專題11 幾何最值問題（復(fù)習(xí)講義）（原卷版）-二輪要點(diǎn)歸納與典例解析

專題11幾何最值問題復(fù)習(xí)講義【要點(diǎn)歸納|典例解析】類型一：將軍飲馬模型與最值問題【模型引入】什么是將軍飲馬？“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩。而由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”?！灸Ｐ兔枋觥咳鐖D，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營，問：將軍怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如圖，在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最??？這個(gè)問題的難點(diǎn)在于PA+PB是一段折線段，通過觀察圖形很難得出結(jié)果，關(guān)于最小值，我們知道“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短”等，所以此處，需轉(zhuǎn)化問題，將折線段變?yōu)橹本€段．【模型解析】作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB當(dāng)A’、P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA’+PB=A’B，此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）【模型展示】【模型】一、兩定一動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使得△PMN周長最?。颂嶮、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA（折點(diǎn)M所在直線）、OB（折點(diǎn)N所在直線）的對稱點(diǎn)，化折線段PM+MN+NP為P’M+MN+NP’’，當(dāng)P’、M、N、P’’共線時(shí)，△PMN周長最?。灸Ｐ汀慷啥▋蓜?dòng)之點(diǎn)點(diǎn)在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N使得四邊形PMNQ的周長最小?？紤]PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB對稱，化折線段PM+MN+NQ為P’M+MN+NQ’，當(dāng)P’、M、N、Q’共線時(shí)，四邊形PMNQ的周長最小?！灸Ｐ汀咳⒁欢▋蓜?dòng)之點(diǎn)線在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于OA對稱的點(diǎn)P’，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P’M+MN，即過點(diǎn)P’作OB垂線分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，得PM+MN最小值（點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短）類型二：胡不歸中的雙線段模型與最值問題【專題說明】胡不歸模型問題解題步驟如下；1、將所求線段和改寫為“PA+PB”的形式（<1），若>1，提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決。2、在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個(gè)角度α，使得sinα=3、最后利用兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題【模型展示】如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最小．，記，即求BC+kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。谇笮稳纭癙A+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．類型三：阿氏圓中的雙線段模型與最值問題【專題說明】“阿氏圓”模型核心知識點(diǎn)是構(gòu)造母子型相似，構(gòu)造△PAB∽△CAP推出PA2，即：半徑的平方=原有線段構(gòu)造線段?！灸Ｐ驼故尽咳缦聢D，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為圓．（1）角平分線定理：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，則．證明：，，即（2）外角平分線定理：如圖，在△ABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點(diǎn)D，則．證明：在BA延長線上取點(diǎn)E使得AE=AC，連接BD，則△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，則，即．接下來開始證明步驟：如圖，PA：PB=k，作∠APB的角平分線交AB于M點(diǎn)，根據(jù)角平分線定理，，故M點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB的角平分線交AB于定點(diǎn)；作∠APB外角平分線交直線AB于N點(diǎn)，根據(jù)外角平分線定理，，故N點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB外角平分線交直線AB于定點(diǎn)；又∠MPN=90°，定邊對定角，故P點(diǎn)軌跡是以MN為直徑的圓．類型四：費(fèi)馬點(diǎn)中三線段模型與最值問題【專題說明】費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距高之和最短的點(diǎn)。主要分為兩種情況：（1）當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于120°的三角形，通常將某三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60度，從而將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化在同一條直線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題。（2）當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)就是此內(nèi)角的頂點(diǎn).費(fèi)馬點(diǎn)問題解題的核心技巧：旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化至同一直線上利用兩點(diǎn)之間線段最短求解問題【模型展示】問題：在△ABC內(nèi)找一點(diǎn)P，使得PA+PB+PC最?。痉治觥吭谥暗淖钪祮栴}中，我們解決的依據(jù)有：兩點(diǎn)之間線段最短、點(diǎn)到直線的連線中垂線段最短、作對稱化折線段為直線段、確定動(dòng)點(diǎn)軌跡求最值等．（1）如圖，分別以△ABC中的AB、AC為邊，作等邊△ABD、等邊△ACE．（2）連接CD、BE，即有一組手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）記CD、BE交點(diǎn)為P，點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn)．（到這一步其實(shí)就可以了）（4）以BC為邊作等邊△BCF，連接AF，必過點(diǎn)P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．在圖三的模型里有結(jié)論：（1）∠BPD=60°；（2）連接AP，AP平分∠DPE．有這兩個(gè)結(jié)論便足以說明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原來在“手拉手全等”就已經(jīng)見過了呀，只是相逢何必曾相識！類型五：瓜豆原理中動(dòng)點(diǎn)軌跡直線型最值問題【專題說明】動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考的重要壓軸點(diǎn).受學(xué)生解析幾何知識的局限和思維能力的束縛,該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎,致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的一個(gè)黑洞.掌握該壓軸點(diǎn)的基本圖形,構(gòu)建問題解決的一般思路,是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑.本文就動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的基本圖形作一詳述.動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型.【知識精講】動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡確定時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡不易確定是直線時(shí)，可通過以下三種方法進(jìn)行確定=1\*GB3①觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變，若存在該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線。=2\*GB3②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線。=3\*GB3③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線。如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．【引例】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段．【模型總結(jié)】必要條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結(jié)論：P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時(shí)，∠PAQ等于MN與BC夾角）P、Q兩點(diǎn)軌跡長度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）類型一：將軍飲馬模型與最值問題1、如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，M、N分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是A． B．2 C． D．42、如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，連接DF，過點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點(diǎn)G．（1）猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過點(diǎn)H作MN∥CD，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，求△PDC周長的最小值．類型二：胡不歸中的雙線段模型與最值問題3、如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是()4、如圖，在平面在角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2-2x-3與x軸交與點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E．（1）連結(jié)BD，點(diǎn)M是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)B，D重合），過點(diǎn)M作MN⊥BD交拋物線于點(diǎn)N（點(diǎn)N在對稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點(diǎn)F，點(diǎn)P是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，當(dāng)MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值時(shí)，把點(diǎn)P向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)Q，連結(jié)AQ，把△AOQ繞點(diǎn)O瓶時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中邊AQ交坐標(biāo)軸于點(diǎn)C在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)G使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．類型三：阿氏圓中的雙線段模型與最值問題5、如圖，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D．連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是．6、如圖，已知正方ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_______．類型四：費(fèi)馬點(diǎn)中三線段模型與最值問題7、如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長（）A． B． C． D．8、如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.EEADBCNM⑴求證：△AMB≌△ENB；⑵①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最小；②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；⑶當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長.類型五：瓜豆原理中動(dòng)點(diǎn)軌跡直線型最值問題9、如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)