同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第五章三角函數(shù)5.2三角函數(shù)的概念5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式01教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系數(shù)學(xué)抽象會用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明數(shù)學(xué)運算、邏輯推理通過對同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的探究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會用聯(lián)系的觀點，化歸與轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)形結(jié)合的思想分析解決問題，培養(yǎng)探究精神和創(chuàng)新意識邏輯推理02鞏固新知1．公式(1)平方關(guān)系：_________________．(2)商數(shù)關(guān)系：______________．sin2α＋cos2α＝1

知識點同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式2．公式推導(dǎo)如圖，設(shè)點P(x，y)是角α的終邊與單位圓的交點，過P作x軸的垂線，交x軸于M，則△OMP是直角三角形，而且OP＝1.[注意]

對同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的理解(1)注意“同角”，這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，即與角的表達(dá)形式無關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．(2)sin2α是(sinα)2的簡寫，讀作“sinα的平方”，不能將sin2α寫成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書寫．[解析]

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行驗證，因為當(dāng)α＝π時，sinα＝0且cosα＝－1，所以B成立，而A，C，D都不成立．B

C

D

03探究新知角度1已知角的某個三角函數(shù)值，求其余三角函數(shù)值題型一利用同角基本關(guān)系式求值典例1[分析]

已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函數(shù)值，應(yīng)先判斷三角函數(shù)值的符號，然后根據(jù)平方關(guān)系求出該角的正弦值或余弦值，再利用商數(shù)關(guān)系求解該角的正切值即可．題型二利用弦切互化求值典例2[分析]

所求式子都是關(guān)于sinα、cosα的分式齊次式(或可化為分式齊次式)，將其分子、分母同除以cosα的整數(shù)次冪，就把所求式子用tanα表示，因此可先由已知條件求tanα的值，再求各式的值．題型三三角代數(shù)式的化簡典例3[歸納提升]

三角函數(shù)式的化簡過程中常用的方法(1)化切為弦，即把非正弦、非余弦的函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡的目的．(2)對于含有根號的，常把根號下式子化成完全平方式，去根號，達(dá)到化簡的目的．(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的．題型四三角恒等式的證明典例4題型五忽略角的限制條件而致錯典例5[錯因分析]

題設(shè)條件中A為△ABC的內(nèi)角，隱含了0<A<π這一條件，錯解中忽略了這一點，從而造成增解．[方法點撥]求解三角函數(shù)方程組時，經(jīng)常會用到隱含條件sin2A＋cos2A＝1，這時一般都會求出兩組解，此時一定要注意是否有其他(隱含)條件的限制，進(jìn)而判斷是否需要排除某個解．sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的關(guān)系及方程思想的運用sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的關(guān)系：(1)對于三角函數(shù)式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之間的關(guān)系，可以通過(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ進(jìn)行轉(zhuǎn)化．(2)若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想進(jìn)一步可以求得sinθ，cosθ的值，從而求出其余的三角函數(shù)值．04課堂檢測C

A

D

5．求證：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.[解析]

證法一：左邊＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝1＋sin2α＋cos2α－2sinαcosα＋2(cosα－sinα)＝1＋2(cosα－sinα)＋(cosα－sinα)2＝(1－sinα＋cosα)2＝右邊．所以原式成立．證法二：左邊＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα，右邊＝1＋sin2α＋cos2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα.故左邊＝右邊．所以原式成立．證法三：令1－sinα＝x，cosα＝y(tǒng)，則(x－1)