平面向量數(shù)量積

定義：

一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a

的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa

的方向與a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí),λa

的方向與a方向相反；特別地，當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0第1頁(yè)，共17頁(yè)。運(yùn)算律：

設(shè)a,b為任意向量，λ,μ為任意實(shí)數(shù)，則有：

①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb第2頁(yè)，共17頁(yè)。已知兩個(gè)非零向量a和b，作OA=a，

OB=b，則∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角。OBAθ向量的夾角當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b同向；OAB當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b反向；OABB當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱a與b垂直，記為a⊥b.OAab第3頁(yè)，共17頁(yè)。

我們學(xué)過功的概念，即一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）θFS力F所做的功W可用下式計(jì)算

W=|F||S|cosθ其中θ是F與S的夾角

從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。第4頁(yè)，共17頁(yè)。

已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

a·b=|a||b|cosθ定義規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0。注意：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量。第5頁(yè)，共17頁(yè)。

向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？思考：a·b=|a||b|cosθ當(dāng)0°≤θ＜

90°時(shí)a·b為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)a·b為負(fù)。當(dāng)θ=90°時(shí)a·b為零。第6頁(yè)，共17頁(yè)。重要性質(zhì):設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OABθ

abB1第7頁(yè)，共17頁(yè)。第8頁(yè)，共17頁(yè)。解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例2已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=120°，求a·b。例3已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°

=

2第9頁(yè)，共17頁(yè)。練習(xí)：1．若a=0，則對(duì)任一向量b

，有a·b=0．2．若a≠0，則對(duì)任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，則b=04．若a·b=0，則a·b中至少有一個(gè)為0．5．若a≠0，a·b=b·c，則a=c6．若a·b=a·c,則b≠c,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)成立．7．對(duì)任意向量a有√×××××√第10頁(yè)，共17頁(yè)。二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：其中，是任意三個(gè)向量，注：第11頁(yè)，共17頁(yè)。例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.第12頁(yè)，共17頁(yè)。例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b

＝a·a＋b·a－a·b－b·b