專題11 幾何最值問題（專項(xiàng)訓(xùn)練）（解析版）-二輪基礎(chǔ)過關(guān)與直擊中考

專題11幾何最值問題專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)過關(guān)|直擊中考】1.（山東濱州，11，3分）如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)且OP＝，若點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是（）A．B．C．6D．3AABOPMN【答案】D【解析】分別以O(shè)A、OB為對(duì)稱軸作點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連接點(diǎn)P1，P2，分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N則此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)有最小值，△PMN周長(zhǎng)等于＝PM＋PN＋MN＝P1N＋P2N＋MN，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知，OP1＝OP2＝OP＝，∠P1OP2＝120°，∠OP1M＝30°，過點(diǎn)O作MN的垂線段，垂足為Q，在△OP1Q中，可知P1Q＝,所以P1P2＝2P1Q＝3,故△PMN的周長(zhǎng)最小值為3．2.（四川瀘州，10題，3分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)為原心，1為半徑作圓，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作該圓的一條切線，切點(diǎn)為A，則PA的最小值為（）A.3B.2C.D.【答案】D【解析】由題可知，B（-2,0），C（0，），P為直線上一點(diǎn)，過P作圓O的切線PA，連接AO，則在Rt△PAO中，AO=1，由勾股定理可得，要想使PA最小，要求PO最小，所以過點(diǎn)O作OP⊥BC于點(diǎn)P，此時(shí)PO=，PA=PPAOyxCB3.（四川綿陽，10，3分）一艘在南北航線上的測(cè)量船，于A點(diǎn)處測(cè)得海島B在點(diǎn)A的南偏東30°方向，繼續(xù)向南航行30海里到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，測(cè)得海島B在C點(diǎn)的北偏東15°方向，那么海島B離此航線的最近距離是（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）（參考數(shù)據(jù)：，）A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里【答案】B.【解析】解：如圖所示，

由題意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，

作BD⊥AC于點(diǎn)D，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)、BC為邊，在△ABC內(nèi)部作∠CBE=∠ACB=15°，

則∠BED=30°，BE=CE，

設(shè)BD=x，則AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，∴AC=AD+DE+CE=2x+2x，∵AC=30，∴2x+2x=30，解得：x=≈5.49.故選B.4.（四川省宜賓市，8，3分）在△ABC中，若O為BC邊的中點(diǎn)，則必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，點(diǎn)P在以DE為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，則PF2+PG2的最小值為（）A.eq\r(\s\do1(),10)B.eq\f(19,2)C.34D.10【答案】D【思路分析】取GF的中點(diǎn)為O，連接PO，則根據(jù)材料可知PF2+PG2=2PO2+2OG2=2PO2+2×22=8+2OP2，若使PF2+PG2的值最小，則必須OP的值最小，所以PO垂直于GF時(shí)PO的值最小，即此時(shí)才有最小值.【解題過程】取GF的中點(diǎn)為O，連接PO，則根據(jù)材料可知PF2+PG2=2PO2+2OG2=2PO2+2×22=8+2OP2，若使PF2+PG2的值最小，則必須OP的值最小，所以PO垂直于GF時(shí)PO的值最小，此時(shí)PO=1，所以PF2+PG2的最小值為10.5.（天津市，11，3）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)等于AP+EP最小值的是（）A．ABB．DEC.BDD．AF【答案】D【解析】分析：本題考查正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，取CD中點(diǎn)E′連結(jié)AE′、PE′，根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形，可得EP=E′P,AF=AE′，結(jié)合圖形由線段公理可得AE′為AP+EP最小值，進(jìn)而可得結(jié)果.解：取CD中點(diǎn)E′連結(jié)AE′、PE′,由正方形的軸對(duì)稱性質(zhì)，可知EP=E′P,AF=AE′∴AP+EP=AP+E′P,∴AP+EP最小值是AE′,即AP+EP最小值是AF.故選D6.（山東德州，12，3分）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)是△的中心，.繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),分別交線段于兩點(diǎn)，連接,給出下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③四邊形的面積始終等于;④△周長(zhǎng)的最小值為6,上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()第12題圖第12第12題圖第12題答圖1第12題答圖2A．1B．2C.3D．4【答案】C【解析】如圖1，連接OB、OC，因?yàn)辄c(diǎn)是△的中心，所以，OA=OB=OC，所以，，所以，所以（ASA），所以O(shè)D=OE，結(jié)論①正確；通過畫圖確定結(jié)論②錯(cuò)誤，如當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，；因?yàn)?，所以，所?，結(jié)論③正確；因?yàn)?，所以BD=CE，所以BD＋CE=BC=4，因?yàn)?，OB=OC，易得，如圖2，當(dāng)OD⊥AB時(shí)，OD最小=BD×tan∠OBD=，所以DE最小=2，所以△周長(zhǎng)的最小值為6,結(jié)論④正確.故選C.7.（四川綿陽）不等邊三角形的兩邊上的高分別為4和12且第三邊上的高為整數(shù)，那么此高的最大值可能為________?！敬鸢浮?【解析】設(shè)a、b、c三邊上高分別為4、12、h因?yàn)椋杂忠驗(yàn)?，代入得，所以又因?yàn)椋氲?，所以所?<h<6，故整數(shù)h的最大值為5。8.（四川瀘州，題，3分）如圖5，等腰△ABC的底邊BC=20，面積為120，點(diǎn)F在邊BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分線，若點(diǎn)D在EG上運(yùn)動(dòng)，則△CDF周長(zhǎng)的最小值為.【答案】18【解析】做△ABC的高AH，因?yàn)镾=120，BC=20，所以AH=12，△CDF的周長(zhǎng)=CF+CD+DF，CF=5，因?yàn)镋G是腰AC的垂直平分線，連接AD，AF，可得DA=DC，所以AD+DF的最小值為AF的長(zhǎng)度，在Rt△AHF中，HF=5，AH=12，由勾股定理可得AF=13，因此△CDF周長(zhǎng)的最小值為18HH9.（江西）如圖，AB是⊙O的弦，AB=5，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=45°，若點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，則MN長(zhǎng)的最大值是．【答案】．【解析】根據(jù)中位線定理得到MN的最大時(shí)，BC最大，當(dāng)BC最大時(shí)是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值．如圖，∵點(diǎn)M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴MN=BC，∴當(dāng)BC取得最大值時(shí)，MN就取得最大值，當(dāng)BC是直徑時(shí)，BC最大，連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)C′，連接AC′，∵BC′是⊙O的直徑，∴∠BAC′=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，∴BC′===5，∴MN最大=．10.（四川攀枝花，15，4）如圖5，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之和PA+PB的最小值為.【答案】【解析】設(shè)△PAB中AB邊上的高是h，∵，∴，∴，∴動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線L上，如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A'，鏈接AA',BA',則BA'即為所求的最短距離。在∴，即11.（云南）如圖，MN是⊙O的直徑，MN=4，∠AMN=40°，點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為．【答案】2．【解析】過A作關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知A′B即為PA+PB的最小值，由對(duì)稱的性質(zhì)可知=，再由圓周角定理可求出∠A′ON的度數(shù)，再由勾股定理即可求解．過A作關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知A′B即為PA+PB的最小值，連接OB，OA′，AA′，∵AA′關(guān)于直線MN對(duì)稱，∴=，∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，過O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=2，即PA+PB的最小值2．12.（年黑龍江省大慶市）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若動(dòng)點(diǎn)D從B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止（不考慮D與B，A重合的情況），運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連接BE，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），AE的長(zhǎng)為y（cm）．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△BDE的面積S有最大值？最大值為多少？【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}主要考查相似三角形的判定、三角形的面積及涉及到二次函數(shù)的最值問題，找到等量比是解題的關(guān)鍵．（1）由平行線得△ABC∽△ADE，根據(jù)相似形的性質(zhì)得關(guān)系式.動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴，∴，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝（0＜x＜4）．（2）由S＝?BD?AE；得到函數(shù)解析式，然后運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求解．S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．當(dāng)時(shí)，S△BDE最大，最大值為6cm2．13.（年寧夏）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)M，Q分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與A，B重合），且MQ⊥BC，過點(diǎn)M作BC的平行線MN，交AC于點(diǎn)N，連接NQ，設(shè)BQ為x．（1）試說明不論x為何值時(shí)，總有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形BMNQ為平行四邊形，試說明理由；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形BMNQ的面積最大，并求出最大值．【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）∵M(jìn)Q⊥BC，∴∠MQB＝90°，∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC，∴△QBM∽△ABC；（2）根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；當(dāng)BQ＝MN時(shí)，四邊形BMNQ為平行四邊形，∵M(jìn)N∥BQ，BQ＝MN，∴四邊形BMNQ為平行四邊形；（3）根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用x表示出QM、BM，根據(jù)梯形面積公式列出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可．∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵△QBM∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，解得，QM＝x，BM＝x，∵M(jìn)N∥BC，∴＝，即＝，解得，MN＝5﹣x，則四邊形BMNQ的面積＝×（5﹣x+x）×x＝﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x＝時(shí)，四邊形BMNQ的面積最大，最大值為．14.（廣西省貴港）已知：是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△，記旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)時(shí)，作，垂足為，與交于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，作的平分線交于點(diǎn)．①寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；②求證：；（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，若，求線段的最小值．（結(jié)果保留根號(hào)）.【思路分析】（1）①解直角三角形求出即可解決問題．②連接，設(shè)交于點(diǎn)．在時(shí)截取，連接．首先證明是等邊三角形，再證明△，即可解決問題．（2）如圖2中，連接，，，作交的延長(zhǎng)線于．證明△△，推出，推出，關(guān)于對(duì)稱，推出，推出，求出即可解決問題．【解題過程】（1）①解：旋轉(zhuǎn)角為．理由：如圖1中，，，，，，旋轉(zhuǎn)角為．②證明：連接，設(shè)交于點(diǎn)．在時(shí)截取，連接．，，平分，，，，，△，，，，，，△是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，，△，，．（2）解：如圖2中，連接，，，作交的延長(zhǎng)線于．由②可知，，，，△△，，，關(guān)于對(duì)稱，，，在△中，，，，，．的最小值為．15.（四川省成都市，27，10）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，過點(diǎn)B作直線m∥AC，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′(點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′)，射線CA′、CB′分別交直線m于點(diǎn)P，Q．（1）如圖1，當(dāng)P與A′重合時(shí)，求∠ACA′的度數(shù)；（2）如圖2，設(shè)A′B′與BC的交點(diǎn)為M，當(dāng)M為A′B′的中點(diǎn)時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng)；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在CA′，CB′的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形PA′B′Q的面積是否存在最小值．若存在，求出四邊形PA′B′Q的最小面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．【思路分析】（1）當(dāng)P與A′重合時(shí)，解Rt△A′BC，求出∠BA′C的度數(shù)，即為∠ACA′的度數(shù)；（2）當(dāng)M為A′B′的中點(diǎn)時(shí)，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得∠MA′C＝∠BCA，解Rt△PBC求出PB，利用同角余角相等，得∠BQC＝∠PCB，解Rt△CBQ求出BQ，根據(jù)PQ＝PB＋BQ即可求得PQ；（3）作Rt△PCQ斜邊中線CM，由S四邊形PA′B′Q＝S△PCQ－S△PA′B′＝PQ·BC－S△PA′B′＝CM·BC－S△PA′B′，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)CM⊥PQ時(shí)，S四邊形PA′B′Q最小，求出其最小值即可．【解題過程】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝＝，當(dāng)P與A′重合時(shí)，A′C＝AC＝2，在Rt△A′BC中，sin∠BA′C＝＝，∴∠BA′C＝60°，∵m∥AC，∴∠ACA′＝∠BA′C＝60°．（2）∵∠A′CB′＝90°，M為A′B′的中點(diǎn)時(shí)，∴A′M＝CM，∴∠MA′C＝∠A′CM＝∠A，∵在Rt△ABC中，tan∠A＝＝，∴在Rt△PBC中，tan∠A′CB＝＝，∴PB＝．∵∠PCB＋∠BCQ＝∠BCQ＋∠BQC＝90°，∴∠BQC＝∠PCB，∴tan∠BQC＝tan∠A′CB＝，∴BQ＝＝2，∴PQ＝PB＋BQ＝．（3）取PQ的中點(diǎn)M，連接CM．∵S△CA′B′＝A′C·B′C＝×2×＝，S△PCQ＝PQ·BC＝PQ，∴S四邊形PA′B′Q＝S△PCQ－S△CA′B′＝PQ－，∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，∠PCQ＝90°，∴PQ＝2CM，∴S四邊形PA′B′Q＝S△PCQ－Q－S△CA′B′＝CM－，當(dāng)CM最小時(shí)，S四邊形PA′B′Q最?。逤M≤BC＝，∴當(dāng)CM＝時(shí)，S四邊形PA′B′Q的最小值＝ CM－＝3－．1.（山東威海，24，12分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，CE，過E點(diǎn)作EF⊥AE，交直線BC于點(diǎn)F．E點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)，沿著BD方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)△BEF的面積為ycm2，E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．（1）求證：CE＝EF；（2）求y與x之間關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）求△BEF面積的最大值．【解題過程】（1）證明：過E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB⊥AD，∴MN⊥AD，MN⊥BC，∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE＋∠FEN，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠AEM＋∠FEN＝90°，∴∠AEM＝∠NFE，∵∠DBC＝45°，∠BNE＝90°，∴BN＝EN＝AM.∴△AEM≌△EFN（AAS）.∴AE＝EF.∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝CE＝EF.（2）在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝10，∴0≤x≤5.由題意，得BE＝2x，∴BN＝EN＝x.由（1）知：△AEM≌△EFN，∴ME＝FN，∵AB＝MN＝10，∴ME＝FN＝10－x，如圖（1），當(dāng)0≤x≤時(shí)，∴BF＝FN－BN＝10－x－x＝10－2x.∴y＝BF·EN＝＝－2x2＋x（0≤x≤）；如圖（2），當(dāng)＜x≤時(shí)，∴BF＝BN－FN＝x－（10－x）＝x－10，∴y＝BF·EN＝＝2x2－x（≤x≤）.∴（1）（2）（3）y＝－2x2＋5x＝－2（x－）2＋，∵－2＜0，∴當(dāng)x＝時(shí)，y有最大值是；即△BEF面積的最大值是；當(dāng)＜x≤時(shí)，y＝2x2－x＝－，此時(shí)2＞0，開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝，∵對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝時(shí)，y最大值＝50.∴當(dāng)x＝時(shí)，△BEF面積的最大值是50.2．（山東省威海市，題號(hào)25，分值12）（1）方法選擇如圖①，四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD.AB＝BC＝AC.求證：BD＝AD＋CD.小穎認(rèn)為可用截長(zhǎng)法證明：在DB上截取DM＝AD，連接AM..……小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：延長(zhǎng)CD至點(diǎn)N，使得DN＝AD……請(qǐng)你選擇一種方法證明.（2）類比探究【探究1】如圖②，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD.BC是⊙O的直徑，AB＝AC.試用等式表示線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【探究2】如圖③，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD.若BC是⊙O的直徑，∠ABC＝30°，則線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式是.（3）拓展猜想如圖④，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD.若BC是O0的直徑，BC：AC：AB＝a：b：c，則線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式是.【思路分析】（1）選小穎的截長(zhǎng)法，如圖①，在DB上截取DM＝AD，連接AM，由旋轉(zhuǎn)全等得BM＝CD，∴BD＝MD＋BM＝AD＋CD（2）【探究1】數(shù)量關(guān)系為：BD＝AD＋CD如圖②，在DB上截取AD＝AN，連接AN，可得△AND為等腰直角三角形，∴ND＝AD，由旋轉(zhuǎn)全等得BN＝CD，∴BD＝ND＋BN＝AD＋CD【探究2】數(shù)量關(guān)系為：BD＝2AD＋CD如圖③，在DB上截取2AD＝PD，連接AP，可得△APD為30°的直角三角形，由旋轉(zhuǎn)相似得BP＝CD，∴BD＝PD＋BP＝2AD＋CD（3）拓展猜想數(shù)量關(guān)系為：BD＝AD＋CD如圖④，過A作AQ⊥AD交BD于Q，連接AQ，由旋轉(zhuǎn)相似得，，∴BQ＝CD，BQ＝AD，∴BD＝PD＋BP＝AD＋CD【解題過程】（1）選小穎的截長(zhǎng)法，如圖①，在DB上截取DM＝AD，連接AM，可得△AMD為等邊三角形，可證△BAM≌△CAD（SAS）得BM＝CD，∴BD＝MD＋BM＝AD＋CD（2）【探究1】數(shù)量關(guān)系為：BD＝AD＋CD如圖②，在DB上截取AD＝AN，連接AN，可得△AND為等腰直角三角形，∴ND＝AD，∠BAN＝∠CAD，可證△BAN≌△CAD（SAS）得BN＝CD，∴BD＝ND＋BN＝AD＋CD【探究2】數(shù)量關(guān)系為：BD＝2AD＋CD如圖③，在DB上截取2AD＝PD，連接AP，可得△APD為30°的直角三角形，∴，∠BAP＝∠CAD，可證△BAP∽△CAD得BP＝CD，∴BD＝PD＋BP＝2AD＋CD（3）拓展猜想數(shù)量關(guān)系為：BD＝AD＋CD如圖④，過A作AQ⊥AD交BD于Q，連接AQ，可得∠BAQ＝∠CAD，∠ABQ＝∠ACD，∠ADQ＝∠ACB，∠BAC＝∠QAD∴△BAP∽△CAD，△ADQ∽△ACB∴，，∴BQ＝CD，BQ＝AD，∴BD＝PD＋BP＝AD＋CD3．（·益陽）如圖，在半面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB=4，BC=6.若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當(dāng)形頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上左右移動(dòng)時(shí)，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D始終在y軸的正半上隨之上下移動(dòng).(1)當(dāng)∠OAD=30°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)設(shè)AD的中點(diǎn)為M，連接OM、MC，當(dāng)四邊形OMCD的面積為時(shí)，求OA的長(zhǎng)；(3)當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到某一位置時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離有最大值，請(qǐng)直接寫出最大值，并求此時(shí)cos∠OAD的值.【解題過程】（1）如圖1，過點(diǎn)C作CE⊥y軸，垂足為E.第26題答圖1∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO=90°，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=30°.在Rt△CED中，CE=CD=2，∴DE=;在Rt△OAD中，∠OAD=30°，∴OD=AD=3.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，).(2)∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴DM=3，.又∵，∴，∴.設(shè)OA=x，OD=y，則，∴，即，∴x=y.將x=y代入得，解得(不合題意，舍去)，∴OA的長(zhǎng)為.（3）OC的最大值為8.理由如下：如圖2，第26題答圖2∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴OM=3，.∴OC≤OM+CM=8,當(dāng)O、M、C三點(diǎn)在同一直線時(shí)，OC有最大值8.連接OC，則此時(shí)OC與AD的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)O作ON⊥AD，垂足為N.∵∠CDM=∠ONM=90°，∠CMD=∠OMN，∴△CMD∽△OMN，∴，即，解得，，∴.在Rt△OAN中，∵，∴.4．（·衡陽）如圖，在等邊△ABC中，AB＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以cm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以同樣的速度沿BC延長(zhǎng)線方向勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．過點(diǎn)P作PE⊥AC于E，連接PQ交AC邊于D．以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為直角三角形；（2）是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)F在∠ABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）求DE的長(zhǎng)；（4）取線段BC的中點(diǎn)M，連接PM，將△BPM沿直線PM翻折，得△B′PM，連接AB′，當(dāng)t為何值時(shí)，AB′的值最??？并求出最小值．解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∵BP⊥PQ，∴2BP＝BQ即2（6－t）＝6＋t，解得t＝2．∴當(dāng)t為2時(shí)，△BPQ為直角三角形；（2）存在．作射線BF，∵PE⊥AC，∴AE＝0.5t．∵四邊形CQFE是平行四邊形，∴FQ＝EC＝6－0.5t，∵BF平分∠ABC，∴∠FBQ＋∠BQF＝90°．∵BQ＝2FQ，BQ＝6＋t，∴6＋t＝2（6－0.5t），解得t＝3．（3）過點(diǎn)P作PG∥CQ交AC于點(diǎn)G，則△APG是等邊三角形．∵BP⊥PQ，∴EG＝AG．∵PG∥CQ，∴∠PGD＝∠QCD，∵∠PDG＝∠QDC，PG＝PA＝CG＝t，∴△PGD≌△QCD．∴GD＝GC．∴DE＝AC＝3．（4）連接AM，∵△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴BM＝3．由勾股定理，得AM＝3．由折疊，得BM′＝3．當(dāng)A、B′、M在同一直線上時(shí)，AB′的值最小，此時(shí)AB′＝3－3.過點(diǎn)B′作B′H⊥AP于點(diǎn)H，則cos30°＝,即＝，解得t＝9－3．∴t為9－3時(shí)，AB′的值最小，最小值為3－3．5．（·淮安）如圖①，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中點(diǎn).小明對(duì)圖①進(jìn)行了如下探究：在線段AD上任取一點(diǎn)P，連接PB.將線段PB繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接BE，得到△BPE.小明發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)P在線段AD上位置的變化，點(diǎn)E的位置也在變化，點(diǎn)E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè).請(qǐng)你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問題：(1)當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時(shí)，如圖②所示.①∠BEP=°；②連接CE，直線CE與直線AB的位置關(guān)系是.(2)請(qǐng)?jiān)趫D③中畫出△BPE，使點(diǎn)E在直線AD的右側(cè)，連接CE.試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由.(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AE的最小值.【解題過程】（1）①由題意得，PE=PB，∠BPE=80°，∴∠BEP=；②如圖所示，∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∠BAC=100°，∴∠ABC=，∵∠BEP=50°，∴∠BCE=∠CBE=40°，∴∠ABC=∠BCE，∴CE∥AB.答案：①50°；②平行（2）在DA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使∠BFA=∠CFA=40°，總有△BPE∽△