diǎn)B作BF1AE延長(zhǎng)線于F,由①得NAEB=135。

所以NEFB=45。，所以AEFB是等腰Rt4,故B到直線AE距離為BF=?,故②是錯(cuò)誤的；

③利用全等三角形的性質(zhì)和對(duì)頂角相等即可判定③說法正確；

④由△APDgZ\AEB,可知SAAPD+SAAPB=SAAEB+SAAPB，然后利用已知條件計(jì)算即可判定；

⑤連接BD,根據(jù)三角形的面積公式得到SABPD=1PDXBE=2,所以SAABD=SAAPD+SAAPB+SABPD=2+

22

返，由此即可判定.

2

【解答】解：由邊角邊定理易知4APD之Z^AEB,故①正確；

由△APDgAAEB得，ZAEP=ZAPE=45°,從而NAPD=NAEB=135。，

所以NBEP=90。，

過B作BFLAE,交AE的延長(zhǎng)線于E則BF的長(zhǎng)是點(diǎn)B到直線AE的距離，

在4AEP中，由勾股定理得PE=M，

在4BEP中，PB=遂，PE=a，由勾股定理得：BE=?,

VZPAE=ZPEB=ZEFB=90°,AE=AP,

.?.NAEP=45°,

ZBEF=180°-45°-90°=45°,

.?.NEBF=45°,

，EF=BF,

在AEFB中，由勾股定理得：EF=BF=YI,

2

故②是錯(cuò)誤的；

因?yàn)椤鰽PDgAAEB,所以NADP=NABE,而對(duì)頂角相等，所以③是正確的;

由△APDgAAEB,

.?.PD=BE=?,

可知SAAPD+SAAPB=SAAEB+SAAPB=SAAEP+SABEP=工+1，因此④是錯(cuò)誤的;

22

連接BD,則SABPD=1PDXBE=1,

22

所以SAABD=SAAPD+SAAPB+SABPD=2+,

2

所以S正方形ABCD=2SAABD=4+5/5.

綜上可知，正確的有①③⑤.

【點(diǎn)評(píng)】此題分別考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形的面積及勾股定理，綜

合性比較強(qiáng)，解題時(shí)要求熟練掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)才能很好解決問題.

12.如圖，一個(gè)正方形內(nèi)兩個(gè)相鄰正方形的面積分別為4和2,它們都有兩個(gè)頂點(diǎn)在大正方形的邊

上且組成的圖形為軸對(duì)稱圖形，則圖中陰影部分的面積為a+之區(qū).

4~2

【分析】連接AC；由正方形的性質(zhì)和已知條件得出EF=M，GH=2,NEAF=NGCH=90。，由軸

對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出AE=AF,CG=CH,得出AM=LEF=Y2,CN=1GH=1,求出AC的長(zhǎng)，得出

222

正方形ABCD的面積，由大正方形的面積減去兩個(gè)小正方形的面積即可得出圖中陰影部分的面積.

【解答】解：如圖所示：連接AC；

正方形ABCD內(nèi)兩個(gè)相鄰正方形的面積分別為4和2,

，EF=&,GH=2,ZEAF=ZGCH=90°,

根據(jù)題意得：AE=AF,CG=CH,

.?.AM=LEF=返，CN=1GH=I,

222

AC=返+亞+2+1=予反+3，

22_

2

正方形ABCD的面積=J_AC2=L（色巨+3）=27+W2）

22242

???圖中陰影部分的面積=空+^^-4-2=務(wù)也；

4242

故答案為：3+迫.

42

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形面積的計(jì)

算方法；熟練掌握正方形的性質(zhì)，通過作輔助線求出對(duì)角線AC是解決問題的關(guān)鍵.

13.已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,它的頂點(diǎn)A在x軸的正半

軸上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A,D都不與原點(diǎn)重合），頂點(diǎn)B,C都在第一象限，且對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)P,

連接0P.設(shè)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d,則在點(diǎn)A,D運(yùn)動(dòng)的過程中，d的取值范圍是2VdW2史.

【分析】根據(jù)垂線段最短，A、0重合時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最小，為正方形ABCD邊長(zhǎng)的一半，

OA=OD時(shí)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最大，為PD的長(zhǎng)度，即可得解.

【解答】解：當(dāng)A、0重合時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最小，

d=lx4=2,

2

當(dāng)OA=OD時(shí)，點(diǎn)P至軸的距離最大，d=PD=2M，

?.?點(diǎn)A,D都不與原點(diǎn)重合，

.,.2VdW2a，

故答案為2VdW2M.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判

定，（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)垂線段最短判斷出最小與最大值的情

況是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在四邊形紙片ABCD中，AB=AD,CB=CD,NB=ND=90。，ZA=135°.將紙片先沿

直線AC對(duì)折，再將對(duì)折后的圖形沿從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的直線裁剪，剪開后的圖形打開鋪平.若鋪平

后的圖形中有一個(gè)是面積為2亞的平行四邊形，則CD=2+近或2+2遮.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合裁剪的方法得出符合題意的圖形有兩個(gè)，分別利用菱形的判定與性質(zhì)以及勾

股定理得出CD的長(zhǎng).

【解答】解：如圖1所不：

延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)N,過點(diǎn)A作ATLBE于點(diǎn)T,

當(dāng)四邊形ABED為平行四邊形，

VAB=AD,

...四邊形ABED是菱形，

VZABC=ZADC=90°,ZBAD=135°,AD〃BN,AB〃DE,

.,.ZABT=45°,NBAT=45°,ZABT=ZDEN=45°,ZEND=90°,

貝l」NNDE=45。，

四邊形ABCE面積為2圾，

設(shè)AT=x,則AB=BE=ED=亞x,

故血xXx=2?,

解得：x=V2（負(fù)數(shù)舍去），

則BE=ED=2,EN=M，

故DC=DN+NC=V^+揚(yáng)2=2+2M；

如圖2,

當(dāng)四邊形AECF是平行四邊形，

VAE=AF,

???平行四邊形AECF是菱形，

VZB=ZD=90°,ZBAD=135°,

?,.ZBCA=ZDCA=22.5°,

VAE=CE,

.,.ZAEB=45°,

.,.設(shè)AB=y,則BE=y,AE=&y,

,/四邊形AECF面積為2近，

，ABXCE=&y2=2M，

解得:y=我,故CE=2,BE=我,

則CD=BC=2+加,

綜上所述：CD的值為：2+圾或2+2證.

故答案為：2+2后或2+我.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換，剪紙問題以及勾股定理和平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出正

確圖形是解題關(guān)鍵.

15.如圖，已知矩形紙片ABCD,AB=4,BC=10,M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿折線BA-AD運(yùn)動(dòng)，

以MP為折痕將矩形紙片向右翻折，使點(diǎn)B落在矩形的邊上，則折痕MP的長(zhǎng)明列或2遂或4.

【分析】分三種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)B，落在AB邊上，②點(diǎn)B，落在AD邊上，③點(diǎn)B，與點(diǎn)C重合，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，分別畫出圖形進(jìn)行求解.

【解答】解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)B，落在AB邊上時(shí)，過M作MEJ_AD于E,可得四邊形ABME為矩

形，

，EM=AB=4,AE=BM,

又?.?BC=10,M為BC的中點(diǎn)，

二由折疊可得：B,M=BM=AE=5,

,

在RtaEMB，中，根據(jù)勾股定理得：BE=,y52_42=3,

，AB，=AE-B'E=2,

設(shè)BP=x,則AP=4-x,PB'=x,

在RCPAB，中，根據(jù)勾股定理得：PB,2=AP2+AB,2,

即x?=(4-x)2+22,

解得x=5,

2

...PB=2

2________

在RtaBMP中，根據(jù)勾股定理得：PM=^(1.)2+52=1^；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)B，落在AD邊上時(shí)，過M作ME_LAD于E,可得四邊形ABME為矩形，

，EM=AB=4,

XVBC=10,M為BC的中點(diǎn)，

,由折疊可得：B，M=BM=5,

(

在RtaEMB，中，根據(jù)勾股定理得：6￡=^52_42=3,

由AD〃BC可得，ZDPM=ZBMP,

由折疊可得，ZPMB^ZBMP,

/.ZDPM=ZPMB,,

.?.B'M=B'P=5,

：.PE=5-3=2,

在RtaPEM中，根據(jù)勾股定理得：PM=*7濯=2依；

③如圖，當(dāng)點(diǎn)B，與點(diǎn)C重合時(shí)，由NA=NB=NBMP=90。，可得四邊形ABMP為矩形，

止匕時(shí)，PM=AB=4.

綜上所述，折痕MP的長(zhǎng)為：譙或2遂或4.

故答案為：或2旄或4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換，需要注意

折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.解題時(shí)，常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x,然后根據(jù)折疊和軸

對(duì)稱的性質(zhì)，用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方

程求出答案.

16.若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，我們把這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的

和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形.在四邊形ABCD中，AB=AD=BC,ZBAD=90°,AC是四

邊形ABCD的和諧線，則NBCD=45°或90°或135°.

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出4ACD是等腰

三角形，從圖1,圖2,圖3三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30。的直角三角形

性質(zhì)就可以求出NBCD的度數(shù).

【解答】解：???AC是四邊形ABCD的和諧線，

.?.△ACD是等腰三角形.

VAB=AD=BC,

如圖1,當(dāng)AD=AC時(shí)，

，AB=AC=BC,NACD=NADC

.二△ABC是正三角形，

/.ZBAC=ZBCA=60°.

VZBAD=90°,

/.ZCAD=30°,

，NACD=NADC=75。，

.,.ZBCD=60o+75°=135°.

如圖2,當(dāng)AD=CD時(shí)，

.,.AB=AD=BC=CD.

VZBAD=90°,

，四邊形ABCD是正方形，

:.ZBCD=90°；

如圖3,當(dāng)AC=CD時(shí)，過點(diǎn)C作CELAD于E,過點(diǎn)B作BFLCE于F,

VAC=CD.CE_LAD,

.,.AE=1AD,ZACE=ZDCE.

2

■:ZBAD=ZAEF=ZBFE=90°,

...四邊形ABFE是矩形.

/.BF=AE.

VAB=AD=BC,

.,.BF=1BC,

2

?,.ZBCF=30°.

VAB=BC,

.,.ZACB=ZBAC.

VAB/7CE,

，NBAC=NACE,

，ZACB=ZACE=1ZBCF=15°,

2

?,.ZBCD=15°X3=45°.

綜上：/BCD的度數(shù)可能是：135。，90?；?5。

故答案為:45°或90°或135°.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及含30。角的直角三角形的

性質(zhì).此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用.

17.如圖，矩形ABCD中，BC=2?,NCAB=30。，E,F分別是AB,CD上的點(diǎn)，且BE=DF=2,

連結(jié)AF、CE.點(diǎn)P是線段AE上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH〃CE交AC于點(diǎn)H,設(shè)AP=x.

(1)請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀并證明；

(2)用含x的代數(shù)式表示AH的長(zhǎng)；

(3)請(qǐng)連結(jié)HE,則當(dāng)x為何值時(shí)AH=HE成立？

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出CA、AB的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的判定定理證明即

可；

(2)根據(jù)相似三角形的判定定理證明△APHs^AEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到迎=思，計(jì)

ACAE

算求出AH；

(3)作HGLAB于G,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AG、HG,根據(jù)勾股定理表示出HE,根據(jù)

題意列出方程，解方程即可.

【解答】解：(1)四邊形AECF是菱形.

?..四邊形ABCD為矩形，

.,.NB=90。，又BC=2^,NCAB=30。，

；.CA=2BC=4遂，AB=6,

VBE=2,

/.AE=AB-BE=4,CE=2=4,

VCF^AE,CF=AE=2,

二四邊形AECF是平行四邊形，又EA=EC=4,

...四邊形AECF是菱形；

(2)VPH^CE,

.".△APH^AAEC,

?AH_AP即AH一x

ACAE4734

解得，AH=?x；

(3)作HGLAB于G,

VAH=V3X,ZCAB=30°,

/.HG=2/^.x,AG=—x,

22

/.GE=AE-AG=4-lx,

2_________________

由勾股定理得，HE='HG2+GE2=J(亭^產(chǎn)+(4多產(chǎn)值?-⑵+16,

當(dāng)AH=HE時(shí)，V3x=73X2-12X+16，

解得,x=l,

3

則當(dāng)x=2時(shí)，AH=HE成立.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形的性質(zhì)、菱形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定，

靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)和定理、根據(jù)題意正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵，注意方程思想在解題中的應(yīng)

用.

【綜合提升練習(xí)】

18.如圖1,點(diǎn)0為正方形ABCD的中心.

(1)將線段0E繞點(diǎn)0逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,連結(jié)EF,AE,BF,請(qǐng)依題

意補(bǔ)全圖1(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)；

(2)根據(jù)圖1中補(bǔ)全的圖形，猜想并證明AE與BF的關(guān)系；

(3)如圖2,點(diǎn)G是OA中點(diǎn)，Z\EGF是等腰直角三角形，H是EF的中點(diǎn)，ZEGF=90°,AB=8,

GE=4,aEGF繞G點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角度，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中BH的最大值.

【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；

（2）延長(zhǎng)EA交OF于點(diǎn)H,交BF于點(diǎn)G,利用正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明^EOA之△FOB,

得至UAE=BF.根據(jù)等邊對(duì)等角得到NOEA=NOFB,由NOEA+/OHA=90。,所以NOFB+NFHG=90。,

進(jìn)而得到AE±BF.

（3）如圖3,當(dāng)B,G,H三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，BH的值最大，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AG=OG=

1AO=2^,根據(jù)勾股定理得到BG=^B02+0G2=2VT0.根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到GH=2?,

于是得到結(jié)論.

【解答】解：（1）如圖1所不：

（2）如圖2,延長(zhǎng)EA交OF于點(diǎn)H,交BF于點(diǎn)G,

V0為正方形ABCD的中心

/.OA=OB,NAOB=90。，

VOE繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90角得到OF,

.,.OE=OF

/.ZAOB=ZEOF=90°,

/.ZEOA=ZFOB,

'OE=OF

在AEOA和AFOB中，JNE0A=/F0B，

0A=0B

/.△EOA^AFOB,

/.AE=BF.

.,.ZOEA=ZOFB,

VZOEA+ZOHA=90°,

/.ZOFB+ZFHG=90°,

/.AE±BF；

（3）如圖3,當(dāng)B,G,H三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，BH的值最大，

?四邊形ABCD是正方形，AB=8,

.,.AO=BO=4&,

?.?點(diǎn)G是OA中點(diǎn)，

.,.AG=OG=±AO=2圾，

BG=7BO2+OG2=2師’

???△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中點(diǎn)，

VEG=4,

，EF=4&,

，GH=*EF=2加，

Z.BH=BG+GH=2標(biāo)+2如，

ABH的最大值是2丁62a.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵

是正確畫出圖形，作出輔助線，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)解

決問題.

19.在如圖所示的方格中，點(diǎn)A,B,C,D都在格點(diǎn)上，且AB=BC=2CD=4,P是線段BC上的動(dòng)

點(diǎn)，連結(jié)AP,DP.

（1）設(shè)BP=x,用含字母x的代數(shù)式分別表示線段AP,DP的長(zhǎng)，并求當(dāng)x=2的時(shí)候，AP+DP的

值；

（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值.

【分析】（1）分別用x表示出BP、CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出AP、DP的長(zhǎng)即可；

（2）作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接A，D,再由對(duì)稱的性質(zhì)及勾股定理即可求解.

【解答】解：（1）由題意結(jié)合圖形知：

AB=4,BP=x,CP=4-x,CD=2,

,AP=3Ap2+B產(chǎn)&+16，

DP=VPC^CD2=V22+（4-X）7X2-8X+20;

當(dāng)x=2時(shí)，AP+DP=V20+Vs=2V5+2V2；

（2）存在.

如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接AD,

.\A,E=4,DE=6,

則AfD=E2+DE2=V42+62=^2=2\fl3?

，最小值為2萬.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是最短線路問題及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解答此類題目的關(guān)鍵.

20.已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，E為CD邊上的一點(diǎn)，連接AE,并以AE為對(duì)稱軸，

作與4ADE成軸對(duì)稱的圖形AAFE,延長(zhǎng)EF（或FE）交直線BC于G.

（1）求證：DE+BG=EG；ZEAG=45°；

（2）設(shè)AB=1,GF=m,FE=n,求m+n+mn的值；

（3）若將條件中的“E為CD邊上的一點(diǎn)”改為“E為射線CD上的一點(diǎn)"，則（1）中的結(jié)論還成立

嗎？請(qǐng)說明理由.

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)，AADE^AAGE,得到AD=AF=AB,DE=FE,NDAE=NFAE,

ZD=ZAFE=ZAFG=90°=ZB,然后根據(jù)“HL”可證明Rt^ABGgRtaAFG,則GB=GF,NBAG=

ZFAG,所以NGAE=LNBAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；

2

(2)AB=1,GF=m,FE=n,則EG、CG、CE可以用m、n表示，由于NC=90。，根據(jù)勾股定理列

方程即可解答；

(3)不成立，此時(shí)，EF=BF-DE,NEAF=45。成立，證明方法與(1)類似.

【解答】解：如圖1,???把4ADE沿AE折疊使4ADE落在4AFE的位置，

?,.△ADE^AAGE

，AD=AF=AB,DE=FE,ZDAE=ZFAE,ZD=ZAFE=ZAFG=90°=ZB,

在RtAABG和RtAAFG中,

[AB=AF,

1AG=AG'

.,.RtAABG^RtAAFG(HL),

；.GB=GF,NBAG=NFAG,

ZGAE=ZFAE+ZFAG=lzBAD=45°,

2

，GE=GF+EF=BG+DE；

(2)如圖1,設(shè)AB=1,GF=m,FE=n,則EG=m+n,CG=1-m,CE=1-n,

VZC=90°,

(1-m)2+(1-n)2=(m+n)2,

整理得：m+n+mn=1；

(3)EF=BF+DE不成立，

理由：如圖2,止匕時(shí)，EF=BF-DE,NEAF=45°成立.

同(1)WAADE^AAGE,RtAABG^RtAAFG,

，DE=FE,GB=GF,ZDAE=ZFAE,NBAG=NFAG,

，GE=GF-EF=BG-DE,

ZGAE=ZFAG-ZFAE=1ZBAD=45°.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了翻折變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，發(fā)現(xiàn)

圖形中4ADE之4AGE以及RtAABG^RtAAFG,是解決問題的關(guān)鍵.

21.在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E,F是對(duì)角線ACS行的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A,C同時(shí)出發(fā)

相向而行，速度均為lcm/s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)后就停止運(yùn)動(dòng).

(1)若G,H分別是AB,DC中點(diǎn)，求證：四邊形EGFH始終是平行四邊形.

(2)在(1)條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EGFH為矩形.

(3)若G,H分別是折線A-B-C,C-D-A上的動(dòng)點(diǎn)，與E,F相同的速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)t為

何值時(shí)，四邊形EGFH為菱形.

【分析】(1)由矩形的性質(zhì)得出AB=CD,AB〃CD,AD