2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第7章 第1節(jié) 第2課時(shí)　空間幾何體的切、接、截問題

第2課時(shí)空間幾何體的切、接、截問題

［細(xì)研考點(diǎn)?突破題型］重難解惑?直擊高考

□考點(diǎn)一簡(jiǎn)單幾何體的外接球枷生共研

［典例1］⑴已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且ABM，BC

=巾，AC=2,則此三棱錐的外接球的體積為()

A8「趴回1632

A?3兀B?3兀C?3兀D?3兀

(2)已知直三棱柱ABC-4BC1的各頂點(diǎn)都在以。為球心的球面上，且N3AC

=苧，AAi=BC=2,則球。的體積為()

A.4小兀B.8兀C.127rD.20兀

(1)B(2)A［(1)；AB=小，BC=巾,AC=2,：.PA=\,PC=4,PB=

2.以膽，PB,PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體如圖所示，則長(zhǎng)方體的外接

球同時(shí)也是三棱錐P-ABC的外接球.

?；長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為W+3+4=2也，

.?.球的直徑為2啦，半徑7?=6，

44r-8、歷

因此，三棱錐P-ABC外接球的體積是鏟斤=鏟x(/)3={—兀故選B.

(2)在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圓的半徑為r=

BC_2_r-

2sinNBAC.-3兀"

2sina

則直三棱柱ABC-A\B\C\的外接球的半徑為

q（啦）2+12=小,

4r~

則直三棱柱ABC-AiBiCi的外接球的體積為鏟收=45兀.故選A.］

［母題變遷］

1.若將本例(2)的條件“N84C=i,A4i=BC=2”換為“AB=3,AC=4,

AB±AC,A4i=12”，則球。的半徑為.

V［如圖所示，過球心作平面ABC的垂線，則垂足為的中點(diǎn)M.

又0M=^AAi=6,

所以球。的半徑R=OA=

2.若將本例⑵的條件改為“正四面體的各頂點(diǎn)都在以0為球心的球面

上”，則此正四面體的表面積S與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為.

［設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a,則正四面體表面積為Si=4X乎./=小屋，其

內(nèi)切球半徑r為正四面體高的、

即萍a=^a,因此內(nèi)切球表面積為§2=4兀7=哈，

43120

加盧=溟=述1

02Tear?！?/p>

6

3.若將本例⑵的條件改為“側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是3啦的正四棱錐的各頂點(diǎn)

都在以。為球心的球面上”，則其外接球的半徑為.

3［依題意，得該正四棱錐底面對(duì)角線的長(zhǎng)為36X啦=6,高為

寸(3&)2_&義6)=3,

因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3,所以該正四棱錐的外接球的球心即

為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.］

畬反思領(lǐng)信通過本例及母題變遷訓(xùn)練，我們可以看出構(gòu)造法、補(bǔ)形法等是

處理“外接”問題的主要方法，其關(guān)鍵是找到球心，借助勾股定理求球的半徑.

2

(1)若球面上四點(diǎn)P,A,B,C中出，PB,PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)

棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體，利用27?=#/+天+,2求R.

(2)一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐問題：可補(bǔ)形成直三棱柱.先借助幾何體的

幾何特征確定球心位置，然后把半徑放在直角三角形中求解.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)(2021.天津高考)兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面

一

上，若球的體積為弩327r，兩個(gè)圓錐的高之比為1:3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為

()

A.3兀B.4兀C.9兀D.12兀

(2)圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑

分別為4和5,則該圓臺(tái)的體積為.

(1)B(2)61兀［(1)如圖，設(shè)球。的半徑為凡由題意，%我3=半，可得R

=2,則球。的直徑為4,

?.?兩個(gè)圓錐的高之比為1:3,：.AO\=\,80=3,

由直角三角形中的射影定理可得：戶=1X3,即尸小.

這兩個(gè)圓錐的體積之和為V=|TTX(V3)2X(14-3)=471.

故選B.

⑵截面圖如圖所示，下底面半徑為5,圓周直徑為10.

JT

則圓臺(tái)的下底面位于圓周的直徑上，OC=OB=5,O'C=4,NOO'C=］,

則圓臺(tái)的高為3,V=1/i(5i+Vs^4-S2)=257t4-167i+207t=61n.］

□考點(diǎn)二簡(jiǎn)單幾何體的內(nèi)切球(師生共研

3

［典例2］(2020.全國(guó)II］卷)已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐

內(nèi)半徑最大的球的體積為CS1都

［法一：如圖，在圓錐的軸截面A3C中，CO_LAB,BD=\,BC=3,

圓O內(nèi)切于△ABC,E為切點(diǎn)，連接OE,則OE,8c.在RtABCD中，CD=

、8。2-302=2色易知8￡=3。=1,則。后=2.設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為七則OC

、歷

=26一R,在RtZkCOE中，0。2—。序=32,即Q也一R)2—R2=4,所以R=與，

4、歷

圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為以我3=牛兀.

法二:

如圖，記圓錐的軸截面為△ABC,其中AC=BC=3,AB=2,CD±AB,在

RtABCD中，CD=7BC-BU=2?則S“BC=2近.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓。的

半徑為R,則琴,所以圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為31火3=冬.］

DIDI乙乙D。

畬反思領(lǐng)悟“切”的問題處理規(guī)律

(1)找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作過球心的截面來解決.

(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.在封閉的直三棱柱ABC-AiBG內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若ABLBC,AB

=6,BC=8,A4i=3,則V的最大值是()

“c9兀一，r32兀

A.4無B.5C.6兀D.

B［要使球的體積最大，必須使球的半徑最大.設(shè)球的半徑為R,?.'△ABC

4

的內(nèi)切圓半徑為一2—=2,：.R^2,由題意易知球與直三棱柱的上、下底面

都相切時(shí)，球的直徑取得最大值為3,

.?.RW],.*<Vmax=^7t^2^=/兀.故選B.]

□考點(diǎn)三空間幾何體的截面'截線問題《師生共研

[典例3](l)Q020?全國(guó)II卷)已知△ABC是面積為竽的等邊三角形，且其

頂點(diǎn)都在球0的球面上.若球0的表面積為16兀,則。到平面ABC的距離為()

A.小B.1C.1D.坐

(2)(2020.新高考I卷)已知直四棱柱ABCD-A\B\C\D\的棱長(zhǎng)均為2.ZBAD=

60°,以n為球心，小為半徑的球面與側(cè)面BCCB的交線長(zhǎng)為.

(DC(2)華](1)由等邊三角形ABC的面積為竽，得坐XAB2=呼,得

AB—3,則△ABC的外接圓半徑乎48=坐48=小.設(shè)球的半徑為R,則

由球的表面積為1671,得4兀爐=16無，得R=2,則球心O到平面ABC的距離d

=y]R2—r=1,故選C.

(2)

如圖，連接3。，易知△BiGDi為正三角形，所以明。|=。。=2.分別取

B\C\,BB\,CG的中點(diǎn)M,G,H,連接。iM,D\G,D\H,則易得DiG=Di〃

=轉(zhuǎn)+12=小,D\M^-B\C\,且。|加=小.由題意知G,”分別是BBi,CG與

球面的交點(diǎn).在側(cè)面BCC\B\內(nèi)任取一點(diǎn)P,使MP=?連接D\P,則D\P=

^D\M-+MP-=y](73)2+(^2)2=75，連接MG,MH,易得MG=MH=小,

故可知以M為圓心，啦為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCCiBi的交線.由

?5

ZBiMG=ZCiMH=45c知NGM”=90°,所以命的長(zhǎng)為;義2九義小=號(hào).]

令反思領(lǐng)悟巧用直角三角形解決截面圓問題的步驟

5

(1)確定球心。和截面圓的圓心O；

(2)探求球的半徑R和截面圓的半徑r；

(3)利用|OOF+d=R2計(jì)算相關(guān)量.

一［跟進(jìn)訓(xùn)練i

3.如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)A為球心，以色為半徑作一個(gè)球面,

則該正方體的表面被球面所截得的所有弧長(zhǎng)之和為()

3兀

A.B.也兀

-3?！?兀

J02—F)—4

nG

C［正方體的表面被該球面所截得的弧長(zhǎng)是相等的三部分，如圖，上底面被

球面截得的弧長(zhǎng)是以4為圓心，1為半徑的圓周長(zhǎng)的點(diǎn)所以所有弧長(zhǎng)之和為

3義竽=挈故選C.］

技法戰(zhàn)高考

5.尋找球心解決與球有關(guān)的問題

簡(jiǎn)單幾何體外接球與內(nèi)切球問題是立體幾何中的難點(diǎn)，也是歷年高考重要的

考點(diǎn)，幾乎每年都要考查，重在考查考生的直觀想象能力和邏輯推理能力.此類

問題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長(zhǎng)或確定球心。的位置問題，其中球心的確定是關(guān)鍵.

類型1利用直棱柱上下底面外接圓

圓心的連線確定球心

［典例4］一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六

6

9-

棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為、底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)

O

球的體積為.

4兀1

■y[設(shè)正六棱柱底面邊長(zhǎng)為a,正六棱柱的高為/?,則a=],底面積為S=

6坐圖vu=S/i=^g^/z=|,：.h=y[3,&=（乎）+（羅=1,R=l,球

確定球心

[典例5]已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形A8C,。為BC的中點(diǎn)，沿AO進(jìn)行折

7T

疊，使折疊后的N5DC=],則過A,B,C,。四點(diǎn)的球的表面積為（）

A.3兀B.4兀C?5兀D.6兀

C[連接3c（圖略），由題知幾何體4??！辏緸槿忮F，B0=C0=1,

BD±AD,CD±AD,BDLCD,將折疊后的圖形補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是小,

1,1的長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線長(zhǎng)為刈+1+3=小,故該三棱錐外接球的半徑是坐,

其表面積為571.]

令素養(yǎng)提能若幾何體存在三條兩兩垂直的線段或者三條線有兩條垂直，可

構(gòu)造墻角模型（如下圖），直接用公式（2火）2=層+/+，求出R

圖①圖②

7

根據(jù)球與長(zhǎng)方體的對(duì)稱性可知，長(zhǎng)方體的對(duì)稱中心就是球心，所以長(zhǎng)方體（或

可補(bǔ)形為長(zhǎng)方體的柱體、錐體）的體對(duì)角線就是其外接球的直徑.

類型3利用底面三角形與側(cè)面三角形的

外心探索球心

［典例6］平面四邊形A3CO中，AB=AD=CD=l,BD=?BO_LCD.將

其沿對(duì)角線BD折成四面體A'BCD,使平面48。，平面BCD若四面體A'BCD

的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為（）

A［如圖，設(shè)BD,BC的中點(diǎn)分別為E,F.因點(diǎn)F為底面直角△BCD的外

心，知三棱錐A'-BCD的外接球球心必在過點(diǎn)R且與平面BCD垂直的直線/i上.又

點(diǎn)E為底面直角AA，8。的外心，知外接球球心必在過點(diǎn)E且與平面A'BD垂直

的直線/2上.因而球心為Zi與人的交點(diǎn).又知在，平面48D

從而可知球心為點(diǎn)F.又48=40=1,CD=\知BD=也,球半徑7?=尸。=萬-=

坐故T71快|3=察1

畬素養(yǎng)提能三棱錐側(cè)面與底面垂直時(shí)，可緊扣球心與底面三角形外心連線

垂直于底面這一性質(zhì)，利用底面與側(cè)面的外心，巧探外接球球心，妙求半徑.

類型4利用截面圖形的幾何性質(zhì)確定球心

［典例7］在四面體ABC。中，AB=小,DA=DB=CA=CB=1,則四面體

ABCD的外接球的表面積為（）

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

8

C

D

B[取AB的中點(diǎn)O,

由AB=?DA=DB=CA=CB=l,

111

所以C42+C32=A32,AD+BD=AB,

可得NAC3=NADB=90°,

J2

所以QA=OB=OC=00=￥，

即。為外接球的球心，球的半徑R二坐,

所以四面體ABCD的外接球的表面積為5=4?；?=4兀義；=2兀.]

全索養(yǎng)提能由圓的幾何性質(zhì)可知，直徑所對(duì)的圓周角是直角，故當(dāng)遇有公

共斜邊的直角三角形的四面體外接球問題時(shí)，常采用取中點(diǎn)的方式解答.

Flaw]

4.(1)已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA=1,SB=SC=2,若

點(diǎn)