專題17 解直角三角形模型-原卷版

專題17解直角三角形模型★知識點1：背靠背型如圖，已知△ABC，過點C作CD⊥AB，得到Rt△ACD和Rt△CDB．【模型分析】已知三角形中的兩角(∠A和∠B)及一邊(AC或BC)，在三角形內(nèi)作高CD，構(gòu)造兩個直角三角形求解，公共邊CD是解題的關(guān)鍵．典例分析【例1】（2023·上海·一模）如圖，在港口A的南偏東37°方向的海面上，有一巡邏艇B，A、B相距20海里，這時在巡邏艇的正北方向及港口A的北偏東67°方向上，有一漁船C發(fā)生故障．得知這一情況后，巡邏艇以25海里/小時的速度前往救援，問巡邏艇能否在1小時內(nèi)到達(dá)漁船C處？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【例2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，我市計劃在某工業(yè)園區(qū)內(nèi)，為相距4千米的彩印公司、包裝公司修一條筆直的公路．點P表示住宅小區(qū)，在彩印公司北偏東方向與包裝公司北偏西方向的交點，住宅小區(qū)在以P為圓心，0.8千米為半徑的范圍內(nèi)，問這條公路是否會穿越這個住宅小區(qū)？（參考數(shù)據(jù)：，）【即學(xué)即練】1．（2020·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，為了測量河寬，在河的一邊沿岸選取B、C兩點，對岸岸邊有一塊石頭A，在中，測得，，米，求河寬（即點A到邊的距離）（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）2.（2020秋·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，從一熱氣球的探測器A點，看一棟高樓頂部B點的仰角為30°，看這棟高樓底部C點的俯角為60°，若熱氣球與高樓的水平距離為60m，求這棟高樓的高度．★知識點2：母子型已知△ABD，過點B作BC⊥AD交AD的延長線于點C，則得到Rt△BCD和Rt△ABC．已知三角形中的兩角(∠1和∠2)及其中一邊，在三角形外作高BC，構(gòu)造兩個直角三角形求解，公共邊BC是解題的關(guān)鍵．典例分析【例1】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過銳角三角函數(shù)后，計劃測量中原福塔的總高度．如圖所示，在B處測得福塔主體建筑頂點A的仰角為45°，福塔頂部桅桿天線AD高120m，再沿CB方向前進(jìn)20m到達(dá)E處，測得桅桿天線頂部D的仰角為53.4°．求中原福塔CD的總度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）【例2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，某小組想要測量某條河的寬度，小組成員在專業(yè)人員的協(xié)助下利用無人機(jī)進(jìn)行測量，在處測得，兩點的俯角分別為45°和30°（即，）．若無人機(jī)離地面的高度為120米，且點，，在同一水平直線上，求這條河的寬度．（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，）即學(xué)即練1．（2023春·重慶渝北·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌，小明在斜坡的坡腳處測得宣傳牌底部的仰角為，沿斜坡向上走到處測得宣傳牌頂部的仰角為，已知斜坡的坡度，米，米，求宣傳牌的高度．（測角器的高度忽略不計，參考數(shù)據(jù)：，，8．（2020·河南·模擬預(yù)測）二七紀(jì)念塔位于鄭州市二七廣場，是獨特的仿古，它是為紀(jì)念京漢鐵路工人大罷工而修建的紀(jì)念性建筑物．學(xué)完三角函數(shù)知識后，某?！睌?shù)學(xué)社團(tuán)”的劉明和王華決定用自己學(xué)到的知識測量二七紀(jì)念塔的高度．如圖，CD是高為1米的測角儀，在D處測得塔頂端A的仰角為，向塔方向前進(jìn)38米在E處測得塔頂端A的仰角為，求二七紀(jì)念塔AB的高度（精確到1米，參考數(shù)據(jù)）．★知識點3：擁抱型如圖，已知Rt△ABC和Rt△BDE.【模型分析】單獨解每個三角形再加減．典例分析【例1】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)22m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為60°，求該塑像DE的高度．（精確到1m，參考數(shù)據(jù)；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73）【例2】（2020秋·河南鄭州·九年級河南省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)22m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為60°．（1）求炎帝塑像DE的高度．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，1.73）（2）“景點簡介”顯示，“炎帝”塑像高度為63m，請計算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．即學(xué)即練1（2023·全國·九年級專題練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過銳角三角函數(shù)后，到市龍源湖公園測量塑像“夸父追日”的高度，如圖所示，在A處測得塑像頂部D的仰角為45°，塑像底部E的仰角為30.1°，再沿AC方向前進(jìn)10m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）

2．（2018秋·四川眉山·九年級統(tǒng)考期末）在“雙創(chuàng)”活動中，某校將雙創(chuàng)宣傳牌（AB）放置在教學(xué)樓頂部（如圖所示）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組成員小明在操場上的點D處，用高度為1m的測角儀CD，從點C測得宣傳牌的底部B的仰角為，然后向教學(xué)樓正方向走了4m到達(dá)點F處，又從點E測得宣傳牌頂部A的仰角為．已知教學(xué)樓高，且點A、B、M在同一直線上，求宣傳牌AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，）1．（2020·河南南陽·統(tǒng)考三模）今年由于防控疫情，師生居家隔離線上學(xué)習(xí)，AB和CD是社區(qū)兩棟鄰樓的示意圖，小華站在自家陽臺的C點，測得對面樓頂點A的仰角為30°，地面點E的俯角為45°．點E在線段BD上．測得B，E間距離為8.7米．樓AB高12米．求小華家陽臺距地面高度CD的長（結(jié)果精確到1米，1.41，1.73）2．（2020·河南·統(tǒng)考二模）如圖，一架無人機(jī)在距離地面高度為米的點處，測得地面上點的俯角為，這架無人機(jī)沿仰角為的方向飛行了米到達(dá)點，恰好在地面上點的正上方，，在同一水平線上．求，兩點之間的距離．（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：，，，，，）3．（2020·天津和平·三模）學(xué)完三角函數(shù)知識后，某校“數(shù)學(xué)社團(tuán)”的小明和小華決定用自己學(xué)到的知識測量紀(jì)念塔的高度．如圖，是高為的測角儀，在處測得塔頂端的仰角為40°，向塔方向前進(jìn)在處測得塔頂端的仰角為63.4°，求紀(jì)念塔的高度(結(jié)果取整數(shù))．參考數(shù)據(jù)：．4．（2022春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習(xí)）為了測量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂測得處的俯角為，處的俯角為，乙在山下測得，之間的距離為100米．已知，，在同一水平面的同一直線上，求山高（結(jié)果保留根號）．5．（2019·河南·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)