2020年遼寧省沈陽市中考數(shù)學二模試題（解析版）

遼寧省沈陽市2020年中考數(shù)學模擬試卷（二）一．選擇題（每題2分，滿分20分）1.在實數(shù)3.14，﹣π，，﹣中，倒數(shù)最小的數(shù)是（）A. B. C.﹣π D.3.14【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)倒數(shù)的定義計算，再比較大小解答．【詳解】解：在3.14，﹣π，，﹣中，倒數(shù)最小的數(shù)是兩個負數(shù)中一個，所以先求兩個負數(shù)的倒數(shù)：﹣π的倒數(shù)是﹣≈﹣0.3183，﹣的倒數(shù)是﹣≈﹣4472，所以﹣＞﹣，故選：A．【點睛】本題考查了倒數(shù)的定義．解題的關鍵是掌握倒數(shù)的定義，會比較實數(shù)的大?。?.據(jù)報道，2020年某市戶籍人口中，60歲以上的老人有1230000人，預計未來五年該市人口“老齡化”還將提速．將1230000用科學記數(shù)法表示為（）A.12.3×105 B.1.23×105 C.0.12×106 D.1.23×106【答案】D【解析】【分析】科學記數(shù)法的表示形式為，其中1≤＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值大于1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，n是負數(shù)．【詳解】將1230000用科學記數(shù)法表示為1.23×106．故選：D．【點睛】本題考查科學記數(shù)法-表示較大的數(shù)，解題的關鍵是準確確定科學記數(shù)法的表示形式中a和n的值．3.如圖所示的是由完全相同的小正方體組成的立體圖形，它的左視圖為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)左視圖是指從幾何體的左側觀察得出的圖形作答．【詳解】這個立體圖形的左視圖為：故選D．【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，能理解三視圖的定義是解此題的關鍵．4.若，，且，則的值為()A. B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)平方根的定義求出a、b的值，再由ab＜0，可知a、b異號，由此即可求出a-b的值．【詳解】解：∵a2=4，b2=9，

∴a=±2，b=±3，

而ab＜0，

∴①當a＞0時，b＜0，即當a=2時，b=-3，a-b=5；

②a＜0時，b＞0，即a=-2時，b=3，a-b=-5．

故選：A．【點睛】本題考查了平方根的概念．注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．5.如圖，∠BCD＝95°，AB∥DE，則∠α與∠β滿足（）A.∠α+∠β＝95° B.∠β﹣∠α＝95° C.∠α+∠β＝85° D.∠β﹣∠α＝85°【答案】D【解析】【分析】過點C作CF∥AB，然后利用兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補進行推理證明即可.【詳解】解：過點C作CF∥AB∵AB∥DE，CF∥AB∴AB∥DE∥CF∴∠BCF=∠α∠DCF+∠β=180°∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF∴∠α+180°-∠β=95°∴∠β﹣∠α＝85°故選：D【點睛】本題考查平行線的性質，熟練掌握平行線的性質進行推理證明是本題的解題關鍵.6.下列事件中，屬于必然事件的是（）A.三角形的外心到三邊的距離相等B.某射擊運動員射擊一次，命中靶心C.任意畫一個三角形，其內角和是180°D.拋一枚硬幣，落地后正面朝上【答案】C【解析】分析：必然事件就是一定發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可作出判斷．詳解：A、三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等，三角形的內心到三邊的距離相等，是不可能事件，故本選項不符合題意；B、某射擊運動員射擊一次，命中靶心是隨機事件，故本選項不符合題意；C、三角形的內角和是180°，是必然事件，故本選項符合題意；D、拋一枚硬幣，落地后正面朝上，是隨機事件，故本選項不符合題意；故選C．點睛：解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．7.已知多邊形的每個內角都是108°,則這個多邊形是()A.五邊形 B.七邊形 C.九邊形 D.不能確定【答案】A【解析】【分析】首先計算出多邊形的外角的度數(shù)，再根據(jù)外角和÷外角度數(shù)=邊數(shù)可得答案．【詳解】∵多邊形的每個內角都是108°，

∴每個外角是180°-108°=72°，

∴這個多邊形的邊數(shù)是360°÷72°=5，

∴這個多邊形是五邊形，

故選A．【點睛】此題考查多邊形的外角與內角，解題關鍵是掌握多邊形的外角與它相鄰的內角互補．8.將函數(shù)y=﹣3x圖象沿y軸向上平移2個單位長度后，所得圖象對應的函數(shù)關系式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：直接根據(jù)一次函數(shù)平移規(guī)律，“上加下減”進而得出即可：∵將函數(shù)y=﹣3x的圖象沿y軸向上平移2個單位長度，∴平移后所得圖象對應的函數(shù)關系式為：y=﹣3x+2．故選A．考點：一次函數(shù)圖象與平移變換．9.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則關于x的方程ax2+bx+c=0的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個同號的實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根【答案】D【解析】【分析】關于x的方程ax2+bx+c=0的根就是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點的橫坐標，據(jù)此即可求解．【詳解】∵y=ax2+bx+c的圖象與x軸沒有交點，且方程ax2+bx+c=0的根就是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點的橫坐標，∴關于x的方程ax2+bx+c=0的根的情況是沒有實數(shù)根，故選D．【點睛】此題主要考查了方程ax2+bx+c=0的根的情況，關鍵是看函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點．10.如圖，點A在線段BD上，在BD的同側作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC=∠AED=90°，CD與BE、AE分別交于點P、M．對于下列結論：①△CAM∽△DEM；②CD=2BE；③MP?MD=MA?ME；④2CB2=CP?CM．其中正確的是（）A.①② B.①②③ C.①②③④ D.①③④【答案】D【解析】分析】①求出∠CAM=∠DEM=90°，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；②求出△BAE∽△CAD，得出比例式，把AC=AB代入，即可求出答案；③通過等積式倒推可知，證明△PME∽△AMD即可；④2CB2轉化為AC2，證明△ACP∽△MCA，問題可證．【詳解】∵在BD的同側作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠AED=90°，∴∠BAC=45°，∠EAD=45°，∴∠CAE=180°-45°-45°=90°，即∠CAM=∠DEM=90°，∵∠CMA=∠DME，∴△CAM∽△DEM，故①正確；由已知：AC=AB，AD=AE，∴，∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD，∴，即，即CD=BE，故②錯誤；∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴，∴MP?MD=MA?ME，故③正確；由②MP?MD=MA?ME∠PMA=∠DME∴△PMA∽△EMD∴∠APD=∠AED=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP?CM∵AC=AB，∴2CB2=CP?CM，故④正確；即正確的為：①③④，故選D．【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定、等腰直角三角形等知識點，在等積式和比例式的證明中應注意采用倒推的方法尋找相似三角形進行證明，進而得到答案．二．填空題（每題3分，滿分18分）11.在九年級體育考試中，某校某班參加仰臥起坐測試的8名女生成績如下（單位：次/分）：44，45，42，48，46，43，47，45，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為_____．【答案】45【解析】【分析】在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為45.【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為45.故答案為45.【點睛】本題考查了眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．12.如圖，一根直立于水平地面的木桿AB在燈光下形成影子AC（AC＞AB），當木桿繞點A按逆時針方向旋轉，直至到達地面時，影子的長度發(fā)生變化．已知AE＝5m，在旋轉過程中，影長的最大值為5m，最小值3m，且影長最大時，木桿與光線垂直，則路燈EF的高度為_____m．【答案】7.5【解析】試題解析：當旋轉到達地面時，為最短影長，等于AB，∵最小值3m，∴AB=3m，∵影長最大時，木桿與光線垂直，即AC=5m，∴BC=4，又可得△CAB∽△CFE，∴∵AE=5m，∴解得：EF=7.5m.故答案為7.5.點睛：相似三角形的性質：相似三角形的對應邊成比例.13.不等式組的最小整數(shù)解是_____．【答案】0【解析】【分析】求出不等式組的解集，確定出最小整數(shù)解即可．【詳解】解：不等式組整理得：，∴不等式組的解集為﹣1＜x≤2，則最小的整數(shù)解為0，故答案為0【點睛】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．14.如圖，已知直線y＝﹣x+2分別與x軸，y軸交于A，B兩點，與雙曲線y＝交于E，F(xiàn)兩點，若AB＝2EF，則k的值是_____．【答案】．【解析】【分析】作FH⊥x軸，EC⊥y軸，F(xiàn)H與EC交于D，先利用一次函數(shù)圖像上的點的坐標特征得到A點（2，0），B點（0，2），易得△AOB為等腰直角三角形，則AB＝2，所以，EF＝AB＝，且△DEF為等腰直角三角形，則FD＝DE＝EF＝1，設F點坐標是：（t，﹣t+2），E點坐標為（t+1，﹣t+1），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征得到t（﹣t+2）＝（t+1）?（﹣t+1），解得t＝，則E點坐標為（，），繼而可求得k的值．【詳解】如圖，作FH⊥x軸，EC⊥y軸，F(xiàn)H與EC交于D，由直線y＝﹣x+2可知A點坐標為（2，0），B點坐標為（0，2），OA＝OB＝2，∴△AOB為等腰直角三角形，∴AB＝2，∴EF＝AB＝，∴△DEF為等腰直角三角形，∴FD＝DE＝EF＝1，設F點橫坐標為t，代入y＝﹣x+2，則縱坐標是﹣t+2，則F的坐標是：（t，﹣t+2），E點坐標為（t+1，﹣t+1），∴t（﹣t+2）＝（t+1）?（﹣t+1），解得t＝，∴E點坐標為（，），∴k＝×＝．故答案為．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征，解題的關鍵是掌握反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k,即xy＝k．15.如圖，A、B、C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則tan∠BAC的值為______．【答案】1【解析】【分析】連接BC，由網格求出AB，BC，AC的長，利用勾股定理的逆定理得到△ABC為等腰直角三角形，即可求出所求．【詳解】解：連接，

由網格可得，，即，

∴為等腰直角三角形，

∴，

則，故答案為1.【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．16.如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝2，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE＝EB，F(xiàn)是BC的中點，過D分別作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，則DP：DQ的值為_____．【答案】2：【解析】【分析】連接DE、DF，過F作FN⊥AB于N，過C作CM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積和平行四邊形的面積得出S△DEC=S△DFA=S平行四邊形ABCD，求出AF×DP=CE×DQ，求出BF=1，BE=2，BN=，BM=a，F(xiàn)N=，CM=，求出AF=，CE=，代入求出即可．【詳解】解：連接DE、DF，過F作FN⊥AB于N，過C作CM⊥AB于M，∵根據(jù)三角形的面積和平行四邊形的面積得：S△DEC＝S△DFA＝S平行四邊形ABCD，即AF×DP＝CE×DQ，∴AF×DP＝CE×DQ，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵∠DAB＝60°，∴∠CBN＝∠DAB＝60°，∴∠BFN＝∠MCB＝30°，∵AB＝3，BC＝2，∴設AB＝3a，BC＝2a，∵AE：EB＝1：2，F(xiàn)是BC的中點，∴BF＝1，BE＝2，BN＝，BM＝1，由勾股定理得：FN＝，CM＝，AF＝＝，CE＝＝，∴?DP＝?DQ∴DP：DQ＝：，故答案為：2：．【點睛】本題考查了平行四邊形面積，勾股定理，三角形的面積，含30度角的直角三角形等知識點的應用，關鍵是求出AF×DP=CE×DQ和求出AF、CE的值．三．解答題17.先化簡，再求值：（2﹣）÷，其中x＝﹣3．【答案】；1﹣2【解析】【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．【詳解】原式＝=＝，當x＝﹣3時，原式＝.【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算的運算順序以及運算法則是解題的關鍵.18.如圖，在矩形ABCD中，E是邊AD上一點（不與點A重合），連結BE，PQ垂直平分BE，分別交AD、BE、BC于點P、O、Q，連結BP、EQ．求證：四邊形BPEQ是菱形．【答案】詳見解析【解析】【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質證明PB=PE，由ASA證明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，證出四邊形BPEQ是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定即可得出結論；【詳解】證明：∵PQ垂直平分BE，∴PB＝PE，OB＝OE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO＝∠QBO，在△BOQ與△EOP中，，∴△BOQ≌△EOP（ASA），∴PE＝QB，又∵AD∥BC，∴四邊形BPEQ是平行四邊形，又∵QB＝QE，∴四邊形BPEQ是菱形．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質、矩形的性質，平行四邊形的判定與性質、本題綜合性強，有一定難度．解題的關鍵是熟練掌握所學的知識進行證明．19.甲口袋中有三個球分別標有數(shù)碼1，-2，3；在乙口袋中也有三個球分別標有數(shù)碼4，-5，6；已知口袋均不透明，六個球除標碼不同外其他均相同，小明從甲口袋中任取一個球，并記下數(shù)碼，小林從乙口袋中任取一個球，并記下數(shù)碼．（1）用樹狀圖或列表法表示所有可能的結果；（2）求所抽取的兩個球數(shù)碼的乘積為負數(shù)的概率．【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】【分析】利用列表法展示所有可能的結果，再找出兩次摸出的小球數(shù)字之積是負數(shù)的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解（1）列表法如下表示：1234-56（2）由（1）可知，共有9種可能的乘積，其中乘積為負數(shù)的有4個，則抽取的兩個球數(shù)碼的乘積為負數(shù)的概率.【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．四．解答題20.目前“微信”、“支付寶”、“共享單車”和“網購”給我們帶來了很多便利，初二數(shù)學小組在校內對“你最認可的四大新生事物”進行了調查，隨機調查了人（每名學生必選一種且只能從這四種中選擇一種）并將調查結果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖．（1）根據(jù)圖中信息求出=___________，=_____________；（2）請你幫助他們將這兩個統(tǒng)計圖補全；（3）根據(jù)抽樣調查的結果，請估算全校2000名學生種，大約有多少人最認可“微信”這一新生事物？【答案】（1）100，35；（2）詳見解析；（3）800人．【解析】【分析】（1）由共享單車的人數(shù)以及其所占百分比可求得總人數(shù)m，用支付寶人數(shù)除以總人數(shù)可得其百分比n的值；（2）總人數(shù)乘以網購的百分比可求得網購人數(shù)，用微信人數(shù)除以總人數(shù)求得其百分比，由此即可補全兩個圖形；（3）總人數(shù)乘以樣本中微信人數(shù)所占百分比即可求得答案．【詳解】（1）抽查的總人數(shù)m=10÷10%=100，支付寶的人數(shù)所占百分比n%==35%，所以n=35，故答案為：100，35；（2）網購人數(shù)為：100×15%=15人，微信對應的百分比為：，補全圖形如圖所示：（3）估算全校2000名學生種，最認可“微信”這一新生事物的人數(shù)為：2000×40%=800人．【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息相關問題，讀懂統(tǒng)計圖，從中找到必要的信息是解題的關鍵．21.某網店準備經銷一款兒童玩具，每個進價為35元，經市場預測，包郵單價定為50元時，每周可售出200個，包郵單價每增加1元銷售將減少10個，已知每成交一個，店主要承付5元的快遞費用，設該店主包郵單價定為x(元)(x＞50)，每周獲得的利潤為y(元)．(1)求該店主包郵單價定為53元時每周獲得的利潤；(2)求y與x之間的函數(shù)關系式；(3)該店主包郵單價定為多少元時，每周獲得的利潤最大？最大值是多少？【答案】（1）2210；（2）y＝﹣10x2+1100x﹣28000；（3）包郵單價定為55元時，每周獲得的利潤最大，最大值是2250元．【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤=每件的利潤×銷售量即可．

（2）根據(jù)利潤=每件的利潤×銷售量即可．（3）根據(jù)（2）中關系式，將它化為頂點式即可．【詳解】（1）（53﹣35﹣5）×[200﹣（53﹣50）×10]＝13×170＝2210（元）．答：每周獲得的利潤為2210元；（2）由題意，y＝（x﹣35﹣5）[200﹣10（x﹣50）]即y與x之間的函數(shù)關系式為：y＝﹣10x2+1100x﹣28000；（3）∵y＝﹣10x2+1100x﹣28000＝﹣10（x﹣55）2+2250．∵﹣10＜0，∴包郵單價定為55元時，每周獲得的利潤最大，最大值是2250元．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的應用，將實際問題轉化為數(shù)學模型求解，注意配方法求二次函數(shù)最值的應用五．解答題22.如圖，以AB為直徑的⊙O交△ABC的邊AC于D、BC于E，過D作⊙O的切線交BC于F，交BA延長線于G，且DF⊥BC．（1）求證：BA＝BC；（2）若AG＝2，cosB＝，求DE的長．【答案】（1）詳見解析；（2）．【解析】【分析】（1）連結OD，如圖，根據(jù)切線的性質得OD⊥DF，而DF⊥BC，根據(jù)平行線的判定得到OD∥BC，然后利用平行線的性質和等量代換可得∠OAD=∠C，則根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結論；（2）作DH⊥AB于H，如圖，設⊙O的半徑為r，由平行線的性質得cos∠DOG=cosB=，則在Rt△ODG中利用余弦可計算出r=3，再在Rt△ODH中利用余弦可求出OH=，則AH=，利用勾股定理可計算出AD，然后證明DE=AD即可．【詳解】（1）證明：連結OD，如圖，∵DF為切線，∴OD⊥DF，∵DF⊥BC，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C，而OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠C，∴BA＝BC；（2）作DH⊥AB于H，如圖，設⊙O的半徑為r，∵OD∥BC，∴∠B＝∠DOG，∴cos∠DOG＝cosB＝，在Rt△ODG中，∵cos∠DOG＝，即，∴r＝3，在Rt△ODH中，∵cos∠DOH＝，∴OH＝，∴AH＝3﹣＝，在Rt△ADH中，AD＝，∵∠DEC＝∠C，∴DE＝DC，而OA＝OB，OD∥BC，∴AD＝CD，∴DE＝AD＝．【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．解決（2）小題的關鍵是利用三角函數(shù)的定義和勾股定理求出圓的半徑和AD的長，再證明DE=AD．六．解答題23.如圖①，已知直線y＝﹣2x+4與x軸、y軸分別交于點A、C，以OA、OC為邊在第一象限內作長方形OABC．（1）求點A、C的坐標；（2）將△ABC對折，使得點A的與點C重合，折痕交AB于點D，求直線CD的解析式（圖②）；（3）在坐標平面內，是否存在點P（除點B外），使得△APC與△ABC全等？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）A（2，0）；C（0，4）；（2）；（3）存在，P的坐標為（0，0）或或.【解析】分析】（1）已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交于點A、C，即可求得A和C的坐標；（2）根據(jù)題意可知△ACD是等腰三角形，算出AD長即可求得D點坐標，最后即可求出CD的解析式；（3）將點P在不同象限進行分類，根據(jù)全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合題意的點P的坐標．【詳解】（1）（1）令y=0，則-2x+4=0，解得x=2，

∴A（2，0），

令x=0，則y=4，

∴C（0，4）；（2）由折疊知：CD=AD．設AD=x，則CD=x，BD=4-x，根據(jù)題意得：（4-x）2+22=x2解得：x=此時，AD=，D(2，)設直線CD為y=kx+4，把D(2，)代入得=2k+4解得：k=-∴該直線CD解析式為y=-x+4．（3）①當點P與點O重合時，△APC≌△CBA，此時P（0，0）②當點P在第一象限時，如圖，由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，則點P在直線CD上．過P作PQ⊥AD于點Q，在Rt△ADP中，AD=，PD=BD=4-=，AP=BC=2由AD×PQ=DP×AP得：PQ=3∴PQ=∴xP=2+=，把x=代入y=-x+4得y=此時P(，)（也可通過Rt△APQ勾股定理求AQ長得到點P的縱坐標）③當點P在第二象限時，如圖同理可求得：CQ=∴OQ=4-=此時P(-，)綜合得，滿足條件的點P有三個，分別為：P1（0，0）；P2(，)；P3(-，)．考點：一次函數(shù)綜合題．24.如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關系是，位置關系是；（2）探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝4，AB＝10，請直接寫出△PMN面積的最大值．【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形，證明詳見解析；（3）．【解析】【分析】（1）利用三角形的中位線得出PM=CE，PN=BD，進而判斷出BD=CE，即可得出結論，再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出結論；（2）先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出結論；（3）方法1、先判斷出MN最大時，△PMN的面積最大，進而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面積公式即可得出結論．方法2、先判斷出BD最大時，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD=14，即可．【詳解】解：（1）∵點P，N是BC，CD的中點，∴PN∥BD，PN＝BD，∵點P，M是CD，DE的中點，∴PM∥CE，PM＝CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案為：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋轉知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，利用三角形的中位線得，PN＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠