高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-等差數(shù)列及其前n項和課件

2022高考一輪復(fù)習(xí)7.2等差數(shù)列及其前n項和課程標(biāo)準(zhǔn)解讀關(guān)聯(lián)考點核心素養(yǎng)1.理解等差數(shù)列的概念．2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式．3.能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．4.體會等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．1.等差數(shù)列的基本運算．2.等差數(shù)列的判定與證明．3.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用．1.邏輯推理．2.數(shù)學(xué)運算．課前自測1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．(

)(2)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列．(

)(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)．(

)(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(5)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(

)(6)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)．(

)×√×√√×2．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a2＝2，S4＝14，則S6等于(

)A．32B．39C．42D．45設(shè)公差為d，

a2＝2

S4＝14

B3．已知{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，則n＝(

)A．6B．7C．8D．9

n＝8(負值舍去)C

5．(2020·高考全國卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝____________．

通解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，255．(2020·高考全國卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝____________．優(yōu)解25設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，

考點梳理1．等差數(shù)列與等差中項若三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則_____叫做a，b的等差中項．(1)等差數(shù)列的定義一個數(shù)列從_______起，每一項與它的前一項的____都等于____一個常數(shù)；①文字語言第2項差同②符號語言_______________(n∈N*，d為常數(shù))．a(chǎn)n＋1－an＝d(2)等差中項A(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d．

2．等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式

3．等差數(shù)列的性質(zhì)(5)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．(1)通項公式的推廣：an＝am＋________(n，m∈N*)．(n－m)d(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則______________．a(chǎn)k＋al＝am＋an(3)若{an}的公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為_____．2d(4)若{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．常用結(jié)論(1)通項公式：當(dāng)公差d≠0時，等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且一次項系數(shù)為公差d.若公差d＞0，則為遞增數(shù)列，若公差d＜0，則為遞減數(shù)列．等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

常用結(jié)論

兩個常用結(jié)論

(1)關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì)

常見誤區(qū)!1．當(dāng)公差d≠0時，等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù)；當(dāng)公差d＝0時，an為常數(shù)．2．注意利用“an－an－1＝d”時加上條件“n≥2”．典例剖析考點1等差數(shù)列的基本運算

方法一設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

A

方法二A設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

選項A，a1＝2×1－5＝－3；選項B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；選項C，S1＝2－8＝－6，排除C；

(2)(2020·河南部分重點高中聯(lián)考)記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若3S5－5S3＝135，則數(shù)列{an}的公差d＝________．9

15d＝135d＝9方法總結(jié)(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程思想．(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．等差數(shù)列的基本運算的解題策略跟蹤訓(xùn)練1.(2020·六校聯(lián)盟第二次聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，則a10＝(

)A．18B．16C．14D．12所以a10＝－4＋9×2＝14.C設(shè){an}的公差為d，

所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得d＝2a1，又a1＝1，所以d＝2，2．(2020·合肥第一次教學(xué)檢測)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S4＝4S2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；2．(2020·合肥第一次教學(xué)檢測)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S4＝4S2.(2)若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180(m∈N*)，求m的值．m＝5am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝18010am＋45d＝20m＋80＝180考點2等差數(shù)列的判定與證明

證明：

整理，得Sn－1－Sn＝2SnSn－1.

變式探究

證明：

所以2Sn－1Sn＋Sn＝Sn－1，即Sn－1－Sn＝2SnSn－1，

方法總結(jié)等差數(shù)列的判定與證明方法[注意]在解答題中證明一個數(shù)列為等差數(shù)列時，只能用定義法．跟蹤訓(xùn)練1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，則S7等于(

)A．13B．49C．35D．63

由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，

則an＝a2＋(n－2)d＝2n－1，即a1＝1，a7＝13，B2．?dāng)?shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＝－6，a6＝6，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則(

)A．S4＜S3B．S4＝S3C．S4＞S1D．S4＝S1B數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因為a2＝－6，a6＝6，所以4d＝a6－a2＝12，即d＝3.所以an＝－6＋3(n－2)＝3n－12，所以S1＝a1＝－9，S3＝a1＋a2＋a3＝－9－6－3＝－18，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝－9－6－3＋0＝－18，所以S4＜S1，S3＝S4.考點3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用角度一等差數(shù)列項的性質(zhì)

A因為a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的兩個實數(shù)根，所以a2＋a14＝－6，a2a14＝2，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a2＋a14＝2a8＝－6，(2)(多選)設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論正確的是(

)A．d＜0B．a(chǎn)7＝0C．S9＞S5D．S6與S7均為Sn的最大值S6＝S5＋a6＞S5，則a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，則a7＝0，則d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.則a7＋a8＜0，所以S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是Sn中的最大值．ABD方法總結(jié)

角度二等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)[例4](1)已知等差數(shù)列{an}的前10項和為30，它的前30項和為210，則前20項和為(

)A．100B．120C．390D．540設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列，所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，又等差數(shù)列{an}的前10項和為30，前30項和為210，所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.A設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，項數(shù)為n，前n項和為Sn，因為d＝4，S奇＝15，S偶＝55，

所以n＝20，即這個數(shù)列的項數(shù)為20.B方法總結(jié)在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an；(3)當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇＝nd；項數(shù)為奇數(shù)2n－1時，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)角度三等差數(shù)列的前n項和的最值[例5]

(一題多解)(2020·廣東省七校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，則Sn取得最大值時n的值為(

)A．5B．6C．7D．8所以Sn取得最大值時n的值是8.方法一設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

所以an＝－2n＋17，由于a8＞0，a9＜0，D角度三等差數(shù)列的前n項和的最值[例5]

(一題多解)(2020·廣東省七校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，則Sn取得最大值時n的值為(

)A．5B．6C．7D．8所以當(dāng)n＝8時，Sn取得最大值.方法二設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

D方法總結(jié)求等差數(shù)列{an}的前n項和Sn的最值的方法跟蹤訓(xùn)練1．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝20，則S9＝(

)A．27B．36C．45D．54

a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5＝20a5＝4B

D3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，則滿足Sn＞0的最大自然數(shù)n的值為(

)A．6B．7C．12D．13所以滿足Sn＞0的最大自然數(shù)n的值為12.因為在等差數(shù)列{an}中a1＞0，a6a7＜0，所以a6＞0，a7＜0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，所以S12＞0，S13＜0，C1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a2＝2，且對于任意n＞1，n∈N*，滿足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，則(

)A．a(chǎn)9＝17B．a(chǎn)10＝18C．S9＝81D．S10＝90隨堂訓(xùn)練

因為對于任意n＞1，n∈N*，滿足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，所以Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，所以an＋1－an＝2.所以數(shù)列{an}在n≥2時是等差數(shù)列，公差為2.又a1＝1，a2＝2，則a9＝2＋7×2＝16，a10＝2＋8×2＝18，B2．已知數(shù)列{an}(n∈N＋)是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，若a2a5＋a8＝0，S9＝27，則S8的值是________．則S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，163．(應(yīng)用型)某劇場有20排座位，后一排比前一排多2個座位，最后一排有60個座位，則劇場總共的座位數(shù)為________．

設(shè)第n排的座位數(shù)為an(n∈N*)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其公差d＝2，則an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60