2024內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 二次函數(shù)與幾何綜合題 類型二 面積問題（課件）

二次函數(shù)與幾何綜合題類型二面積問題微技能一階例1在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－x2－2x＋3的頂點為A，與y軸交于點B，與x軸交于C、D兩點(點C在點D左側(cè))．(1)如圖①，過點A作AE⊥x軸于點E，求△ABE的面積；例1題圖①解：(1)拋物線y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.∴點A的坐標(biāo)為(－1，4)，∴S△ABE＝×1×4＝2；一題多設(shè)問滿分技法直接公式法：適用于三角形的一邊平行于坐標(biāo)軸(或在坐標(biāo)軸上)，直接運用三角形的面積公式S＝

AB·h求解．(2)如圖②，拋物線上有一點M(－2，3)，連接AM，AD，MD，求△AMD的面積；【分割法】例1題圖②(2)如解圖，過點A作AF∥y軸交MD于點F，F(xiàn)令－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴D(1，0)，設(shè)直線MD的解析式為y＝kx＋b，將點M(－2，3)，D(1，0)代入，例1題圖②F得

解得

∴直線MD的解析式為y＝－x＋1.又∵點A(－1，4)，∴當(dāng)x＝－1時，y＝2，則點F的坐標(biāo)為(－1，2)，∴S△AMD＝

AF·|xD－xM|＝×(4－2)×[1－(－2)]＝3；【補全法】(2)如解圖，過點A作GH∥x軸，分別過點M、D作MG⊥AG、DH⊥AH，例1題解圖∴S△AMD＝S梯形MGHD－S△AGM－S△AHD

＝×(1＋4)×3－×1×1－×2×4

＝3；滿分技法1.分割法：S△ABC＝

ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．滿分技法2.補全法：S△ABC＝S四邊形BCED－S△ADB－S△AEC(3)如圖③，連接AB，BD，AC，求四邊形ABDC的面積．例1題圖③(3)如解圖，連接BC，過點A作AN∥y軸交BC于點N，N由(2)同理可得點N的坐標(biāo)為(－1，2)，∴S四邊形ABDC＝S△ABC＋S△BCD

＝×(4－2)×[0－(－3)]＋×[1－(－3)]×3

＝9.滿分技法對于一邊在坐標(biāo)軸上(或一邊平行于坐標(biāo)軸)的四邊形，可連接一條對角線，將四邊形分割成兩個三角形來解決．其中一個三角形一邊在坐標(biāo)軸上(或一邊平行于坐標(biāo)軸)，另一個三角形的三邊都不在坐標(biāo)軸上(或三邊都不平行于坐標(biāo)軸)．設(shè)問突破二階例2如圖，拋物線y＝－x2－2x＋3交x軸于A、B兩點，交y軸于點C.連接AC、BC.(1)若點P是拋物線上一點(不與點C重合)，直線CP將△ABC分成面積相等的兩部分，求出點P的坐標(biāo)；例2題圖①【思維教練】要求直線CP將△ABC分成面積相等的兩部分時點P的坐標(biāo)，只需使直線CP經(jīng)過線段AB的中點即可．解：(1)在拋物線y＝－x2－2x＋3中，令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)，令y＝0，得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．∵直線CP將△ABC分成面積相等的兩部分，∴直線CP經(jīng)過點(－1，0)．設(shè)直線CP的解析式為y＝kx＋b，將C(0，3)、(－1，0)代入，例2題圖①得

解得∴直線CP的解析式為y＝3x＋3.

聯(lián)立

解得(舍去)或∴點P的坐標(biāo)為(－5，－12)；例2題圖①(2)若點P是拋物線上一點，是否存在點P，使得S△PAB＝2S△ABC，若存在，求出點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【思維教練】要求滿足S△PAB＝2S△ABC的點P的橫坐標(biāo)，由于△PAB和△ABC同底，則可根據(jù)點C的縱坐標(biāo)求出點P的縱坐標(biāo)，從而代入拋物線的解析式中求值即可．例2題圖②(2)存在．由題意可知△PAB和△ABC同底，∵S△PAB＝2S△ABC，∴△ABP的高是△ABC高的2倍，∵拋物線頂點縱坐標(biāo)為

＝4＜2×3，∴點P在x軸下方，∴點P的縱坐標(biāo)為－6，當(dāng)y＝－6時，－x2－2x＋3＝－6，解得x1＝－1＋

，x2＝－1－

，∴點P的橫坐標(biāo)為－1＋

或－1－

；例2題圖②(3)若點P是拋物線上一點，且位于對稱軸的左側(cè)，是否存在點P，使得S△PBC＝

，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【思維教練】假設(shè)點P存在，過點P作BC的垂線結(jié)合S△PBC＝

，再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．例2題解圖(3)存在．假設(shè)存在點P，使得S△PBC＝

，如解圖，過點P作PK⊥BC，交BC的延長線于點K，作PH∥y軸，交x軸于點H，交BC的延長線于點F，連接PC，PB.例2題圖③∵PH∥y軸，PK⊥BC，∴∠F＝∠BCO，∠PKF＝∠BOC＝90°，∴△PKF∽△BOC，

∴∴BC·PK＝BO·PF.又∵S△PBC＝

，BO＝1，

∴BC·PK＝

BO·PF＝

，

∴PF＝9.例2題解圖例2題解圖由B(1，0)，C(0，3)可求出直線BC的表達式為y＝－3x＋3，設(shè)P(p，－p2－2p＋3)，則F(p，－3p＋3)，∴PF＝－3p＋3－(－p2－2p＋3)＝p2－p＝9.

解得p1＝

，p2＝(不合題意，舍去)，

當(dāng)p＝

時，y＝

，∴P(，)．∴存在點P，使得S△PBC＝

，此時點P的坐標(biāo)為(，)；例2題解圖(4)若點P是線段AC上方拋物線上一點，是否存在點P，使得△PAC的面積取得最大值，若存在，求出最大值及此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【思維教練】要求△PAC的面積最大值及此時點P的坐標(biāo)，根據(jù)三角形三邊均不與坐標(biāo)軸平行，可設(shè)出點P的橫坐標(biāo)，利用“分割法”或“補全法”進行求解．(4)存在．如解圖，設(shè)點P的坐標(biāo)為(p，－p2－2p＋3)，連接OP，例2題解圖例2題圖④例2題解圖由題意可知，OA＝3，OC＝3，∴S△PAC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC

＝

OA×|yP|＋

OC×|xP|－

OA×OC

＝×3×(－p2－2p＋3)＋×3×(－p)－×3×3

＝－

p2－

p

＝－(p＋)2＋

，∵－

＜0，－3＜x＜0，∴當(dāng)p＝－

時，S△PAC最大，S△PAC最大＝

，此時點P的坐標(biāo)為(－

，)；例2題解圖(5)動點M從點A出發(fā)在線段AC上以每秒

個單位長度向點C做勻速運動，同時，動點N從點B出發(fā)，在線段BA上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接MN，設(shè)運動時間為t秒，求當(dāng)t為何值時，四邊形BCMN的面積最小，最小值為多少？【思維教練】用含t的坐標(biāo)表示出點M，N，從而表示出各條線段的長，利用面積公式表示出S四邊形BCMN，從而用含t的二次函數(shù)解析式表示出四邊形BCMN的面積，即可求出最值．例2題圖⑤(5)由題易得△OAC是等腰直角三角形．由點M的運動可知AM＝t，由點N的運動可知BN＝t，如解圖，過點M作ME⊥x軸交x軸于點E，例2題解圖∴AE＝ME＝

AM＝·t＝t，∴AN＝4－t.∴S四邊形BCMN＝S△ABC－S△AMN

＝

AB·OC－

AN·ME

＝×4×3－×(4－t)×t

＝

t2－2t＋6

＝(t－2)2＋4.例2題解圖∵當(dāng)其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，AC＝

，AB＝4，例2題解圖∴0≤t≤3.∵＞0，∴當(dāng)t＝2時，四邊形BCMN的面積最小，S四邊形BCMN最?。?.對接中考已知二次函數(shù)y＝ax2－bx＋c且a＝b，若一次函數(shù)y＝kx＋4與二次函數(shù)的圖象交于點A(2，0)．(1)寫出一次函數(shù)的解析式，并求出二次函數(shù)與x軸交點坐標(biāo)；解：(1)將點A(2，0)代入y＝kx＋4，得k＝－2，∴一次函數(shù)的解析式為y＝－2x＋4.

又∵

∴c＝－2a.∴y＝ax2－ax－2a＝a(x－2)(x＋1)，∴二次函數(shù)與x軸交點為(－1，0)和(2，0)；(2)當(dāng)a＞c時，求證：直線y＝kx＋4與拋物線y＝ax2－bx＋c一定還有另一個異于點A的交點；(2)證明：聯(lián)立

得ax2＋(2－a)x－(2a＋4)＝0，∴b2－4ac＝(2－a)2＋4a(2a＋4)＝(3a＋2)2.∵a>c，即a>－2a，∴a>0，∴(3a＋2)2>0，∴方程ax2＋(2－a)x－(2a＋4)＝0有兩個不相等的實根，∴y＝－2x＋4和y＝ax2－ax－2a有兩個不同的交點．又∵其中一個交點為A(2，0)，∴一定還有另一個異于點A的交點；(3)當(dāng)c＜a≤c＋3時，求出直線y＝kx＋4與拋物線y＝ax2－bx＋c的另一個交點B的