第3章 晶格振動(dòng)與晶體熱學(xué)性質(zhì)

3.2一維單原子鏈一、知識(shí)點(diǎn)回顧

1.格點(diǎn)：原子的平衡位置2.晶格振動(dòng)：原子在格點(diǎn)附近的振動(dòng)3.格波：晶格具有周期性，因而，晶格振動(dòng)模具有波的形式，稱為格波▲關(guān)于格波的研究：先計(jì)算原子之間的相互作用力，再根據(jù)牛頓第二定律列出原子的微分運(yùn)動(dòng)方程，最后求解方程。一維單原子鏈?zhǔn)菍W(xué)習(xí)格波的典型例子！1二、原子間的相互作用力

1.平衡時(shí)相鄰原子距離為a，每個(gè)原胞內(nèi)含有一個(gè)質(zhì)量為m的原子，原子限制在沿鏈的方向運(yùn)動(dòng)2.只考慮最近鄰原子間的相互作用3.偏離格點(diǎn)位移

圖1一維單原子鏈假設(shè)在平衡位置時(shí)，兩個(gè)原子間的相互作用勢(shì)能是產(chǎn)生相對(duì)位移

在平衡位置展開簡(jiǎn)諧近似下，相鄰原子間的作用力：（1）相互作用勢(shì)能變?yōu)?三、原子的運(yùn)動(dòng)方程第（n-1)個(gè)原子與第n個(gè)原子的相對(duì)位移：第（n+1)個(gè)原子與第n個(gè)原子的相對(duì)位移：

它們之間的力：

它們之間的力：第n個(gè)原子受到的總力：第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程：（2）

圖1一維單原子鏈3四、原子運(yùn)動(dòng)方程的解和振動(dòng)頻率設(shè)運(yùn)動(dòng)方程（2）的解為：將其代入設(shè)運(yùn)動(dòng)方程（2）中，有：消去共同因子，得到：利用歐拉公式后得到：的關(guān)系代表一維簡(jiǎn)單晶格中波矢的色散關(guān)系4五、格波的物理意義連續(xù)介質(zhì)波：格波：晶格中格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式一個(gè)格波表示的是所有的原子同時(shí)振動(dòng)，振動(dòng)頻率為相鄰原子間的位相差aq格波的波長(zhǎng)：格波的波矢：5六、格波波矢的取值和布里淵區(qū)圖2格波q的不唯一性圖示格波1（紅色表示）的波矢相鄰原子的位相差格波2（綠色表示）的波矢相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差時(shí)，所有原子的振動(dòng)沒(méi)有任何改變▲兩種波矢下，格波描述的原子振動(dòng)是完全相同波矢的取值：-------第一布里淵區(qū)6七、波恩-卡曼周期性邊界條件圖3一維鏈的波恩-卡曼邊界條件

由N個(gè)原子頭尾形成一個(gè)環(huán)鏈，它保持了所有原子等價(jià)的特點(diǎn)，而且N很大，其中的原子運(yùn)動(dòng)近似為直線運(yùn)動(dòng)。在處理問(wèn)題的時(shí)要考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性。當(dāng)原胞的標(biāo)數(shù)n增加N，振動(dòng)情況必須復(fù)員，即要求：波矢的取值范圍：所以h只能取N個(gè)整數(shù)值，波矢q也只能取N個(gè)不同的分立值。所以在第一布里淵區(qū)包含N個(gè)狀態(tài)。7八、色散關(guān)系圖4一維單原子鏈的ω-q函數(shù)關(guān)系由于頻率是波數(shù)的偶函數(shù)，所以有只有頻率上述變化范圍之間的格波才能在晶體中傳播，其他頻率的格波被強(qiáng)烈衰減。可以將一維單原子晶格看成低通濾波器。8九、長(zhǎng)波極限情況當(dāng)q趨近于零時(shí)，頻率在長(zhǎng)波極限下一維單原子鏈格波的色散關(guān)系和連續(xù)介質(zhì)彈性波的色散關(guān)系ω=Vq一致。圖5長(zhǎng)波極限情況在長(zhǎng)波極限下一維單原子鏈格波可以看作彈性波。格波傳播速度：相鄰兩原子之間的振動(dòng)位相差：波長(zhǎng)：9十、短波極限情況圖6短波極限情況短波極限：頻率有極大值：格波的波長(zhǎng)：此時(shí)兩個(gè)相鄰原子的振動(dòng)位相相反。10十一、原子位移和簡(jiǎn)正坐標(biāo)的關(guān)系第q個(gè)格波引起的第n個(gè)原子的位移：第n個(gè)原子總的位移：引入變量則有：比較（10）式和得到：簡(jiǎn)正坐標(biāo)：線性變換系數(shù)：11十二、勢(shì)能和動(dòng)能的平方和形式首先證明兩個(gè)關(guān)系式：第一個(gè)關(guān)系式可從原子位移為實(shí)數(shù)條件得到：因?yàn)橐部梢詫懗蓪?duì)（12）式兩端取復(fù)共軛因?yàn)樵游灰茷閷?shí)數(shù)，比較（13）和（14），可知12第二個(gè)關(guān)系式是線性變換系數(shù)的正交條件令同時(shí)注意到：有動(dòng)能的平方和：13勢(shì)能的平方和：哈密頓量：14十三、聲子1.每一個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)一個(gè)諧振子方程，波函數(shù)是以簡(jiǎn)正坐標(biāo)為宗量的諧振子波函數(shù)，能量本征值為：2.聲子：晶格振動(dòng)的能量量子；或格波的能量量子。一個(gè)格波就是一種振動(dòng)模，稱為一種聲子，能量為聲子是一種元激發(fā)，可以和電子或