中考數(shù)學幾何模型重點突破講練：專題10 幾何變換中的三角形全等模型（學生版）

專題10幾何變換中的三角形全等模型【模型1】全等三角形中的平移變換【說明】平移前后的三角形全等。平移的基本性質：由平移的概念知，經(jīng)過平移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質：經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應角相等．【模型2】全等三角形中的折疊變換模型【說明】折疊問題實質上是利用了軸對稱的性質。軸對稱變換的性質：

①關于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.

②如果兩個圖形關于某直線對稱，對稱軸是對應點連線的垂直平分線.

③兩個圖形關于某直線對稱，如果它們對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.

④如果兩個圖形的對應點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.【模型3】全等三角形中的旋轉變換模型旋轉變換的性質：圖形通過旋轉，圖形中每一點都繞著旋轉中心沿相同的方向旋轉了同樣大小的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等，旋轉過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化.【例1】如圖，是由經(jīng)過平移得到的，AC分別交DE、EF于點G、H，若，，則的度數(shù)為（

）A．150° B．140° C．120° D．30°【例2】如圖，紙片的對邊，將紙片沿折疊，的對應邊交于點G．若，且，則的大小是（

）A． B． C． D．【例3】如圖，在等腰和等腰中，．(1)觀察猜想：如圖1，點在上，線段與的關系是_________；(2)探究證明：把繞直角頂點旋轉到圖2的位置，（1）中的結論還成立嗎？說明理由；(3)拓展延伸：把繞點在平面內轉動一周，若，，、交于點時，連接，直接寫出最大面積_________．一、單選題1．如圖，三角形，三角形均為邊長為4的等邊三角形，點是、的中點，直線、相交于點，三角形繞點旋轉時，線段長的最小值為（

）A． B． C． D．2．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點M在CD的邊上，且DM＝1，△AEM與△ADM關于AM所在的直線對稱，將△ADM按順時針方向繞點A旋轉90°得到△ABF，連接EF，則線段EF的長為（）A．3 B．2 C．5 D．3．如圖，ABCD是一張矩形紙片，AB＝20，BC＝4，將紙片沿MN折疊，點，分別是B，C的對應點，MB′與DC交于K，若△MNK的面積為10，則DN的最大值是（

）A．7.5 B．12.5 C．15 D．174．如圖，現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD，AB＝4，BC＝8，點M，N分別在矩形的邊AD，BC上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點C落在矩形的邊AD上，記為點P，點D落在G處，連接PC，交MN于點Q，連接CM．下列結論：①CQ＝CD；②四邊形CMPN是菱形；③P，A重合時，MN＝2；④△PQM的面積S的取值范圍是3≤S≤5．其中正確的是（

）A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④5．如圖，在中，，，點D為BC的中點，直角繞點D旋轉，DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F(xiàn)兩點，下列結論：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正確結論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，在中，，將繞點順時針旋轉，得到，交于點，分別交，于點，，則下列結論一定正確的是（

）A． B． C． D．7．如圖，在矩形中，點M在邊上，把沿直線折疊，使點B落在邊上的點E處，連接，過點B作，垂足為F，若，則線段的長為（

）A． B． C． D．8．如圖，正方形ABCD中，AB＝12，點E在邊BC上，BE＝EC，將△DCE沿DE對折至△DFE，延長EF交邊AB于點G，連接DG、BF，給出以下結論：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③S△DGF＝48；④S△BEF＝．其中所有正確結論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題9．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8cm，把矩形紙片沿直線AC折疊，點B落在點E處，AE交DC于點F，若AD=6cm，則∠EAD的正弦值為_____．10．如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF=45°，將DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到DCM．若AE=1，則FM的長為__．11．如圖，點E在正方形ABCD的CD邊上，連結BE，將正方形折疊，使點B與E重合，折痕MN交BC邊于點M，交AD邊于點N，若tan∠EMC＝，ME＋CE＝8，則折痕MN的長為___________．12．如圖，△ABC，△DEP是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP的頂點P與△ABC的頂點A重合，PD，PE分別與BC相交于點F、G，若BF＝6，CG＝4，則FG＝_____．13．如圖，四邊形為正方形，點E是的中點，將正方形沿折疊，得到點B的對應點為點F，延長交線段于點P，若，則的長度為___________．14．如圖，在邊長為6的正方形ABCD內作，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將繞點A順時針旋轉90°得到，若，則BE的長為__________．三、解答題15．如圖，在ΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點（點D與A，B不重合），連接CD，將線CD繞點C按逆時針方向旋轉90°得到線段CE，連接DE交BC于點F，連接BE.(1)求證：ΔACD

≌

ΔBCE；(2)當AD＝BF時，求∠BEF的度數(shù).16．如圖，中，，，為內一點，連接，將繞點逆時針旋轉，得到，連接，，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．17．如圖（1），已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將△ABC沿CA方向平移CA長度得到△EFA．（1）求△ABC所掃過的圖形面積；（2）試判斷，AF與BE的位置關系，并說明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的長．18．已知：點D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點（不與點B重合），連接AD．(1)如圖1，當點D在線段BC上時，將線段AD繞點A逆時針方向旋轉90°得到線段AE，連接CE．直接寫出BD和CE數(shù)量關系和位置關系．(2)如圖2，當點D在線段BC延長線上時，將線段AD繞點A逆時針方向旋轉90°得到線段AE，連接CE，畫出圖形．（1）的結論還成立嗎?若成立，請證明；若不成立，說明理由．19．如圖，在中，，，點E為線段的中點，點F在邊上，連結，沿將折疊得到．（1）如圖1，當點P落在上時，求的度數(shù)．（2）如圖2，當時，求的度數(shù)．20．如圖，，，≌，于點，于點．(1)直接寫出、的數(shù)量關系：______；(2)將沿剪開，讓點和點重合．①按圖放置，將線段沿平移至，連接、，求證：；②按圖放置，、、三點共線，連接交于點，若，，求的長度．21．如圖1，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=30°，將Rt△ABC繞C點順時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到Rt△DCE（1）當α＝15°，則∠ACE＝°；（2）如圖2，過點C作CM⊥BF于M，作CN⊥EF于N，求證：CF平分∠BFE．（3）求Rt△ABC繞C點順時針旋轉，當旋轉角α（0°＜α＜90°）為多少度時，△CFG為等腰三角形．22．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB=AC=，點D，E分別在邊AB，AC上，且，連接DE．現(xiàn)將△ADE繞點A順時針方向旋轉，旋轉角為，如圖2，連接CE，BD，CD．(1)當時，求證：；(2)如圖3，當時，延長交于點，求證：垂直平分．23．【問題提出】如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．【問題解決】解決此問題可以用如下方法：延長到點E，使，再連結（或將繞著點D逆時針旋轉得到），把、、集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷．由此得出中線的取值范圍是____________．【應用】如圖②，在中，D為邊的中點、已知．求的長．【拓展】如圖③，在中，，點D是邊的中點，點E在邊上，過點D作交邊于點F，連結．已知，則的長為____________．24．已知，四邊形是正方形，繞點旋轉（），，，連接，．(1)如圖，求證：≌；(2)直線與相交于點．如圖，于點，于點，求證：四邊形是正方形；如圖，連接，若，，直接寫出在旋轉的過程中，線段長度的最小值．25．折紙是一項有趣的活動，同學們小時候都玩過折紙，如折小花、飛機、小船等，在折紙過程中，我們通過研究圖形的性質發(fā)展空間觀念，在思考問題的過程中建立幾何直觀．【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1將一個正方形先沿EF折疊得到圖2，再將圖2進行第二次折疊，使點E和點F重合，折痕與正方形的邊交于點M、N，如圖3，打開這張正方形的紙得到兩條折痕EF和MN，如圖4這兩條折痕的位置關系為，＝．【探究證明】（2）如圖5，將AB＝1，AD＝3的長方形按（1）的方式進行折疊，同樣得到兩條折痕EF和MN，（1）中的結論是否還成立，如果成立請證明，如果不成立請說明理由．【拓展延伸】（3）Rt△ABC中，BC＝1，AC＝3，將△ABC沿著斜邊AB翻折后得的三角形與原來三角形組合成一個四邊形ACBD，將四邊形ACBD分別沿著頂點A和頂點D折疊得到兩條互相垂直的折痕，交四邊形的另兩條邊于點M和點N，＝．26．如圖1所示，將一個長為6寬為4的長方