中考數(shù)學(xué)幾何模型重點突破講練：專題16 一線三等角相似模型（教師版）

專題16一線三等角相似模型【模型1】一線三銳角相等如圖16-1，已知，要證∽，可根據(jù)，，，結(jié)合，可證∽。【模型變式1】一線三直角如圖16-2，已知，同一線三銳角相等模型可證得：∽?！灸Ｐ妥兪?】一線三鈍角相等如圖16-3，已知，同一線三銳角相等模型可證得：∽?！纠?】如圖，將含30°的直角三角尺放在矩形ABCD中，三角尺的30°角的頂點與點B重合，其余角的頂點分別在AD和CD邊的點E，F(xiàn)處，若點E恰好為AD的中點，則的值是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩個角相等可證明△ABE∽△DEF，得，再根據(jù)∠EBF＝30°，得BE＝EF，設(shè)DF＝x，則AE＝x，從而得出AB和CF的長度，即可解決問題．【解析】解：∵∠BEF＝90°，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∵∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF，∴，∵∠EBF＝30°，∴BE＝EF，∴設(shè)DF＝x，則AE＝x，∵點E為AD的中點，∴AE＝DE＝x，∴AB＝3x，∴CF＝CD﹣DF＝3x﹣x＝2x，∴，故選：A．【例2】如圖，在正方形ABCD中，AB=12，AE=0.25AB，點P在BC上運(yùn)動（不與點B，C重合），過點P作PQ⊥EP，交CD于點Q，則CQ的最大值為______【答案】4【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠B=∠C=90°，AB=BC=12，從而證明一線三等角模型相似△BPE∽△CQP，設(shè)BP=x,則CP=BC-BP=12-x,進(jìn)而可得，即可解答．【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=12，∴∠BEP+∠EPB=90°，∵AE=0.25AB，∴AE=3，∴BE=AB-AE=9，設(shè)BP=x,則CP=BC-BP=12-x,∵PQ⊥EP，∴∠EPQ=90°，∴∠EPB+∠QPC=90°，∴∠BEP=∠QPC，∴△BPE∽△CQP，∴，∴，∴，∴當(dāng)x=6時，CQ的最大值為4，故答案為4．【例3】如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點E為BC中點，AE⊥DE于點E．點O是線段AE上的點，以點O為圓心，OE為半徑的⊙O與AB相切于點G，交BC于點F，連接OG．(1)求證：△ECD∽△ABE；(2)求證：⊙O與AD相切；(3)若BC＝12，AB＝6，求⊙O的半徑和陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等，可證∠AEB=∠CDE，且∠B=∠C，從而解決問題；（2）延長DE、AB交于點P，根據(jù)ASA證△DCE≌△PBE，得DE=PE，從而有AD=AP，再證明∠DAO=∠GAO，利用角平分線的性質(zhì)可得OH=OG，從而證明結(jié)論；（3）根據(jù)BC=12，AB=6，可求出∠AEB=60°，有△OEF是等邊三角形，通過AO=2OG，得r=4，陰影部分的面積通過梯形面積減去扇形面積即可．【解析】（1）證明：∵AE⊥DE，∴∠AED=90°，∴∠DEC+∠AEB=90°，∵∠C=90°，∴∠CDE+∠DEC=90°，∴∠AEB=∠CDE，∵∠B=∠C，∴△ECD∽△ABE；（2）證明：延長DE、AB交于點P，作OH⊥AD于H，∵E為BC的中點，∴CE=BE，在△DCE和△PBE中，，∴△DCE≌△PBE（ASA），∴DE=PE，∵AE⊥DP，∴AE垂直平分DP，∴AD=AP，∴∠DAO=∠GAO，∵OH⊥AD，OG⊥AB，∴OH=OG，∴⊙O與AD相切；（3）解：如圖，連接OF，∵點E為BC中點，∴BE=BC=6在Rt△ABE中，∵BE=6，AB=6，∴AE==12，∴sinA=,∴∠A=30°∴∠AEB=∠AOG=60°，∵OE=OF，∴△OEF是等邊三角形，∴∠EOF=60°，設(shè)半徑為r，∴AO=2OG，∴12-r=2r，∴r=4，∴OG=OE=OF=4，∴EF=OE=4，∴BF=BE-EF=2，∴AO=8，在Rt△AGO中，AO=8，OG=4，∴AG=4，∴BG=AB-AG=2，∵∠GOF=180°-∠EOF-∠AOG=60°，∴S陰影=×(2+4)×2?=6-．一、單選題1．如圖，△ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且EF∥BC．設(shè)點E到BC的距離為x，△DEF的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】過點A向BC作AH⊥BC于點H，所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出EF，進(jìn)而求出函數(shù)關(guān)系式，由此即可求出答案．【解析】解：過點A向BC作AH⊥BC于點H，根據(jù)相似比可知：，即，解得：EF=2（3-x），則△DEF的面積y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+，故y關(guān)于x的函數(shù)圖象是一個開口向下、頂點坐標(biāo)為(，)的拋物線．故選：A．2．如圖，點，將線段平移得到線段，若，則點D的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先過點C做出軸垂線段CE，根據(jù)相似三角形找出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)計算出對應(yīng)D點的坐標(biāo)．【解析】如圖過點C作軸垂線，垂足為點E，∵∴∵∴在和中，，∴，∴，則,∵點C是由點B向右平移6個單位，向上平移2個單位得到，∴點D同樣是由點A向右平移6個單位，向上平移2個單位得到，∵點A坐標(biāo)為(0，3)，∴點D坐標(biāo)為(6，5)，選項D符合題意，故答案選D3．如圖，已知矩形AOBC的頂點O在坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)是（－2，1），點B的縱坐標(biāo)是3，則點C的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作軸于點D，過點A作軸于點E，過點C作軸于點G，先通過角度等量代換證明，求出，再證明，求出，，則，，由此可解．【解析】解：如圖，作軸于點D，過點A作軸于點E，過點C作軸于點G，∵點A的坐標(biāo)是（－2，1），點B的縱坐標(biāo)是3，∴，，，∵軸，軸，軸，∴，∵四邊形AOBC是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴．∵四邊形AOBC是矩形，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，，∵點C在第二象限，∴點C的坐標(biāo)是．故選A．4．如圖，在正方形ABCD中，P是BC上一點（點P不與點B，C重合），連接AP．作PE⊥AP，PE交CD于點E．若AB＝6，點P為BC的中點，則DE＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，余角，可證明出△ABP∽△PCE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出CE的值，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解．【解析】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，∠B=∠C=90°，∵P為BC中點，∴BP=PC=AB=3，∵AP⊥PE，∴∠APE=90°=∠APB+∠EPC，∵∠B=90°，∴∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠EPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE，∴，即，∴，∴DE=CD-CE=，故選：B．5．如圖所示，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，若要使BC邊上至少存在一點P，使△ABP、△APD、△CDP兩兩相似，則a，b間的關(guān)系一定滿足（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由于△ABP和△DCP相似，可得出關(guān)于AB、PC、BP、CD的比例關(guān)系式．設(shè)PC=x，那么BP=a-x，根據(jù)比例關(guān)系式可得出關(guān)于x的一元二次方程，由于BC邊上至少有一點符合條件的P點，因此方程的△≥0，由此可求出a、b的大小關(guān)系．【解析】解：若設(shè)PC=x，則BP=a-x，∵△ABP∽△PCD，∴，即，即x2-ax+b2=0方程有解的條件是：△=a2-4b2≥0，∴（a+2b）（a-2b）≥0，則a-2b≥0，∴a≥2b．故選：A．6．如圖，矩形ABCD，E在CD上，連接BE，將四邊形ABED沿BE翻折得到四邊形，若恰好經(jīng)過點C，，，則線段BE的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，，則，根據(jù)已知條件，證明，利用三角形相似的性質(zhì)，得出，即可得出，解關(guān)于x、y的方程組即可得出x、y的值，最后根據(jù)勾股定理求出BE即可．【解析】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=3，BC=AD=5，，根據(jù)折疊可知，，，，，設(shè)，則，，則，，，，∴，∴，，即：，∴，整理得：，∴，解得：，（舍去），，∴，，故A正確．故選：A．二、填空題7．如圖，正方形ABCD的邊長為8，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，且始終保持AM⊥MN．當(dāng)CN=2時，CM=______．【答案】4【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=8，∠B=∠C=90°，進(jìn)而證明∠BAM=∠NMC，得△BAM∽△CMN，即可求得CM的值．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=8，∠B=∠C=90°，∴∠BAM+∠BMA=90°，∵AM⊥MN，∴∠AMN=90°，∴∠BMA+∠NMC=90°，∴∠BAM=∠NMC，∴△BAM∽△CMN，∴，∴，解得MC=4．故答案為：4．8．如圖，正方形的邊長為8，是邊上一動點（與，不重合），連接．是延長線上一點，過點作的垂線交的平分線于點，則面積的最大值是__．【答案】8【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的定義證明出，設(shè)，則，再利用同角的余角相等，判斷出，進(jìn)而得出，得出，然后求出，再根據(jù)三角形的面積公式求出的面積，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．【解析】解：作于，四邊形是正方形，，是的角平分線，，，，，設(shè)，則，，四邊形是正方形，，，，，，，；，，，，，當(dāng)時，．故答案為：8．9．如圖，正方形ABCD中，，，點P在BC上運(yùn)動（不與B，C重合），過點P作，交CD于點Q，則CQ的最大值為___．【答案】4【分析】先證明△BPE∽△CQP，得到與CQ有關(guān)的比例式，設(shè)CQ=y，BP=x，則CP=12-x，代入解析式，得到y(tǒng)與x的二次函數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，PQ⊥EP，∴∠B=∠C=90°，∠EPQ=90°，∴∠BEP+∠BPE=90°，∠QPC+∠BPE=90°，∴∠BEP=∠CPQ．又∵∠B=∠C=90°，∴△BPE∽△CQP．∴．設(shè)CQ=y，BP=x，則CP=12-x.∴，化簡得，整理得，所以當(dāng)x=6時，y有最大值為4．故答案為：4．10．如圖，在矩形中，為邊上的一點，將沿翻折，得到，且在邊上，為邊上的一點，過點作的垂線交于點，連接交于點，連接，若，，平分，則的長度為______．【答案】【分析】過點作于點，延長，交于點，設(shè)，，由翻折可知：，，則，，在和中，根據(jù)勾股定理得，，證明∽，可得，證明∽，可得，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以解決問題．【解析】解：如圖，過點作于點，延長，交于點，設(shè)，，由翻折可知：，，則，，在和中，根據(jù)勾股定理，得：，，，，解得，，，，，，，∽，，，，，，由翻折可知：，，，，∽，，，，平分，，，．故答案為：．三、解答題11．如圖，在矩形中，點、分別在邊、上，∽，，，，求的長．【答案】【分析】由∽，，，，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得DF的長，然后利用勾股定理，求EF的長．【解析】解：∵△ABE∽△DEF，∴，∵，，，∴，解得：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴EF＝．故選：C．12．如圖，在正方形ABCD中，點E是AD的中點，點F在CD上，且CD=4DF，連接EF、BE，求證BE=2EF．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法證明出，再利用性質(zhì)求解．【解析】解：設(shè)，在正方形中，，，，，，∴BE：EF=AB：DE=1：2，∴BE=2EF．13．如圖，正方形ABCD中，點E在BC邊上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的邊長．【答案】6【分析】證明，可得，從而得到，進(jìn)而得到CE=4，即可求解．【解析】解∶∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∴∠AEB+∠CEF=90°，在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠AEB=90°，，∴∠BAE=∠CEF，∴，∴，∵AB=BC，∴，∴，∴CE=4，∴BC=CE+BE=4+2=6，即正方形ABCD的邊長為6．14．如圖，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的動點，若∠DCE=90°．求證：△ACD∽△BEC【答案】見解析【分析】根據(jù)AD⊥AB，BE⊥AB，有∠DAC=90°=∠EBC，∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，再根據(jù)∠DCE=90°，有∠DCA+∠ECB=90°，即有∠D=∠ECB，則結(jié)論得證．【解析】證明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠DAC=90°=∠EBC，∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，∵∠DCE=90°，∴∠DCA+∠ECB=90°，∴∠D=∠ECB，∵∠DAC=90°=∠EBC，∴△ACD∽△BEC．15．如圖，在矩形中，，，直角三角板的直角頂點在上滑動，點與，不重合，一直角邊經(jīng)過點，另一直角邊與射線交于點．(1)求證：∽；(2)當(dāng)時，求的長；(3)是否存在這樣的點，使的周長等于周長的倍？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)詳見解析(2)8(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，推出，再由直角三角形的性質(zhì)，得出，又因，推出，，從而證明∽；（2）根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得結(jié)論；（3）假設(shè)存在滿足條件的點，設(shè)，則，由∽知，解得的值，從而得結(jié)論．【解析】（1）證明：四邊形是矩形，，，又，，，∽；（2）解：在中，，，，，，，，，中，，；（3）解：假設(shè)存在滿足條件的點，設(shè)，則，∽，根據(jù)的周長等于周長的倍，得到兩三角形的相似比為，，即，解得，，．16．如圖，四邊形ABCD中，，點E在邊BC上，連接AE，DE，且AE⊥DE．(1)求證：；(2)若，，，求的值．【答案】(1)見解析；(2)或【分析】(1)首先根據(jù)AE⊥DE，可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，可得，據(jù)此即可證得結(jié)論；(2)首先設(shè)EC=x，則BE=11-x，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出方程，即可求得EC的長，最后根據(jù)正切的定義即可求得．【解析】（1）解：AE⊥DE，，，，，，；（2）解：設(shè)EC=x，則BE=11-x，，，得，得，解得x=3或x=8，經(jīng)檢驗x=3或x=8是原方程的解，或．17．如圖，，，P為AB上一點，，連接CD．(1)若，求BD的長；(2)若CP平分，求證：．【答案】(1)BD的長為；(2)見解析【分析】（1）利用一線三等角模型證明△ACP∽△BPD，即可解答；（2）利用角平分線的性質(zhì)可得∠PCD=∠ACP，從而可得∠PCD=∠DPB，然后證明△CPD∽△PBD，即可解答．【解析】（1）解：∵AB=9，AC=3，∴BP=AB-AP=9-3=6，∵∠A=∠CPD，∠ACP+∠APC=180°-∠A，∠APC+∠BPD=180°-∠CPD，∴∠ACP=∠BPD，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPD，∴，即，∴BD=，∴BD的長為；（2）證明：∵CP平分∠ACD，∴∠PCD=∠ACP，∵∠ACP=∠DPB，∴∠PCD=∠DPB，∵∠CPD=∠B，∴△CPD∽△PBD，∴，∴PD2=CD?BD．18．如圖，四邊形OABC是矩形，點A的坐標(biāo)為（0，6）點C的坐標(biāo)為（4，0），點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B出發(fā)，同時點Q從點B出發(fā)，沿BC以每秒3個單位長度的速度向點C運(yùn)動，當(dāng)點P與點B重合時，點P、Q同時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)當(dāng)t=1時，請直接寫出△BPQ的面積為；(2)當(dāng)△BPQ與△COQ相似時，求t的值；(3)當(dāng)反比例函數(shù)y=（x>0）的圖象經(jīng)過點P、Q兩點時．①求k的值；②點M在x軸上，點N在反比例函數(shù)y=的圖象上，若以點M、N、P、Q為頂點的四邊形是平