拓展06 全等三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（原卷版）

拓展06全等三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1．如圖，△ABC的兩條高AD與BE交于點(diǎn)O，AD=BD，AC=6．

(1)求BO的長(zhǎng)；(2)F是射線BC上一點(diǎn)，且CF=AO，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△AOP與△FCQ全等時(shí)，求t的值．2．Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是直線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交直線CE于點(diǎn)F(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BF與AC的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上(不與C，B重合)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段BF，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系(要求：寫出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并說(shuō)明理由)．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段BF，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系(要求：畫出圖形，寫出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并說(shuō)明理由)．(4)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上，請(qǐng)直接寫出線段BF，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系．3．如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，AB=AC=10cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向以每秒3cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以每秒3cm的速度向點(diǎn)(1)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)C位于線段PQ的垂直平分線上時(shí)，求出t的值；(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使△BPD和△CQP全等，若存在，求出t的值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，在△ABC中，BC=5，AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，AD、BE相交于點(diǎn)O，BD=23CD

(1)線段CD的長(zhǎng)度等于___________．(2)求證：△AOE≌△BCE．(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)F是直線AC上的一點(diǎn)且CF=BO．是否存在t值，使以點(diǎn)B、O、P為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、Q為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請(qǐng)求出符合條件的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以CD為邊作∠DCE=45°，CE在CD右側(cè)，CE與過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線交于點(diǎn)E，連接DE．(1)當(dāng)CD，CE都在AC的左側(cè)時(shí)，如圖①，線段BD，(2)當(dāng)CD，CE在AC的兩側(cè)時(shí)，如圖②，線段(3)當(dāng)CD，CE都在AC的右側(cè)時(shí)，如圖③，線段6．如圖1，在△ABC中，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，點(diǎn)P、Q分別是△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從點(diǎn)A、點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接AQ、CP交于點(diǎn)M．(1)求證：△ABQ≌(2)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)．(3)如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，直接寫出∠QMC的度數(shù)．7．在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥BC，E為垂足，∠AME的平分線交直線AB于點(diǎn)F(1)如圖1，點(diǎn)M為邊AC上一點(diǎn)，則BD、MF的位置關(guān)系是(2)如圖2，點(diǎn)M為邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，則BD、MF的位置關(guān)系是8．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線AC右側(cè)作AE⊥AD，且AE=AD．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于H，連接DE，求證：EH=AC；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BE交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．求證：BM=EM；當(dāng)點(diǎn)D在射線CB上時(shí)，連接BE交直線AC于M，若2AC=5CM，則S△ADBS9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為線段CA上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，作BF⊥BE且BF=BE(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥BC于點(diǎn)D，求證：FD=AC；(2)如圖2，連接AF交BC于點(diǎn)G，若BG=6，CG=2，求證：E為AC中點(diǎn)．10．如圖1，直線l⊥BC于點(diǎn)B，∠ACB=90°，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，一條光線從點(diǎn)A射向D，反射后與直線l交于點(diǎn)E(1)求證：BE=AC；(2)如圖2，連接AB交DE于點(diǎn)F，連接FC交AD于點(diǎn)H，AC=BC，求證：CF⊥AD；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PD，S△ABD11．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC(1)如圖1，若BC＝4，則S△EBC＝(2)如圖2，點(diǎn)M在BE上，且CM⊥BE于M，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于F，D為AC中點(diǎn)，連接FD并延長(zhǎng)，交CM于點(diǎn)H．求證：MF＝(3)如圖3，連接BM，EM，過(guò)點(diǎn)B作BM'⊥BM于點(diǎn)B，且滿足BM'＝BM，連接AM'，MM'，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)12．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不和A，B重合），BE⊥CD于E，交直線AC于(1)點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，證明：DA=FA；(2)在（1）的條件下，證明：AB=FA+BD；(3)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，探索AB，F(xiàn)A，BD這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)畫出圖形并直接寫出正確結(jié)論．13．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AB=2，點(diǎn)P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與端點(diǎn)A、C重合），過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BP于點(diǎn)D，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E(1)求證：△ACE≌(2)在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中，若AD=DC，試求CP的長(zhǎng)；(3)試探索，在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中，∠ADC的大小是否保持不變？若保持不變，請(qǐng)求出∠ADC的大小；若有變化，請(qǐng)說(shuō)明變化情況．14．如圖，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=9cm，點(diǎn)P在線段AB上以3cm/s的速度，由A向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段BD上由B

(1)如圖1，若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=1s，△ACP與△BPQ是否全等？說(shuō)明理由，并直接判斷此時(shí)線段PC和線段PQ(2)如圖2，將“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB=∠DBA”，其他條件不變，若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能使△ACP與△BPQ全等．(3)在圖2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AC，BD交于點(diǎn)E，使C，D分別是AE，BE中點(diǎn)，如圖3，若點(diǎn)Q以（2）中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)速度從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABE三邊運(yùn)動(dòng)，求出經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．15．如圖①，C、F分別為線段AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BC⊥AD，垂足為C，EF⊥AD，垂足為F，且AB＝DE，AF＝CD，點(diǎn)G是AD與BE的交點(diǎn)．（1）求證：BG＝EG；（2）當(dāng)C、F兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖②的位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點(diǎn)D是線段AM上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)C是BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長(zhǎng)；（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)E是△ABM外一點(diǎn)，EC＝AC，連接ED并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF＝∠CEF．（3）如圖3，當(dāng)E在BD的延長(zhǎng)上，且AE⊥BE，AE＝EG時(shí)，請(qǐng)你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．（不用證明）17．如圖1，AD//BC，DE平分（1）求證：∠DEC+∠ECD=90°；（2）如圖2，BF平分∠ABD交CD的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，若∠ABC=100°，求∠F的大?。唬?）如圖3，若H是BC上一動(dòng)點(diǎn)，K是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，KH交BD于M，交AD于O,KG平分∠BKH,交DE于N，交BC于G，當(dāng)H在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B重合），求∠BAD+∠DMH∠DNG18．如圖，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．（1）求證：AF＝AM；（2）當(dāng)t取何值時(shí)，△DFE與△DMG全等；（3）求證：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不管t取何值，都有S△AED19．如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，AB=AC=10cm，BC=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向以3cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是ts．（1）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)C位于線段PQ的垂直平分線上時(shí)，求出t的值；（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△BPD≌△CQP時(shí)，求出t的值；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使△BPD≌△CPQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

20．在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A<∠ABC，D是AC邊上一點(diǎn)，且DA=DB，O是AB的中點(diǎn)，CE是△BCD的中線．（1）如圖a，連接OC，請(qǐng)寫出∠OCE和∠OAC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）點(diǎn)M是射線EC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得射線ON，使∠MON=∠ADB，ON與射線CA交于點(diǎn)N．如圖b，猜想并證明線段OM和線段ON之間的數(shù)量關(guān)系．21．已知△ABC為等邊三角形，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合）以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE.

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，且點(diǎn)A、點(diǎn)E在BC同側(cè)，其他條件不變，求證：BC=DC+CE；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A、點(diǎn)E在BC同側(cè)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出線段BC，DC，CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，不需證明；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A、點(diǎn)E分別在直線BC的異側(cè)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出線段BC，DC，CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，不需證明.22．已知BF平分△ABC的外角∠ABE，D為射線BF上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖所示，若DA=DC，求證：∠ABC=∠ADC；（2）在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，試比較BA+BC與DC+DA的大小，并說(shuō)明你的理由．23．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于F．（1）如圖1，連CF，求證：∠ABE＝∠ACF；（2）如圖2，當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，求證：AF+EF＝FB；（3）如圖3，當(dāng)∠ABC＝45°時(shí)，若BD平分∠ABC，求證：BD＝2EF．24．如圖，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足為H，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）求證：∠ABC=∠ACB；（2）當(dāng)D在線段BC上時(shí)，①求證：△BAD≌△CAE；②當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，AC⊥DE，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)CE∥AB時(shí)，若△ABD中最小角為20°，試探究∠ADB的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果，無(wú)需寫出求解過(guò)程）25．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=8cm，BD是斜邊上高動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊由A向終點(diǎn)B以1cm/s的速度勻速移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止.連接AQ，交射線BD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P(1)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△BQE的面積始終是△APE的面積的2倍，為什么？(2)當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t為何值時(shí)，∠BPE和∠26．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直線AC于F（1）點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，試探究線段BD、AB和AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出正確結(jié)論并證明．27．一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：如圖1，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，O為AC中點(diǎn)．（1）如圖1，若把三角板的直角頂點(diǎn)放置于點(diǎn)O，兩直角邊分別與AB、BC交于點(diǎn)M、N，求證：