重難突破06 乘法公式的幾何背景及應(yīng)用原卷版

重難突破06乘法公式的幾何背景及應(yīng)用重難突破一、單選題1．（2022春·浙江杭州·七年級(jí)階段練習(xí)）有若干張面積分別為a2、b2、ab的正方形和長(zhǎng)方形紙片，小明從中抽取了1張面積為b2的正方形紙片，6張面積為ab的長(zhǎng)方形紙片．若他想拼成一個(gè)大正方形，則還需要抽取面積為a2的正方形紙片（）A．4張 B．8張 C．9張 D．10張2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖分割的正方形，拼接成長(zhǎng)方形的方案中，可以驗(yàn)證（

）A．(a+b)(a-b)=a2-C．(a-b)2=a3．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a，b，如果a+b=5，ab=6，則陰影部分的面積為（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．14．（2023春·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某小區(qū)有一正方形草坪ABCD如圖所示，小區(qū)物業(yè)現(xiàn)對(duì)該草坪進(jìn)行改造，將該正方形草坪AB邊方向的長(zhǎng)度增加3米，AD邊方向的長(zhǎng)度減少3米，則改造后的長(zhǎng)方形草坪面積與原來正方形草坪面積相比(

)A．增加6平方米 B．增加9平方米 C．減少9平方米 D．保持不變5．（2022春·山東淄博·六年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是同四個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)大正方形，通過此圖可以驗(yàn)證成立的等式是（

）A．a(chǎn)+b2-a-bC．a(chǎn)+b2=a6．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，M是AG的中點(diǎn)，B是AG上一點(diǎn)．分別以AB、BG為邊，作正方形ABCD和正方形BGFE，連接MD和MF．設(shè)AB＝a，BG＝b，且a＋b＝10，ab＝8，則圖中陰影部分的面積為（

）A．46 B．59 C．64 D．817．（2022春·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，是由四個(gè)形狀大小都相同的矩形拼成的一個(gè)正方形，已知矩形的兩邊長(zhǎng)分別為a和b(a>b)，則中間空白部分的面積是（

）A．12ab B．a(chǎn)2+2ab+b28．（2022春·江蘇泰州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖為某正方形的房屋結(jié)構(gòu)平面圖，其中主臥與客臥都為正方形，主臥與客臥的邊長(zhǎng)差為2米，則主臥與客臥面積之和比其余面積（陰影部分）多（

）平方米A．12米 B．10米 C．8米 D．4米9．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD的周長(zhǎng)是10cm，以AB，AD為邊向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面積之和為17cm2，那么矩形ABCD的面積是（）A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm210．（2022春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1可以用來解釋：(2a)2=4a2，則圖2可以用來解釋（

）A．(a+b)2=a2+2ab+b2 B．(a-b)2=a2-2ab+b2C．(a+b)(a-b)=a2-b2 D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b211．（2022春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期中）將兩個(gè)邊分別為a和b的正方形拼在一起，B、C、G三點(diǎn)在同一直線上，連接AE、EG，若兩正方形的邊長(zhǎng)滿足a+b=15，ab=35，則陰影部分的面積為（

）A．95 B．85 C．90 D．10012．（2023春·安徽宿州·七年級(jí)安徽省泗縣中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）有2張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片，4張邊長(zhǎng)分別為a，b（b>a）的矩形紙片，5張邊長(zhǎng)為b的正方形紙片，從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），則拼成的正方形的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)可以為（

）A．a(chǎn)+b B．2a+b C．3a+b D．a(chǎn)+2b13．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若用等式表示下圖中圖形面積的運(yùn)算，則可列式（

）A．(a+b)2=aC．(a+b14．（2023春·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家研究過一元二次方程（正根）的幾何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14為例說明，《方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造圖（如圖）中大正方形的面積是（x+x+5）2，同時(shí)它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14+52，因此x＝2．則在下面構(gòu)圖中，能正確說明方程x2﹣3x﹣10＝0的構(gòu)圖是（

）

A．

B．

C．

D．

15．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，由4個(gè)全等的小長(zhǎng)方形與一個(gè)小正方形密鋪成一個(gè)大的正方形圖案，該圖案的面積為100，里面的小正方形的面積為16，若小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b，則下列關(guān)系式中：①a2+2ab+b2=100；②a2-2ab+b2A．1 B．2 C．3 D．416．（2023春·陜西西安·七年級(jí)校聯(lián)考期末）有3張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片，5張邊長(zhǎng)為b(a<b)的正方形紙片，4張邊長(zhǎng)為a和b的長(zhǎng)方形紙片，從中取出若干張（每種至少取一張）．拼成一個(gè)正方形（無縫隙不重疊），則拼成的正方形邊長(zhǎng)最長(zhǎng)為（

）A．a(chǎn)+b B．2a+b C．a(chǎn)+2b D．3a+b17．（2023春·湖南益陽·七年級(jí)?？计谥校┧膹堥L(zhǎng)為a，寬為b（a>b）的長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a＋b的正方形，則圖中陰影部分的面積為（

）A．a(chǎn)2+2b2 B．2ab-b218．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，將甲圖中陰影部分無重疊、無縫隙地拼成乙圖，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積關(guān)系得到的等式是（

）

A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．(a+b)19．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示、有三種卡片，其中邊長(zhǎng)為a的正方形卡片有1張，長(zhǎng)為a，寬為b的矩形卡片有4張，邊長(zhǎng)為b的正方形卡片有4張，用這9張卡片剛好供成一個(gè)大正方形，則這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為（）A．a(chǎn)+2b B．2a+2b C．2a+b D．a(chǎn)+b20．（2022·河北邯鄲·?？既＃┈F(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片各4塊（邊長(zhǎng)如圖，a>b）．嘉嘉準(zhǔn)備從中挑選一些紙片緊密拼接成一個(gè)正方形，下列無法實(shí)現(xiàn)的方案是（

）A．2塊甲、1塊乙、4塊丙 B．1塊甲、4塊乙、4塊丙C．4塊甲、1塊乙、4塊丙 D．1塊甲、1塊乙、2塊丙二、填空題21．（2023春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=30，BC=20，點(diǎn)E，F(xiàn)是BC、CD上的點(diǎn)，且BE=DF=x，分別以FC、CE為邊在長(zhǎng)方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長(zhǎng)方形CEPF的面積為220平方單位，則圖中陰影部分的面積和為平方單位．22．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖是用四張相同的長(zhǎng)方形紙片拼成的圖形，請(qǐng)利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個(gè)關(guān)于a、b的恒等式.23．（2023·廣東江門·校考三模）一個(gè)底面是正方形的長(zhǎng)方體，高為6，底面正方形邊長(zhǎng)為10．如果它的高不變，底面正方形邊長(zhǎng)增加a，那么它的體積增加．24．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）圖（1）是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b（a＞b）的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開，得到四塊形狀和大小完全相同的小長(zhǎng)方形，然后按圖（2）所示拼成一個(gè)大正方形，則中間空白部分的面積是．（用含a，b的式子表示）25．（2022春·甘肅蘭州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，且AB＝10，分別以AP、BP為邊作正方形，設(shè)AP＝x，這兩個(gè)正方形的面積之和S，則S關(guān)于x的關(guān)系式為．26．（2022春·江蘇蘇州·七年級(jí)昆山市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方形ABCD的面積為5，且長(zhǎng)AD比寬AB多3，以該長(zhǎng)方形中相鄰的兩邊為邊長(zhǎng)向外作兩個(gè)正方形（如圖所示），則這兩個(gè)正方形（陰影部分）的面積之和為．27．（2022秋·上海青浦·七年級(jí)校考期中）如圖（1），是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b(a>b)的矩形，用剪刀沿矩形的兩條對(duì)稱軸剪開，把它分成四個(gè)全等的小矩形，然后按圖（2）拼成一個(gè)新的正方形，則中間空白部分的面積為．28．（2022秋·北京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，根據(jù)圖形，寫出一個(gè)正方形ABCD的面積的表達(dá)式．（一個(gè)即可）29．（2022秋·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)校考期末）如圖1，將邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a>b）,將剩下的陰影部分沿圖中的虛線剪開，拼接后得到圖2，這種變化可以用含字母a，b的等式表示為．30．（2022·七年級(jí)單元測(cè)試）一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是a-12b31．（2023春·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）有兩個(gè)正方形A，B，將A，B并列放置后構(gòu)造新的長(zhǎng)方形得到圖甲，將A，B并列放置后構(gòu)造新的正方形得到圖乙，若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為10和32，則正方形B的面積為．

32．（2022春·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為2n（m＞n）的長(zhǎng)方形，用剪刀剪成四個(gè)一樣的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)正方形，則正方形中空白的面積為．33．（2022秋·河南許昌·八年級(jí)?？计谥校┯腥舾蓚€(gè)大小形狀完全相同的小長(zhǎng)方形現(xiàn)將其中4個(gè)如圖1擺放，構(gòu)造出一個(gè)正方形，其中陰影部分面積為34；其中5個(gè)如圖2擺放，構(gòu)造出一個(gè)長(zhǎng)方形，其中陰影部分面積為100（各個(gè)小長(zhǎng)方形之間不重疊不留空），則每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為．34．（2022春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩個(gè)正方形Ⅰ，Ⅱ和兩個(gè)矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一個(gè)大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面積分別為6和3，那么大正方形的面積是．35．（2022春·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，用圖1中2張B型紙片（長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形）按圖2所示的方法放置于1張A型紙片（邊長(zhǎng)為α的正方形）上，已知B型紙片的面積是7，陰影部分的面積是8，則B型紙片的周長(zhǎng)是．三、解答題36．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀思考：定義：把一個(gè)式子或一個(gè)式子的部分改寫成完全平方式或者幾個(gè)完全平方式的和的形式，這種解題方法叫配方法．用途：配方法是初中數(shù)學(xué)一種很重要的變形技巧，是初中數(shù)學(xué)很重要的一種思想方法，應(yīng)用很廣泛，應(yīng)用它可以簡(jiǎn)捷地處理一些解方程、因式分解、化簡(jiǎn)二次根式、證明恒等式、求代數(shù)式的最值問題．方法：下面用拼圖的方法來體會(huì)配方的過程．例如：將代數(shù)式x2+2x（即x(x+2)）寫成(x+h)2+k的形式（其中h、k為常數(shù)），配方的過程中，可以看成將一個(gè)長(zhǎng)是x(x+2)x2+2xx2+2×1x2+2×1?x+1-1(x+1)所以，x（1）模仿：用拼圖的方法將式子x2+4x寫成(x+h)2+k的形式（其中（2）總結(jié)：在配方過程中，代數(shù)式需要先加上_____，再減去這個(gè)數(shù)或者代數(shù)式；（3）應(yīng)用：①x2-6x+____=______②已知x2-2x+y37．（2023秋·河北廊坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上張老師用圖中的1張邊長(zhǎng)為a的正方形A紙片，1張邊長(zhǎng)為b的正方形B紙片和2張寬、長(zhǎng)分別為a，b的長(zhǎng)方形C紙片，拼成了如圖②所示的大正方形．觀察圖形解答下列問題．(1)由圖①和圖②可以得到的因式分解等式為______（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)小高用這種紙片拼出一個(gè)面積為a+2b2a+3b的大長(zhǎng)方形，求需要A，B，C(3)如圖③，已知C是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AC，BC為邊在AB的兩側(cè)作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB=6，且兩個(gè)正方形面積之和S1+S38．（2023春·山東泰安·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）從邊長(zhǎng)為a的正方形中減掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是；（2）運(yùn)用你從（1）寫出的等式，完成下列各題：①已知：a-b=3，a2-b②計(jì)算：1-139．（2023春·浙江·七年級(jí)期中）若滿足7-xx-4=2，求設(shè)7-x=a，x-4=b，則7-xx-4=ab=2，所以(x-7)2（1）若x滿足9-xx-3=3，求（2）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別為AD，DC上的點(diǎn)，且AE=1，CF=4，長(zhǎng)方形EMFD的面積是28，分別以MF，DF為邊做正方形，求陰影部分面積．40．（2023春·江蘇無錫·七年級(jí)校考期中）知識(shí)生成：我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到a+b2直接應(yīng)用：（1）若xy=3，x+y=5，直接寫出x2+y2的值類比應(yīng)用：（2）填空：①若x3-x=1，則x②若x-4x-6=2，則x-4知識(shí)遷移：（3）兩塊完全一樣的直角三角形（∠ABD=∠CBE=90°）如圖2所示放置，其中C，B，D在一直線上，連接AC，DE，若AE=4，S△ABD=10，求四邊形ACDE的面積

41．（2023春·安徽池州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解解：因?yàn)閍+b=3，所以(a+b)2=9，即a2+2ab+b根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若x+y=8，x2+y(2)如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB=6，兩正方形的面積和S1

42．（2023春·山東棗莊·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）(1)觀察圖2請(qǐng)你寫出a+b2、a-b2、ab之間的等量關(guān)系是(2)根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+y=7，x?y=134，則x-y=(3)拓展應(yīng)用：若2022-m2+m-202343．（2022春·河北邢臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有兩張完全相同的邊長(zhǎng)為m正方形紙片，先將其中的一張按圖1所示分成兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為6和n的正方形和兩個(gè)長(zhǎng)方形，再將邊長(zhǎng)為n的正方形與另一張邊長(zhǎng)為m的正方形紙片按圖2所示方式拼接成一個(gè)大的正方形，若陰影部分的面積為32；(1)m-n=______；(2)求m2(3)拓展，將3個(gè)邊長(zhǎng)為m和2個(gè)邊長(zhǎng)為n的正方形，按圖3所示拼接并構(gòu)成一個(gè)大正方形，求陰影部分的面積．44．（2022春·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，同學(xué)們，下面我們就用數(shù)形結(jié)合思想來解決下面問題吧！(1)將圖①甲中陰影部分的小長(zhǎng)方形變換到圖乙位置，你根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是___．(2)將圖②甲中陰影部分的一個(gè)小長(zhǎng)方形變換到圖乙位置，你根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系寫出一個(gè)等式：a-b()=a2+ab-(3)若把（2）中你寫出的等式當(dāng)做公式用，計(jì)算：(x-y)(x+2y)(4)③甲是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2ba>b的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖③乙那樣拼成一個(gè)正方形，則圖③乙中間空余的部分的面積是_________(5)觀察圖③乙，請(qǐng)你寫出三個(gè)代數(shù)式a+b2，a-b2，ab之間的等量關(guān)系是_________．根據(jù)（5）中等量關(guān)系解決如下問題：若m+n=-7，mn=3.25，求45．（2022春·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期中）乘法公式的探究及應(yīng)用．（1）如圖1，可以求出陰影部分的面積是（寫成兩數(shù)平方差的形式）；（2）如圖2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)矩形，它的寬是，長(zhǎng)是，面積是（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）（3）比較圖1，圖2的陰影部分面積，可以得到乘法公式（用式子表達(dá)）（4）應(yīng)用所得的公式計(jì)算：（1﹣122）（1﹣132）（1﹣142）…（1﹣46．（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)?？计谥校⑷舾蓚€(gè)同樣大小的小長(zhǎng)方形紙片拼成如圖形狀的大長(zhǎng)方形（小長(zhǎng)方形紙片長(zhǎng)為a，寬為b，請(qǐng)你仔細(xì)觀察圖形，解答下列問題：（1）a和b之間的關(guān)系滿足_____________________．（2）圖中陰影部分的面積與大長(zhǎng)方形面積的比值是___________．（3）請(qǐng)你仔細(xì)觀察圖中的一個(gè)陰影部分，根據(jù)它面積的不同表示方法，請(qǐng)你寫出(a-b)2，a+b2與ab應(yīng)用：根據(jù)探索中的等量關(guān)系，解決如下問題：x+y=5，xy=947．（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)江蘇省黃橋中學(xué)?？计谥校┰谙铝袡M線上用含有a，b的代數(shù)式表示相應(yīng)圖形的面積．（1）①________；②__________；③__________；④_______________