特級教師改編中考數(shù)學(xué)幾何模型24講：專題20 瓜豆原理中動點(diǎn)軌跡不確定型最值問題（教師版）

專題8瓜豆原理中動點(diǎn)軌跡不確定型最值問題【專題說明】動點(diǎn)軌跡非圓或直線時，基本上將此線段轉(zhuǎn)化為一個三角形中，（1）利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求最值。（2）在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時，可借助直角三角形斜邊上的中線及中位線或構(gòu)建全等圖形進(jìn)一步轉(zhuǎn)化求最值?！局R精講】所謂“瓜豆原理”，就是主動點(diǎn)的軌跡與從動點(diǎn)的軌跡是相似性，根據(jù)主、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線形成的夾角以及主、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比，可確定從動點(diǎn)的軌跡，而當(dāng)主動點(diǎn)軌跡是其他圖形時，從動點(diǎn)軌跡必然也是．【例題】如圖，在反比例函數(shù)的圖像上有一個動點(diǎn)A，連接AO并延長交圖像的另一支于點(diǎn)B，在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動時，點(diǎn)C始終在函數(shù)的圖像上運(yùn)動，若tan∠CAB=2，則k的值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2，顯然點(diǎn)C的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直x軸，垂足分別為M、N，連接OC，易證△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．【思考】若將條件“tan∠CAB=2”改為“△ABC是等邊三角形”，k會是多少？

【模型】一、借助直角三角形斜邊上的中線1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動時，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是（）A．6 B． C． D．【解析】如圖，取CA的中點(diǎn)D，連接OD、BD，則OD=CD=AC=×4=2，由勾股定理得，BD==2，當(dāng)O、D、B三點(diǎn)共線時點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離最大，所以，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是2+2．

【模型】二、借助三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊1、如圖，已知等邊三角形ABC邊長為2，兩頂點(diǎn)A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸負(fù)半軸、軸的正半軸上滑動，點(diǎn)C在第四象限，連接OC，則線段OC長的最小值是（）A．1 B．3 C．3 D．【解析】如圖所示：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，連接OE，∵△ABC是等邊三角形，∴CE=AC×sin60°=，AE=BE，∵∠AOB=90°，∴EOAB，∴EC-OE≥OC，∴當(dāng)點(diǎn)C，O，E在一條直線上，此時OC最短，故OC的最小值為：OC＝CE﹣EO＝3故選B．

2、如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動時，A隨之在OM上運(yùn)動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=4，BC=2.運(yùn)動過程中點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是______．【解析】如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時，∵AB=4，BC=2，∴OE=AE=AB=2，DE==，∴OD的最大值為+2，

3、如圖，在中，，，，以線段為邊向外作等邊，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連結(jié)并延長交線段于點(diǎn).(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求平行四邊形的面積；(3)如圖，分別作射線，，如圖中的兩個頂點(diǎn)，分別在射線，上滑動，在這個變化的過程中，求出線段的最大長度.【解析】(1)在中，，，，在等邊中，，，為的中點(diǎn)，，又，，在中，，為的中點(diǎn)，，，，，，又，，又，，，又，，即，四邊形是平行四邊形；(2)在中，，，，∴，；(3)取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，的最大長度4、如圖，在中，，將繞頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，若，則線段的最大值為（）A． B． C． D．【解析】連接CN，∵將繞頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，∵在?CMN中，MN＜CM+CN，當(dāng)且僅當(dāng)M，C，N三點(diǎn)共線時，MN=CM+CN=6，∴線段的最大值為6．故選D．

【模型】三、借助構(gòu)建全等圖形1、如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，點(diǎn)P是AC上的動點(diǎn)，連接BP，以BP為邊作等邊△BPQ，連接CQ，則點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，線段CQ長度的最小值是______．【解析】如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，PE．∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠CBE=60°，

∵BE=AE，∴CE=BE=AE，

∴△BCE是等邊三角形，

∴BC=BE，

∵∠PBQ=∠CBE=60°，

∴∠QBC=∠PBE，

∵QB=PB，CB=EB，

∴△QBC≌△PBE（SAS），

∴QC=PE，

∴當(dāng)EP⊥AC時，QC的值最小，

在Rt△AEP中，∵AE=52，∠A=30°，

∴PE=12AE=54，

∴CQ

2、如圖，邊長為12的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點(diǎn)，連結(jié)MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連結(jié)HN．則在點(diǎn)M運(yùn)動過程中，線段HN長度的最小值是（）A．6 B．3 C．2 D．1．5【解析】如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接MG，∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等邊△ABC的對稱軸，∴HB=AB，∴HB=BG，又∵M(jìn)B旋轉(zhuǎn)到BN，∴BM=BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG=NH，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)MG⊥CH時，MG最短，即HN最短，此時∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×12=6，∴MG=CG=×6=3，∴HN=3；故選：B．【模型】四、借助中位線1、如圖，在等腰直角ABC中，斜邊AB的長度為8，以AC為直徑作圓，點(diǎn)P為半圓上的動點(diǎn)，連接BP，取BP的中點(diǎn)M，則CM的最小值為（）A． B． C． D．【解析】連接AP、CP，分別取AB、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF、EM和FM，∴EM、FM和EF分別是△ABP、△CBP和△ABC的中位線∴EM∥AP，F(xiàn)M∥CP，EF∥AC，EF=，∴∠EFC=180°－∠ACB=90°∵AC為直徑，∴∠APC=90°，即AP⊥CP∴EM⊥MF，即∠EMF=90°∴點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡為以EF為直徑的半圓上取EF的中點(diǎn)O，連接OC，點(diǎn)O即為半圓的圓心當(dāng)O、M、C共線時，CM最小，如圖所示，CM最小為CM1的長，∵等腰直角ABC中，斜邊AB的長度為8，∴AC=BC==∴EF==，F(xiàn)C==，∴OM1=OF==根據(jù)勾股定理可得OC=∴CM1=OC－OM1=，即CM最小值為故選C．2、如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上的動點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，連接，則線段的最小值是（）A． B． C． D．【解析】∵，∴當(dāng)時，，解得：，∴A點(diǎn)與B點(diǎn)坐標(biāo)分別為：(，0)，(3，0)，即：AO=BO=3