理論力學(xué)-第二章-平面力系(修訂版)

第二章平面力系1引言平面力系力系空間力系平面匯交力系平面力偶系平面任意力系空間匯交力系空間力偶系空間任意力系兩種簡單力系，研究復(fù)雜力系的根底2§2.1平面匯交力系§2.3平面力偶力系§2.4平面任意力系的簡化本章內(nèi)容：§2.2平面力對點(diǎn)之矩§2.5平面任意力系的平衡條件和平衡方程§2.6物體系統(tǒng)的平衡問題§2.7平面桁架的內(nèi)力計(jì)算3§2.1平面匯交力系一、合成的幾何法1.兩個(gè)力的合成力的平行四邊形法那么力的三角形法那么42.多個(gè)力的合成oF1F2F3F4力多邊形結(jié)論：FR12FR123FRF1ABF2CF3DF4E多個(gè)力構(gòu)成的匯交力系合成時(shí)，可反復(fù)利用力的平行四邊形法則或三角形法則求解(1)還可用力多邊形法則求力系的合力。力多邊形的封閉邊即為該力系的合力。(2)F2F3F4F1FRCDEBA5F2F2F3F4FRF3F1F1根據(jù)矢量相加的交換律，任意變換各分力矢的作圖順序，可得形狀不同的力多邊形，但其合力矢任然不變，即力系的合成過程與各分力的合成次序無關(guān).注:oF1F2F3F4F4FR6F1F2F3F4Fn剛體平衡

FR=0力多邊形自行封閉二、平面匯交力系平衡的幾何條件oF1F2F3F4Fn結(jié)論：平面匯交力系平衡的幾何條件:該力系的力多邊形自行封閉。7幾何法解題步驟：①選研究對象；②作出受力圖；③選擇適當(dāng)?shù)谋壤撸髁Χ噙呅?；④求出未知?shù)8:求:A,B,C處的約束反力解:以AC為研究對象,作受力圖如右:(2)以CB為研究對象,作受力圖如右,ABCPaaaPRBRCB45°

CRARC45°

ACP45°

45°

RBRC所以并作力多邊形如下:[例]9幾何法解題缺乏：①精度不夠，誤差大②作圖要求精度高；③不能表達(dá)各個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系。101.力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影Fy=F·sina=F·cosb三、平面匯交力系合成的解析法Fx=F·cosa(1)正負(fù)號的規(guī)定(2)投影是代數(shù)量(3)力沿軸的分力與力在軸上的投影的區(qū)別注意b1aba1FxFy11(b)力F在相互不垂直的軸x、y'上的投影與沿軸分解的分力大小是不相等的。y

xFO力在任一軸上的投影大小都不大于力的大小,而分力的大小卻不一定小于合力。力在任一軸上的投影可求，力沿一軸上的分量不可定。xFOFx分力Fx=？討論：力的投影與分量可見，〔a)力F在垂直坐標(biāo)軸x、y上的投影與沿軸分解的分力大小相等。FxyOxFy

OFyFxFyFxFyFx122.合力投影定理由圖可看出，各分力在x軸投影的和為：

推廣13合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。推廣合力的大?。?/p>

方向：14四、平面匯交力系平衡方程結(jié)論：平面匯交力系平衡的充分必要條件:各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。平面匯交力系的平衡方程剛體平衡

FR=0關(guān)系？15FFTFABFBCB30o30o30o[例]：P=20kN，不計(jì)桿重和滑輪尺寸，求：桿AB與BC所受的力。解：〔1〕以滑輪為研究對象，并畫受力圖如右上方〔2〕列平衡方程求解其中

解得

〔壓〕〔拉〕16【例】如圖所示結(jié)構(gòu)，重力P＝20kN，用鋼絲繩掛在支架的滑輪B上，鋼絲繩的另一端纏繞在絞車D上，桿AB與BC鉸接，并以鉸鏈A、C與墻連接。如兩桿和滑輪的自重不計(jì)，并忽略摩擦和滑輪的大小，試求平衡時(shí)AB桿和BC桿所受的力。(a)(b)解:(1)取滑輪為研究對象，由于滑輪的大小可忽略不計(jì)，故其受力圖如以下圖〔b〕所示。17(2)列平衡方程，建立如圖〔b〕所示的直角坐標(biāo)系其中

F1=F2=P(a)(b)(3)求解上兩方程得(b)18【例】求如圖所示梁的支座約束反力（梁重忽略不計(jì)）(a)(b)解:(1)畫梁的受力圖如圖〔b〕所示。(2)列平衡方程如下：(b)(a)又(3)聯(lián)解上各式得:19[例]P=2kN，求CD所受的力和A處的約束反力。解得：

解：(1)以AB桿為研究對象，畫其受力圖如右下方所示(2)列平衡方程求解20例夾緊裝置如圖。設(shè)各處均為光滑接觸，求F力作用下工件所受到的夾緊力。解：ABCFayxO逐一討論A、B塊，受力如圖示。ABFBAFCFBFABFAF對A：對B：而AB為二力桿：FC=Fctga由平面匯交力系平衡方程：21解題技巧：1、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個(gè)方程中只有一個(gè)未知數(shù)。2、力的方向可以任意假設(shè)，如果求出負(fù)值，說明力方向與假設(shè)相反。3、對于二力構(gòu)件，一般先設(shè)為拉力，如果求出負(fù)值，說明物體受壓力。22不僅與力的大小成正比，而且與點(diǎn)到力的作用線的垂直距離成正比一、力對點(diǎn)之矩的概念和計(jì)算1.大小：力F與力臂的乘積2.轉(zhuǎn)向：轉(zhuǎn)動方向，逆正順負(fù)力使物體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動的效應(yīng)的度量，表示符號：在平面內(nèi)，力對點(diǎn)之矩是一代數(shù)量。有兩個(gè)要素：BA當(dāng)F=0或h=0時(shí)，。F沿作用線移動時(shí)，力對點(diǎn)之矩不變易知：§2.2平面力對點(diǎn)之矩23力矩矢模：指向：用右手法那么，表示力矩矢方向方位：沿過O點(diǎn)力矩作用面的法線，表示力矩作用的方位。等于力矩大小Fh24合力對點(diǎn)O的力矩矢為

定理：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于所有各分力對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。

二、合力矩定理F2xyzrF1FnFRAO25力矩

合力矩

三、力矩與合力矩的解析式26解：將F分解[例]力F作用于支架上的點(diǎn)C,如圖所示，設(shè)試求力F分別對點(diǎn)A,B之矩。3mABCo60F2m27解：①用力對點(diǎn)之矩的定義求

[例]已知：如圖F、Q、l,求：和 ②應(yīng)用合力矩定理求28力偶：由兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系。力偶矩是一代數(shù)量。一、力偶與力偶矩可見，力偶的作用效應(yīng)決定于力的大小和力偶臂的長短，與矩心位置無關(guān)。在力學(xué)上，以力偶矩或M度量力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。逆正順負(fù)記作§2.3平面力偶系29〔2〕任一力偶可以在它的作用平面內(nèi)任意動移，而不改變力偶對剛體的效應(yīng)。同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，那么兩力偶彼此等效，即為同平面內(nèi)力偶的等效定理。二、同平面內(nèi)力偶的等效定理(1)力偶不能合成為一個(gè)力，或用一個(gè)力來等效替代；力偶也不能用一個(gè)力來平衡。力和力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)根本要素。1.定理〔3〕只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變力偶對剛體的效應(yīng)。2.力偶的性質(zhì)3060N0.4m0.4m60N0.6m40NM=24N.md1d21.平面力偶系的合成設(shè)有兩個(gè)力偶 三、平面力偶系的合成與平衡d31dd1d2d32平面力偶系平衡的充要條件是:所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。結(jié)論:平面力偶系合成結(jié)果還是一個(gè)力偶,合力偶矩等于各個(gè)力偶矩的代數(shù)和。推廣:即2.平面力偶系的平衡條件33[例]在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑的孔,每個(gè)鉆頭的力偶矩為求工件的總切削力偶矩和A、B端約束反力?由平面力偶系平衡方程有:〔2〕根據(jù)力偶的性質(zhì)，力FNA與FNB必組成一力偶。方向如下圖解:(1)工件的總切削力偶距為34[例]在梁AB的兩端各作用一力偶，其力偶矩的大小分別為m1=125kNm,m2=275kNm,轉(zhuǎn)向如下圖。梁長5m,重量不計(jì)，試求固定鉸鏈支座A和滾動支座B的約束反力。解：取梁AB為研究對象，根據(jù)力偶的性質(zhì)畫出梁的受力圖如下圖。由平面力偶系的平衡條件得：即lAB35解:BC為二力桿，又根據(jù)力偶的性質(zhì)，兩半拱及整體的受力如下圖。bＣMABacFBBＣFCBdFM=×+-0可解得BF例:

三鉸拱受力偶M作用，不計(jì)拱的重量，求A、B

處的約束力。有又由FAFBABbＣMcdaFAAMF

Cd36作用在物體上的力的作用線任意分布在同一平面內(nèi)的力系；當(dāng)物體及所受的力都對稱于同一平面時(shí)，也為平面任意力系問題。本節(jié)介紹平面任意力系的簡化和平衡問題，并介紹平面簡單桁架的內(nèi)力計(jì)算§2.4平面任意力系的簡化37一、力的平移定理其中ABFdM=Fd=MB(F)BMBAFd可以把作用在剛體上點(diǎn)A的力F平行移到任一點(diǎn)B，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，這個(gè)附加力偶的矩等于原來的力F對新作用點(diǎn)B的矩。38二、平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化?主矢和主矩OMF1F2OFnOO

為簡化中心

Mi

=Mo

(Fi

)(i=1，2，…，n)平面任意力系等效為兩個(gè)簡單力系：平面匯交力系和平面力偶系。MnM2M139Mo

=

M1+M2+…+Mn

FR′:原力系的主矢Mo：原力系對點(diǎn)O的主矩

平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)O簡化，可得一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心O。這個(gè)力偶的矩等于該力系的主矩。

平面匯交力系可合成為作用線通過點(diǎn)O的一個(gè)力FR′平面力偶系可合成為一個(gè)力偶，這個(gè)力偶的矩Mo等于各附加力偶矩的代數(shù)和，又等于原來各力對點(diǎn)O的矩的代數(shù)和。

oMOF1F2OFnOMnM2M140取坐標(biāo)系Oxy，那么力系主矢的解析表達(dá)式為主矢FR′的大小和方向余弦為主矩的解析表達(dá)式

F1F2OFnOMnM2M1oMOxyijyxij41固定端約束或插入端支座約束

FAxFAyMAAAFA

MA

42三、平面任意力系簡化結(jié)果的分析·合力矩定理

簡化結(jié)果可能有以下幾種情況，即：〔1〕FR′=0，Mo≠0；〔2〕FR′≠0，Mo=0；〔3〕FR′≠0，Mo≠0；〔4〕FR′=0，Mo=0。FR′=0，Mo≠0原力系合成為合力偶，合力偶矩為〔2〕平面任意力系簡化為一個(gè)合力的情形原力系簡化為一個(gè)力，F(xiàn)R′就是原力系的合力,合力作用線通過簡化中心O?！?〕平面任意力系簡化為一個(gè)力偶的情形(a)FR′≠0，Mo

=01.簡化結(jié)果分析43OFR′MoAOAdFR′FR′′FRdOAFR

原力系簡化為一個(gè)力，合力矢等于主矢；合力的作用線在點(diǎn)O的哪一側(cè)，根據(jù)主矢和主矩的方向確定；合力作用線到點(diǎn)O的距離為d。平面任意力系平衡。〔3〕平面任意力系平衡的情形(b)FR′≠0，Mo

≠0FR′=0，MO

=0FR′=FR=－FR′′44由圖(c),合力FR對點(diǎn)O的矩為又得合力矩定理：平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各力對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。MO(FR

)=FRd=MO(b)OFR′MoAOAdFR′FR′′FRdOAFR(c)(a)

2.平面任意力系的合力矩定理45例F1=150N，F(xiàn)2=200N，F(xiàn)3=300N，F(xiàn)=F′=200N。求力系向點(diǎn)O的簡化結(jié)果，并求力系合力的大小及其與原點(diǎn)O的距離。解F31210020011F113F280FF′xyOji46得力系向點(diǎn)O的簡化結(jié)果如圖〔b);MOFR′Oxy(b)合力及其與原點(diǎn)O的距離如圖(c)。(c)OxyFRdF31210020011F113F280FF′xyOji47解：在梁上距A端為x處的載荷集度為q(x)=qx/l。在此處取的一微段dx，梁在微段dx受的力近似為F(x)=qxdx/l。設(shè)合力作用線到A端的距離為xC

，xdxq(x)dxFxcABlq梁由x=0到x=l的分布載荷合力為根據(jù)合力矩定理例水平梁AB受按三角形分布的載荷作用，如圖示。載荷的最大值為q，梁長l，求合力作用線的位置。48§

2.5平面任意力系的平衡條件和平衡方程

討論平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形：

FR′=0Mo

=0主矢等于零，說明作用于簡化中心O的匯交力系為平衡力系；主矩等于零，說明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必為平衡力系。上式為平面任意力系平衡的充分條件。由上節(jié)分析結(jié)果可知：主矢和主矩有一個(gè)不等于零時(shí)，那么力系簡化為合力或合力偶；假設(shè)主矢和主矩都不等于零，可進(jìn)一步簡化為一個(gè)合力。上述情況下力系都不能平衡，只有當(dāng)主矢和主矩都等于零時(shí)，力系才能平衡，上式為平面任意力系平衡的必要條件。任意力系平衡的充分必要條件：力系的主矢和對任一點(diǎn)的主矩都等于零。

49（或）

一、平衡條件的解析式(即平衡方程〕：二力矩式三力矩式條件是：A、B兩點(diǎn)的連線不能與x軸或y軸垂直條件是：A、B、C三點(diǎn)不能共線下一頁555650

例

圖示水平梁AB，A端為固定鉸鏈支座，B端為一滾動支座。梁長為4a，梁重P，作用在梁的中點(diǎn)C。在梁的AC段上受均布載荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M=Pa。求A和B處的支座約束力。

AB4a2aMPqC51解：〔1〕A、B兩處的約束反力如下圖。AB4a2aMPqFBFAxFAy聯(lián)解上各式得

〔2〕列靜力平衡方程如下52例如下圖平面剛架AB，其上作用有力P和力偶M，力偶矩等于Pa，假設(shè)P、a均為，求A、B兩處的約束反力。aaaM=PaPABC53解法一：〔1〕A、B兩處的約束反力如下圖?！?〕列靜力平衡方程如下aaaM=PaPABCRB

XAYA聯(lián)解上各式得：

54二力矩式aaaM=PaPABCRB

XAYA〔2〕列靜力平衡方程如下聯(lián)解上各式得：

D50解法二：〔1〕A、B兩處的約束反力如下圖。55aaaM=PaPABCRB

XAYAD〔2〕列靜力平衡方程如下聯(lián)解上各式得：

三力矩式50解法三：〔1〕A、B兩處的約束反力如下圖。56例自重為P=100kN的T字形剛架ABD，置于鉛垂面內(nèi)，載荷如圖示。其中M=20kNm,F=400kN,q=20kN?m,l=1m。求固定端A的約束力。MPADB3lllqF30°57MPADB3lllqF30°解方程得：

FAyMA解：T字形剛架ABD的受力如下圖。FAx58二、平面平行力系的平衡

xF1F2F3FnyO

如圖：物體受平面平行力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的作用。那么平行力系的獨(dú)立平衡方程為：如取x軸與各力垂直，不管力系是否平衡，恒有平行力系平衡方程的二力矩式：592m2mQWPAB6m12m例塔式起重機(jī)如下圖。機(jī)身總重為W=220kN，作用線通過塔架的中心。最大起重量P=50kN，平衡塊重Q＝30kN。求：滿載和空載時(shí)軌道A、B的約束反力，并問此起重機(jī)在使用過程中有無翻倒的危險(xiǎn)?！?〕起重機(jī)受力圖如下圖〔2〕列平衡方程如下：解：解方程得:

RBRA60①滿載時(shí),P=50kN,那么②空載時(shí),P=0,那么RA=45kNRB=255kNRA=170kNRB=80kN討論:(a)滿載時(shí)，為了保證起重機(jī)不致繞B點(diǎn)翻到，必須使RA>0;同理，空載時(shí)，為了保證起重機(jī)不致繞A點(diǎn)翻到，必須使RB>0;(b)由上計(jì)算知：滿載時(shí)，RA=45kN>0;空載時(shí)，RB=80kN>0;所以此起重機(jī)在使用過程中無翻倒的危險(xiǎn)。2m2mQWPAB6m12mRARB61例塔式起重機(jī)如圖。機(jī)架重為P1=700KN，作用線通過塔架的中心。最大起重量P2=200KN，最大懸臂長為12m，軌道AB的間距為4m。平衡荷重P3，到機(jī)中心距離為6m。求：保證起重機(jī)在滿載和空載時(shí)都不致翻倒，平衡荷重P3為多少？解:(1)選起重機(jī)為研究對象,受力如圖示。2m2mP3P1P2AB6m12mFAFB〔2〕列平衡方程如下：62解方程得:

2m2mP3P1P2AB6m12mFAFB63

起重機(jī)實(shí)際工作時(shí)不允許處于極限狀態(tài)，要使起重機(jī)不翻倒，平衡荷重P3應(yīng)在兩者之間，即：

75KN<P3

<350KN〔3〕討論

滿載時(shí)，P2=200kN，為使起重機(jī)不繞點(diǎn)B翻倒，考慮臨界情況。令FA=0，求出的P3值是所允許的最小值?？蛰d時(shí)，P2=0，為使起重機(jī)不繞點(diǎn)A翻倒，考慮臨界情況。令FB=0，求出的P3值是所允許的最大值。令0令064§

2.6

物體系統(tǒng)的平衡問題由假設(shè)干個(gè)物體組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡稱物系。假設(shè)研究的問題中的未知量數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目時(shí)，所有未知量都能由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜定問題。假設(shè)研究的問題中的未知量數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目時(shí)，未知量不能全部由平衡方程求出，這樣的問題稱為超靜定問題。1.靜定和超靜定的概念65下面看幾個(gè)例子。ABFAFBPABCPFAFBFCABCPFAFBABPFAFBFCAAPFAxFAyMAF1F2BPFAxFAyMAF1F2FB66F1ABFByFBxFAxFAyMAPF2F12.物系平衡問題分析實(shí)例〔1〕可以選每個(gè)物體為研究對象，列出全部平衡方程，然后求解；〔2〕也可先取整體為研究對象，列出平衡方程，解出局部未知量，再從系統(tǒng)中選取某些物體為研究對象，列出另外的平衡方程，直至求出所有未知量。PF2ABFAxFAyMAFB67q0ABCDFPq1m1m1m1m0.5m0.5m例圖示組合梁〔不計(jì)自重〕由AC和CD兩局部鉸接而成。：F=10kN，P=20kN，均布載荷q=5kN/m，梁的BD段受線性分布載荷，q0=6kN/m，求A和B處的約束反力。FBFAxFAyMA解：〔1〕選梁整體為研究對象。68〔2〕選CD為研究對象。FBq0BCDF1m1m0.5mFCyFCx解得

69

例

圖示鋼結(jié)構(gòu)拱架由兩個(gè)相同的鋼架AC和BC鉸接，吊車梁支承在鋼架的D，E上。設(shè)兩鋼架各重為P=60kN；吊車梁重為P1=20kN，其作用線通過點(diǎn)C；載荷為P2=10kN；風(fēng)力F=10kN。尺寸如圖。D，E兩點(diǎn)在力P的作用線上。求固定鉸支座A和B的約束力。PPP2P1F5m2m8m2m2mBACDE10m70解：〔1〕選整個(gè)拱架為研究對象,受力如下圖。PPP2P1F10m5m2m8m2m2mBACDExyFAxFAyFByFBX71PFCxFCyFByFBXFEBCE4m〔2〕選右邊拱架為研究對象，受力如下圖?！?〕選吊車梁為研究對象，受力如下圖。DEP2P1FE′FD′解得72例圖示構(gòu)架，由直桿BC，CD及直角彎桿AB組成，各桿自重不計(jì)，載荷分布及尺寸如圖。銷釘B穿透AB及BC兩構(gòu)件，在銷釘B上作用一鉛垂力F。q，a，M，且M=qa2。求固定端A的約束力及銷釘B對桿BC、桿AB的作用力。ABCDqFq3aaaaM73解：〔1〕選CD桿為研究對象，其受力如下圖。解得〔2〕選BC桿為研究對象，其受力如下圖。MBCFCx′

FCy′

FBCxFBCy解得CDqFCxFCyFDyFDx74〔3〕選銷釘B為研究對象，其受力如下圖。BFFBCx′

FBCy′

FBAx′

FBAy′

解得即銷釘B對桿AB的作用力為：ABCDqFq3aaaaM75〔4〕選直角彎桿AB為研究對象，其受力如下圖。ABqFAyFAyFBAxFBAyMA

解得76例圖示一結(jié)構(gòu)由AB、BC與CE三個(gè)構(gòu)件構(gòu)成。E處有一滑輪，細(xì)繩通過該輪懸掛一重為1.2kN的重物。尺寸如圖，不計(jì)桿件與滑輪的重量。求支座A和B處的約束反力，以及桿BC的內(nèi)力FBC。ABCDE1.5m2m2m1.5m解：〔1〕選整體為研究對象，其受力如下圖。FAyFFBFAxP77〔2〕取ADB桿為研究對象，其受力如下圖。ABDFAyFBFAxFDxFDyFBC解得式中r為輪的半徑，細(xì)繩拉力F=P。解得78解題步驟1、根據(jù)題意選取研究對象；2、作該研究對象的受力圖〔受力圖要畫別離體〕；3、列平衡方程求解未知量的大小與方向〔盡量一個(gè)方程求解一個(gè)未知數(shù)，盡量不聯(lián)力求解方程。特別注意：一個(gè)研究對象至多能列三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。79練習(xí)1：以下四種情況下A、C處約束反力有何不同?〔最后兩種情況A為活動鉸支座〕ACBlllFPllABDCFPllABDCM=FPllllACBM=FPl80qBACaaqCB分析練習(xí)2：求A、B、C三處的約束力MAABMA81qCB解：以BC梁為研究對象，作受力圖MAqCA以整體為研究對象，作受力圖：解得：82MAAB解法2以BC梁為研究對象，作受力圖以AB為研究對象，作受力圖：qCB83§

2.7平面桁架的內(nèi)力計(jì)算

桁架在橋梁、起重機(jī)、電視塔與屋架等工程對象中得到廣泛的應(yīng)用。工程中的桁架結(jié)構(gòu)84工程中的桁架結(jié)構(gòu)85桁架的優(yōu)點(diǎn)是：桿件主要承受拉力或壓力，可以充分發(fā)揮材料的作用，節(jié)約材料，減輕結(jié)構(gòu)的自重。

桁架是一種由細(xì)長桿在其兩端用鉸鏈連接而成的結(jié)構(gòu)，幾何形狀不變。如果桁架所有桿件的軸線與其受到的載荷均在一個(gè)平面內(nèi)，稱此類桁架為平面桁架，否那么稱為空間桁架。本節(jié)的研究對象為平面桁架。

在載荷作用下計(jì)算桁架的內(nèi)力是研究桁架的主要目的之一。861、平面桁架的靜力學(xué)模型

(1)

桁架的桿件都是直的；構(gòu)成桁架的桿件均為二力桿〔3〕桁架所受的力(載荷)都作用在節(jié)點(diǎn)上，且在桁架的平面內(nèi)；

(2)

桿件用光滑的圓柱鉸鏈連接。桁架中桿件的鉸鏈接頭稱為節(jié)點(diǎn)；〔4〕桿件的自重不計(jì)，或平均分配到桿件兩端的節(jié)點(diǎn)上。這樣的桁架為理想桁架872、簡單平面桁架的構(gòu)成

平面桁架先由三根桿與三個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，以后每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)就增加兩個(gè)桿件，從而得到幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)——簡單平面桁架。

將桿件數(shù)與節(jié)點(diǎn)數(shù)分別記為n與m，根據(jù)上述的規(guī)那么，它們有如下的關(guān)系對于簡單平面桁架，每個(gè)節(jié)點(diǎn)受到的是一個(gè)平面匯交力系，存在兩個(gè)平衡方程。因此共有獨(dú)立的平衡方程2m個(gè)。由上式可知，它可以求解n+3個(gè)未知數(shù)。如果支承桁架的約束力的個(gè)數(shù)為3，平面桁架的n個(gè)桿件內(nèi)力可解，故簡單平面桁架問題是靜定的。顯然，如果在簡單平面桁架上再增加桿件或支承約束力超過3，那么使該靜力學(xué)問題由靜定變?yōu)槌o不定。883、桁架的內(nèi)力計(jì)算(1)構(gòu)成桁架的桿都是二力桿，其內(nèi)力一定沿桿的軸線方向，因此，內(nèi)力為拉力或壓力。統(tǒng)一設(shè)拉為正、壓為負(fù)?！?〕內(nèi)力計(jì)算的方法：節(jié)點(diǎn)法：利用各個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡方程計(jì)算桿的內(nèi)力。截面法：將桁架局部桿切斷，利用桁架子系統(tǒng)的平衡方程計(jì)算桿的內(nèi)力。FF′(b)(a)89ABCDE123456aa30°FF解：〔1〕選節(jié)點(diǎn)E為研究對象，受力如圖(b)。〔2〕選節(jié)點(diǎn)C為研究對象，受力圖如圖(c)。FEF1F2(b)FF1CF4F3(c)例平面桁架所受的載荷如下圖。求各桿的內(nèi)力。解得：解得：90DF2F3F5F6xy(d)