正弦平面電磁波

第七章正弦平面電磁波時(shí)諧場(chǎng)：場(chǎng)量隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電磁場(chǎng)。時(shí)諧場(chǎng)也稱為正弦電磁場(chǎng)。正弦電磁波在工程上應(yīng)用廣泛，有如下特點(diǎn)：

1、易于激勵(lì)；

2、由傅立葉級(jí)數(shù)可知：在線性媒質(zhì)中，正弦電磁波可以合成其他形式的電磁波。本章主要內(nèi)容：時(shí)諧場(chǎng)的波動(dòng)方程——亥姆霍茲方程無(wú)界理想媒質(zhì)中的均勻平面波無(wú)界導(dǎo)電媒質(zhì)（損耗媒質(zhì)）中的均勻平面波在媒質(zhì)分界面上波的反射與透射第一節(jié)亥姆霍茲方程一、時(shí)諧場(chǎng)場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧場(chǎng)所滿足的波動(dòng)方程即為亥姆霍茲方程。對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)，其場(chǎng)量和都是以一定的角頻率隨時(shí)間t按正弦規(guī)律變化。在直角坐標(biāo)系下，電場(chǎng)可表示為：

式中：為電場(chǎng)在各方向分量的幅度為電場(chǎng)各分量的初始相位由復(fù)變函數(shù)，知：，則：式中：場(chǎng)量上加點(diǎn)表示為復(fù)數(shù)。因此時(shí)諧場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度可表示為式中：同理，可得：二、麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式很明顯，對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)故由麥克斯韋方程組微分形式，可得：為了簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)，約定寫(xiě)做，而項(xiàng)則省略不寫(xiě)，則方程變?yōu)椋蝴溈怂鬼f方程組復(fù)數(shù)形式注意：1）方程中各場(chǎng)量形式上是實(shí)數(shù)及源量均應(yīng)為復(fù)數(shù)形式（為了簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)而略寫(xiě)）。

2）方程中雖然沒(méi)有與時(shí)間相關(guān)的因子，時(shí)間因子為缺省式子。

3）麥克斯韋方程組復(fù)數(shù)形式只能用于時(shí)諧場(chǎng)。說(shuō)明：場(chǎng)量的復(fù)數(shù)形式：

場(chǎng)量的實(shí)數(shù)形式：

場(chǎng)量的復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)形式的方法：三、亥姆霍茲方程在時(shí)諧場(chǎng)中，由于場(chǎng)量隨時(shí)間呈正弦規(guī)律變化，則則無(wú)源空間的波動(dòng)方程變?yōu)椋汉ツ坊羝澐匠倘袅睿?，則亥姆霍茲方程變?yōu)?/p>

說(shuō)明：亥姆霍茲方程的解為時(shí)諧場(chǎng)（正弦電磁波）。可以推知，在時(shí)諧場(chǎng)中，平均坡印廷矢量可以表示為：上式中：、為場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表達(dá)式；為對(duì)場(chǎng)量取共軛運(yùn)算。第二節(jié)平均坡印廷矢量

坡印廷矢量瞬時(shí)形式：

平均坡印廷矢量：在上面的式子中，和均應(yīng)為實(shí)數(shù)形式，即：代入第一式，證明：第三節(jié)理想介質(zhì)中的均勻平面波平面波：波陣面為平面的電磁波（等相位面為平面）。均勻平面波：等相位面為平面，且在等相位面上，電、磁場(chǎng)場(chǎng)量的振幅、方向、相位處處相等的電磁波。在實(shí)際應(yīng)用中，純粹的均勻平面波并不存在。但某些實(shí)際存在的波型，在遠(yuǎn)離波源的一小部分波陣面，仍可近似看作均勻平面波。一、亥姆霍茲方程的平面波解在正弦穩(wěn)態(tài)下，在均勻、各向同性理想媒質(zhì)的無(wú)源區(qū)域中，電場(chǎng)場(chǎng)量滿足亥姆霍茲方程，即：

考慮一種簡(jiǎn)單情況，即電磁波電場(chǎng)沿x方向，波只沿z方向傳播，則由均勻平面波性質(zhì)，知只隨z坐標(biāo)變化。則方程可以簡(jiǎn)化為：解一元二次微分方程，可得上方程通解為：式中:、為待定常數(shù)（由邊界條件確定）.討論：1、為通解的復(fù)數(shù)表達(dá)形式，通解的實(shí)數(shù)表達(dá)形式為：

2、通解的物理意義：波動(dòng)方程平面波解

不同時(shí)刻的波形kzEx

0π2π3π首先考察。其實(shí)數(shù)形式為：在不同時(shí)刻，波形如右圖。從圖可知，隨時(shí)間t增加，波形向+z方向平移。故：表示向+z方向傳播的均勻平面波；同理可知：表示向-z方向傳播的均勻平面波；亥姆霍茲方程通解的物理意義：表示沿z向(+z,-z)方向傳播的均勻平面波的合成波。二、無(wú)界理想媒質(zhì)中均勻平面波的傳播特性在無(wú)界媒質(zhì)中，若均勻平面波向+z向傳播，且電場(chǎng)方向指向方向，則其電場(chǎng)場(chǎng)量表達(dá)式為：電磁波的場(chǎng)量表達(dá)式包含了有關(guān)波特性的信息。

1、均勻平面波電場(chǎng)場(chǎng)量的一般表達(dá)式式中：表示電磁波中電場(chǎng)的幅度的方向表示電磁波中電場(chǎng)的方向表示電磁波動(dòng)的角頻率為波矢量為波的初始相位

2、波的頻率和周期頻率：周期：波數(shù)k:長(zhǎng)為距離內(nèi)包含的波長(zhǎng)數(shù)。

3、波數(shù)k、波長(zhǎng)與波矢量波長(zhǎng):波矢量：表征波傳播特性的矢量式中：k即為波數(shù)即為表示波傳播方向的單位矢量。

4、相位速度（波速）

zEx

0π2π3π如圖所示電磁波向+z方向傳播，從波形上可以認(rèn)為是整個(gè)波形隨著時(shí)間變化向+z方向平移。相位：兩邊對(duì)時(shí)間t去導(dǎo)數(shù)，得：討論：1、電磁波傳播的相位速度僅與媒質(zhì)特性相關(guān)。

2、真空中電磁波的相位速度：

真空中電磁波相位速度為光速。

5、場(chǎng)量，的關(guān)系為表示波傳播方向的單位矢量。同理可以推得：

從公式可知：均勻平面電磁波中電場(chǎng)幅度和磁場(chǎng)幅度之比為一定值。定義電場(chǎng)幅度和磁場(chǎng)幅度比為媒質(zhì)本征阻抗，用表示，即：——媒質(zhì)本征阻抗

特殊地：真空（自由空間）的本振阻抗為：

結(jié)論：在自由空間中傳播的電磁波，電場(chǎng)幅度與磁場(chǎng)幅度之比為377。

說(shuō)明：、、三者相互垂直，且滿足右手螺旋關(guān)系。6、能量密度和能流密度電場(chǎng)能量密度：磁場(chǎng)能量密度：結(jié)論：理想媒質(zhì)中均勻平面波的電場(chǎng)能量等于磁場(chǎng)能量。實(shí)數(shù)表達(dá)形式電磁波的能量密度：kEH小結(jié)：無(wú)界理想媒質(zhì)中均勻平面波的傳播特性：電場(chǎng)與磁場(chǎng)的振幅相差一個(gè)因子電場(chǎng)、磁場(chǎng)的時(shí)空變化關(guān)系相同。電場(chǎng)、磁場(chǎng)的振幅不隨傳播距離增加而衰減。電場(chǎng)和磁場(chǎng)在空間相互垂直且都垂直于傳播方向。、、（波的傳播方向）滿足右手螺旋關(guān)系電磁波的能流密度：例頻率為100MHz的正弦均勻平面波在各向同性的均勻理想介質(zhì)中沿+Z方向傳播，介質(zhì)的特性參數(shù)為。設(shè)電場(chǎng)沿x方向，即。已知：當(dāng)t=0,z=1/8m時(shí)，電場(chǎng)等于其振幅值。試求:（1）波的傳播速度、波長(zhǎng)、波數(shù)；（2）電場(chǎng)和磁場(chǎng)的瞬時(shí)表達(dá)式；（3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。解：由已知條件可知：頻率:

振幅:(1)(2)設(shè)由條件，可知：由已知條件，可得：(3)另解：第四節(jié)波的極化特性注意：電磁波的極化方式由輻射源(即天線)的性質(zhì)決定。一、極化的定義波的極化：指空間某固定位置處電場(chǎng)強(qiáng)度矢量隨時(shí)間變化的特性。極化的描述：用電場(chǎng)強(qiáng)度矢量終端端點(diǎn)在空間形成的軌跡表示。二、極化的分類：線極化：電場(chǎng)僅在一個(gè)方向振動(dòng)，即電場(chǎng)強(qiáng)度矢量端點(diǎn)的軌跡是一條直線；橢圓極化：電場(chǎng)強(qiáng)度矢量端點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓（橢圓的一種特殊情況是圓）E=excos(wt-kz)yxo觀察平面，z=constz顯然，電場(chǎng)的振動(dòng)方向始終是沿x軸方向，所以這是一個(gè)沿x方向的線極化波。三、極化的判斷通過(guò)兩個(gè)相互正交的線極化波疊加，合成得到不同的極化方式。由電磁波電場(chǎng)場(chǎng)量或者磁場(chǎng)場(chǎng)量，可以判斷波的極化方式。yzxo設(shè)均勻平面電磁波向+z方向傳播，則一般情況下，其電場(chǎng)可以表示為：由于空間任意點(diǎn)處電場(chǎng)隨時(shí)間的變化規(guī)律相同，故選取z=0點(diǎn)作為分析點(diǎn)，即：場(chǎng)量表達(dá)式中，的取值將決定波的極化方式。1、當(dāng)時(shí)電場(chǎng)與x軸夾角為：結(jié)論：當(dāng)時(shí)，電磁波為線極化波。2、當(dāng)且時(shí)合成電場(chǎng)的模及其與x軸夾角為：從上可知：合成電場(chǎng)矢量終端形成軌跡為一圓，電場(chǎng)矢量與x軸夾角隨時(shí)間變化而改變。如圖，當(dāng)時(shí)，可以判斷出：電場(chǎng)矢量終端運(yùn)動(dòng)方向與電磁波傳播方向滿足右手螺旋關(guān)系——右旋極化波。

結(jié)論：當(dāng)且時(shí)，合成波為右旋圓極化波。同理：當(dāng)且時(shí)，合成波為左旋圓極化波。說(shuō)明：上述結(jié)論適用于向+z方向傳播的均勻平面波。對(duì)于向－z方向傳播的均勻平面波，其波的極化旋轉(zhuǎn)方向與向+z方向傳播的同幅同相波相反。結(jié)論：兩個(gè)頻率相同、傳播方向相同的正交電場(chǎng)分量的振幅和相位是任意的，則其合成波為橢圓極化波。說(shuō)明：圓極化波和線極化波可看作是橢圓極化波的特殊情況。3、其他情形例根據(jù)電場(chǎng)表示式判斷它們所表征的波的極化形式。所以，合成波為線極化波。解：解：故：合成波為左旋圓極化波。解：合成波為右旋圓極化波。解：故：合成波為右旋圓極化波。解：合成波為橢圓極化波。第五節(jié)導(dǎo)電媒質(zhì)中的均勻平面波一、導(dǎo)電媒質(zhì)中的波動(dòng)方程在無(wú)源的導(dǎo)電媒質(zhì)區(qū)域中，麥克斯韋方程為第一個(gè)方程可以改寫(xiě)為稱為復(fù)介電常數(shù)或等效介電常數(shù)導(dǎo)電媒質(zhì)的典型特征是電導(dǎo)率

≠0。電磁波在其中傳播時(shí)，有傳導(dǎo)電流存在，同時(shí)伴隨著電磁能量的損耗，電磁波的傳播特性與非導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播特性有所不同。說(shuō)明：復(fù)介電常數(shù)其中：，僅與媒質(zhì)本身介電常數(shù)有關(guān)；，與媒質(zhì)本身導(dǎo)電率和波的頻率有關(guān)；為了方便描述導(dǎo)電媒質(zhì)的損耗特性，引入媒質(zhì)損耗正切角(用表示)的概念。定義：引入等效復(fù)介電常數(shù)后，麥克斯韋方程組可記做：推得導(dǎo)電媒質(zhì)中的波動(dòng)方程為：式中：稱為復(fù)波數(shù)。比較損耗媒質(zhì)中的波動(dòng)方程和理想介質(zhì)中的波動(dòng)方程可知：方程形式完全相同，差別僅在于二、導(dǎo)電媒質(zhì)中的波動(dòng)方程的解因此，在損耗媒質(zhì)中波動(dòng)方程對(duì)應(yīng)于沿+z方向傳播的均勻平面波解為：式中：，為復(fù)數(shù)?？山⒎匠探M：令,則由

所以損耗媒質(zhì)中波動(dòng)方程解可以寫(xiě)為：寫(xiě)成實(shí)數(shù)形式（瞬時(shí)形式），得：三、導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面波的傳播特性

1、波的振幅和傳播因子振幅：隨著波傳播(z增加)，振幅不斷減小。傳播因子：波為均勻平面波（行波）。

2、幅度因子和相位因子只影響波的振幅，故稱為幅度因子；只影響波的相位，故稱為相位因子；其意義與k相同，即為損耗媒質(zhì)中的波數(shù)。

3、相位速度（波速）在理想媒質(zhì)中：在損耗媒質(zhì)中：很明顯：損耗媒質(zhì)中波的相速與波的頻率有關(guān)。

色散現(xiàn)象：波的傳播速度（相速）隨頻率改變而改變的現(xiàn)象。具有色散效應(yīng)的波稱為色散波。結(jié)論：導(dǎo)電媒質(zhì)（損耗媒質(zhì)）中的電磁波為色散波。

4、場(chǎng)量，的關(guān)系可以推知：在導(dǎo)電媒質(zhì)中，場(chǎng)量，之間關(guān)系與在理想介質(zhì)中場(chǎng)量間關(guān)系相同，即：式中：為波傳播方向?yàn)閷?dǎo)電媒質(zhì)本征阻抗討論：(1)、、三者相互垂直，且滿足右手螺旋關(guān)系

(2)

在導(dǎo)電媒質(zhì)中，電場(chǎng)和磁場(chǎng)在空間中不同相。電場(chǎng)相位超前磁場(chǎng)相位。小結(jié)：無(wú)限大導(dǎo)電媒質(zhì)中電磁波的特性：

1、為橫電磁波（TEM波），、、三者滿足右手螺旋關(guān)系2、電磁場(chǎng)的幅度隨傳播距離的增加而呈指數(shù)規(guī)律減??；3、電、磁場(chǎng)不同相，電場(chǎng)相位超前于磁場(chǎng)相位；4、是色散波。波的相速與頻率相關(guān)。四、媒質(zhì)導(dǎo)電性對(duì)場(chǎng)的影響對(duì)電磁波而言，媒質(zhì)的導(dǎo)電性的強(qiáng)弱由決定。從上可知：媒質(zhì)是良導(dǎo)體還是弱導(dǎo)體，與電磁波的頻率有關(guān)，是一個(gè)相對(duì)的概念。

1、良導(dǎo)體中的電磁波在良導(dǎo)體中，，則前面討論得到的，近似為

重要性質(zhì)：在良導(dǎo)體中，電場(chǎng)相位超前磁場(chǎng)相位在良導(dǎo)體中，衰減因子。對(duì)于一般的高頻電磁波(GHz)，當(dāng)媒質(zhì)導(dǎo)電率較大時(shí)，往往很大，電磁波在此導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播很小的距離后，電、磁場(chǎng)場(chǎng)量的振幅將衰減到很小。因此：電磁波只能存在于良導(dǎo)體表層附近，其在良導(dǎo)體內(nèi)激勵(lì)的高頻電流也只存在于導(dǎo)體表層附近，這種現(xiàn)象成為趨膚效應(yīng)。我們用趨膚深度(穿透深度)來(lái)表征良導(dǎo)體中趨膚效應(yīng)的強(qiáng)弱。趨膚深度：電磁波穿入良導(dǎo)體中，當(dāng)波的幅度下降為表面處振幅的時(shí)，波在良導(dǎo)體中傳播的距離，稱為趨膚深度。

2、弱導(dǎo)體中的電磁波在良導(dǎo)體中，，則前面討論得到的，近似為在弱導(dǎo)電媒質(zhì)中，仍存在能量損耗，波的相位常數(shù)近似等于理想媒質(zhì)中波的相位常數(shù)，第六節(jié)

均勻平面波對(duì)分界面的垂直入射本節(jié)討論單一頻率均勻平面波在兩個(gè)半無(wú)界介質(zhì)分界面上的反射與透射，設(shè)分界面為無(wú)限大平面，分界面位于z=0處。本節(jié)以入射波為x方向的線極化波為例進(jìn)行討論。一、對(duì)理想導(dǎo)體的分界面的垂直入射x入反yz設(shè)左半空間是理想介質(zhì)，

1＝0；右半空間為理想導(dǎo)體，

2＝∞。分界面在z=0平面上。理想介質(zhì)內(nèi)將存在入射波和反射波。設(shè)入射波電場(chǎng)為設(shè)反射波電場(chǎng)為則入射波磁場(chǎng)為則反射波磁場(chǎng)為由理想導(dǎo)體邊界條件可知：反射波電場(chǎng)為：理想媒質(zhì)中的合成場(chǎng)為：合成波場(chǎng)量的實(shí)數(shù)表達(dá)式為：討論：1、合成波的性質(zhì)：對(duì)任意時(shí)刻t，在合成波電場(chǎng)皆為零對(duì)任意時(shí)刻t，在合成波磁場(chǎng)皆為零zEx0zHy0zHy0zEx0合成波的性質(zhì)：

合成波為純駐波振幅隨距離變化電場(chǎng)和磁場(chǎng)最大值和最小值位置錯(cuò)開(kāi)

/4電場(chǎng)和磁場(chǎng)原地振蕩，電、磁能量相互轉(zhuǎn)化。2、導(dǎo)體表面的場(chǎng)和電流在理想導(dǎo)體表面的感應(yīng)面電流為：3、合成波的平均能流密度結(jié)論：合成波(駐波)不傳播電磁能量，只存在能量轉(zhuǎn)化。二、對(duì)兩種理想介質(zhì)分界面的垂直入射x入反12yz透設(shè)左、右半空間均為理想介質(zhì)，

1＝

2＝0。電磁波在介質(zhì)分界面上將發(fā)生反射和透射。透射波在介質(zhì)2中將繼續(xù)沿＋z方向傳播。設(shè)入射波電場(chǎng)為(一般已知)設(shè)反射波電場(chǎng)為設(shè)透射波電場(chǎng)為由兩種理想介質(zhì)邊界條件可知：媒質(zhì)1中總的電場(chǎng)、磁場(chǎng)為：式中：，為媒質(zhì)1、2的本征阻抗。定義：反射系數(shù)透射系數(shù)則媒質(zhì)1中合成波為：討論：1、媒質(zhì)1中合成波的傳播特點(diǎn)：前一項(xiàng)包含行波因子，表示振幅為(1+

)Eim、沿+z方向傳播的行波；后一項(xiàng)是振幅為2

Eim的駐波；合成波為行駐波（混合波）：相當(dāng)于一個(gè)行波疊加在一個(gè)駐波上，電場(chǎng)的中心值不再是零，出現(xiàn)波節(jié)，但波節(jié)點(diǎn)場(chǎng)值不為零。

2、反射系數(shù)和透射系數(shù)關(guān)系為：當(dāng)媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體時(shí)，，可知電磁波垂直入射到理想導(dǎo)體面上時(shí)，反射系數(shù)為－1。

3、當(dāng)分界面兩邊為導(dǎo)電媒質(zhì)時(shí)，媒質(zhì)本征阻抗為復(fù)數(shù)，即均為復(fù)數(shù)，故：也為復(fù)數(shù)。

在導(dǎo)電媒質(zhì)兩邊，入射波和反射波、入射波和透射波不同相。第七節(jié)

均勻平面波對(duì)分界面的斜入射電磁波垂直入射時(shí)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)總是平行分界面的。斜入射時(shí)，傳播方向與分界面法向不平行，電場(chǎng)或磁場(chǎng)可能與分界面不平行。yxE∥EiE⊥k入射角

i入射面分界面介質(zhì)2介質(zhì)1入射方向z一、幾個(gè)重要概念入射面：入射射線與分界面法線構(gòu)成的平面。平行極化入射：入射波電場(chǎng)方向平行于入射面的入射方式。垂直極化入射：入射波電場(chǎng)方向垂直于入射面的入射方式。入射角：入射射線與分界面法線夾角。二、反射定律和折射定律xkin

i分界面21z

r

tkrkt電磁波斜入射到介質(zhì)分解面上時(shí)，將發(fā)生反射和折(透)射現(xiàn)象。反射波和透射波的傳播方向遵循反射定律和折射定律。斯耐爾反射定律：斯耐爾折射定律：三、垂直極化波對(duì)理想介質(zhì)分界面的斜入射

設(shè)z<0和z>0空間分別為兩個(gè)半無(wú)限完純介質(zhì)。設(shè)入、反、透射三波的傳播方向分別為ei、er、et，且ki=eik1，kr=erk1，kr=erk2，有xein

i分界面21z

i

teretHiEiErHrHtEt設(shè)：則：在邊界面上，有由斯耐爾折射定律，知三者相等。即：由邊界條件可知，在邊界面上可得：菲涅爾公式若媒質(zhì)為非磁性媒質(zhì)，即：

⊥＞0，入、透射波同相

2＜

1時(shí),

i＜

t,⊥＞0,入、反射波同相

2＞

1時(shí),

i＞

t,⊥＜0,入、反射波反相，半波損失同理：說(shuō)明：1）2）入射波、反射波相位關(guān)系：四、平行極化波對(duì)理想介質(zhì)分界面的斜入射xein

i分界面21z

i

teretHiEiErHrEtHt同理，在介質(zhì)分界面兩邊根據(jù)邊界條件，可以求得：非磁性媒質(zhì)中五、兩種特殊情況1、全反射和臨界角從斯耐爾折射定律可知，對(duì)于非磁性媒質(zhì)，當(dāng)(即波從光密媒質(zhì)入射到光疏媒質(zhì))時(shí)即：透射角大于入射角。很明顯，當(dāng)入射角增大為某一特定角度時(shí)，透射角。當(dāng)入射角進(jìn)一步增大時(shí)，就將不再存在透射波——全反射。定義：剛好產(chǎn)生全反射時(shí)的入射角稱為臨界角,即討論：1)當(dāng)時(shí)，

即電磁波被完全反射回來(lái)。2）當(dāng)發(fā)生全反射時(shí)透射波的性質(zhì)：由折射定律，有當(dāng)時(shí)，此時(shí)為復(fù)角。此時(shí)，透射波的行波因子可以變形為：透射波沿+x傳播，但其振幅沿+z按指數(shù)規(guī)律衰減；當(dāng)電磁波以大于臨界角的角度入射時(shí)，進(jìn)入介質(zhì)2的電磁波將沿著分界面?zhèn)鞑?，且其振幅隨進(jìn)入介質(zhì)2的深度迅速衰減，這種波稱為表面波；可以證明進(jìn)入介質(zhì)2平均能流密度（平均功率）為零，即沒(méi)有能量進(jìn)入介質(zhì)2；

工程上利用這個(gè)原理制做介質(zhì)波導(dǎo)（如光纖）。2、無(wú)反射(全透射)和布儒斯特角