初中奧數(shù)競賽講義

一、整數(shù)的分拆六、應用問題選講七、抽屜原理八、染色與賦值九、計數(shù)的方法與原理我們知道，1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集數(shù)分別為1,2,3,4,5,6.7時，那么七天共可播出28集，還剩2集未播出。由于已有過一天播出2出的集數(shù)安排為1,2.3,4,5.7,8或1.2.3,4.5,6,9都可以。所以最多可以播7天。=2+3=1+4,共有6種分拆法(不計分成的整數(shù)相加的順序)。例2有面值為1分、2分、5分的硬幣各4枚，用它們?nèi)ブЦ?角3分。問：分析與解：要付2角3分錢.最多只能使用4枚5分幣。因為全部1分和2分幣都用上時，共值12分，所以最少要用3枚5分幣。當使用3枚5分幣時.5×3=15。23-15=8,所以使用2分幣最多4枚，最少2枚，可有23=15+(2+2+2+2),23=15+(2+2+2+1+1),23=15+(2+2+1+1+1+1),共3種支付方法。當使用4枚5分幣時，5×4=20,23-20=3,所以最多使用1枚2分幣，或不使用，從而可有23=20+(2+1),23=20+(1+1+1),共2種支付方法?？偣灿?種不同的支付方法。=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17.質(zhì)數(shù)是31,但37-31=6,6不能分拆為不同的質(zhì)數(shù)之和，故不取；再下去比37小的質(zhì)數(shù)是29,37-29=8。而8=3+5。其余的分拆考慮與此類似。又可以表示為10個連續(xù)自然數(shù)之和，還可以表示為11個連續(xù)自然數(shù)之和。解：9個連續(xù)自然數(shù)之和是其中第5個數(shù)的9倍，10個連續(xù)自然數(shù)之和是其中第5個數(shù)和第6個數(shù)之和的5倍。11個連續(xù)自然數(shù)之和是其中第6個數(shù)的11倍。這樣，可以表示為9個、10個、11個連續(xù)自然數(shù)之和的數(shù)必是5.9和11的倍數(shù)，故最小的這樣的數(shù)是[5.9,11]=495。例如。495÷10=49.5,則10個連續(xù)的自然數(shù)為：45,46,47,48,49,(49.5),50,51,52,53,54。于是495=45+46+…+54。同理可得495=51+52+…+59=40+41+…+50。盒子.這只盒子里原來裝有(a+1)個小球。因為42=6×7,故可將42看成7個6的和.又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6個6,從而42=3+4+5+6+7+8+9,一共有7個加數(shù)。又因42=14×3。故可將42寫成13+14+15,一共有3個加數(shù)。又因42=21×2,故可將42寫成9+10+11+12,一共有4個加數(shù)。數(shù)染成黃色(比如23可表示為兩個不同合數(shù)15和8之和，23要染紅色；1不能第2000個數(shù)是多少?請說明理由。解：顯然1要染黃色。2=1+1也要染黃3=1+2,4=1+3=2+2.5=1+4=2+3,6=1+5=2+4=3+3,7=8=1+7=2+6=3+5=4+4.9=1+8=2+7=3可見，1,2.3.4.5,6,7,8,9,11均應染黃色。(1)當n為大于等于10的偶數(shù)時，由于n≥10,所以k≥5.k-2≥3.2(k-2)與4均為合數(shù)，且不相等。也就是(2)當n為大于等于13的奇數(shù)時，由于n≥13,所以k≥6,k-4≥2,2(k-4)與9均為合數(shù)，且不相等。也就是綜上所述，除了1,2.3,4,5,6,7,8,9,11這10個數(shù)染黃色外，其最大，應該把14如何分拆?這個最大的乘積是多少?首先，分成的數(shù)中不能有1,這是顯然的.一個數(shù)的和，這兩個數(shù)的乘積一定比原數(shù)大，例如7就比它分拆成的2和5的乘再次。因為4=2×2,故我們可以只考慮將數(shù)分拆成2和3。注意到2+2+2=6,2×2×2=8;3+3=6,3×3=9,因此分成的數(shù)中若有三個2,則不如換成兩個3,換句話說，分成的數(shù)中至多只能有兩個2,其余都是3。根據(jù)上面的討論，我們應該把14分拆成四個3與一個2之和，即卷第4題是：若干個正整數(shù)的和為1976,求這些正整數(shù)的積的最大值。答案是1979年美國第40屆普特南數(shù)學競賽A-1題是：求出正整數(shù)n及ai,a,…,an1992年武漢市小學數(shù)學競賽第一題的第6題是：將1992表示成若干個自然數(shù)應是664個3.上述三題的邏輯結構并不隨和的數(shù)據(jù)而改變，所以分別冠以當年的年份1976,1979和1992,這種改換數(shù)據(jù)的方法是數(shù)學競賽命題中最簡單的方法，多則當ai.a,…,an中至多有兩個2.其余都是3時，其連乘積m=a:a2…an小的2,并將最后一個數(shù)(最大)加上1。多少種形如(*)式的分解式。也就是說。1995就有多少種表示為兩個或兩個以1995=3×5×7×19,共有15個大于1的奇約數(shù)，所以本題的答案是15種。若自然數(shù)N有k個大于1的奇約數(shù)，則N共有k種表就從1995的大于1的奇約數(shù)開始。1995的大于1的奇約數(shù)有：例如.對于奇約數(shù)35.由(*)式，得：3990=35×114.因為114>35,所以k=35,2a+k-1=114,解得a=40。推知35對應的表示方法是首項為40的連續(xù)35個自然數(shù)之和，即：1995=40+41+42+…+73+74。再如，對于奇約數(shù)399,由(*)式，得3990=399×10因為399>10,所以k=10,2a+k-1=399,解得a=195。推知399對應的表示方法是首項為195的連續(xù)10個自然數(shù)之和，即：1995=195+196+197+…+204。對于1995的15個大于1的奇約數(shù)，依次利用(*)式，即可求出15種不同練習41.將210拆成7個自然數(shù)的和，使這7個數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個數(shù)的差都是5。第1個數(shù)與第6個數(shù)分別是幾?3.把19分成幾個自然數(shù)(可以相同)的和，再求出這些數(shù)的乘積，并且要拆?5.把456表示成若干個連續(xù)自然數(shù)的和。要求寫出所有的表達式(如9可6.幾個連續(xù)自然數(shù)相加。和能等于2000嗎?如果能，有幾種不同的答案?7.把70分拆成11個不同自然數(shù)的和，這樣的分拆方式一共有多少種?將量出1到13厘米的所有整厘米的長度。問：至少要刻幾條線?要刻在哪些位置練習4答案因為相鄰2數(shù)的差都是5,所以這7個數(shù)是15,20.25,30,35,40。45。故第1個數(shù)是15,第6個數(shù)是40.2.15組。由于1+2+3+4+…+14+15=120,所以將135人分成每組人數(shù)不等的15個組如，分別是2.3.4.5.6.…,14,15,16人。解：要使乘積盡可能大，把19分成的幾個自然數(shù)中，3要盡量多且不能有1,所以應把19分成5個3及1個4的和。最大乘積為3×4=972。4.有999種方法，分成999+1000時積最大。5.提示：456有三個大于1的奇約數(shù)3,19,57。利用例12的方法可得：對于3,有k=3,a=151;對19,有k=19,a=15;對于57,有k=16,a=21。所以提示：與例12類似。2000=2?×53,有三個大于1的奇約數(shù)5,25,125。對于5,有k=5,a=398;對于25,有k=25,a=68;對于125,有k=32,a=47。所7.5種。解：1+2+3+…+11=66,現(xiàn)在要將4分配到適當?shù)募訑?shù)上，使其和等于70,先將4分別加在后4個加數(shù)上，得到4種分拆方法：再將4拆成1+3,把1和3放在適當?shù)奈恢蒙希瑑H有1種新方法：再將4拆成1+1+2或1+1+1+1+1或2+2,分別加在不同的位置上，都得不8.至少要刻4條線，例如刻在1,4,5.11厘米處，便可一次量出1到13厘米的所有整厘米的長度。這是因為由1,4,5,11,13這5個數(shù)以及它們之間任意2個的差能夠得到1到13這13個整數(shù)，見下列各式：下面我們來證明，只有3個刻度是不夠的。如果只刻了3條線，刻在a厘米、b厘米、c厘米處(0<a<b<c<13),小),只有至多6個不同的數(shù)：13-a,13-b,13-c,c-a,c-b.b-a,再加上a,b.c.13這4個數(shù)，至多有10個不同的數(shù)，不可能得到1到13這13個不同的整順便說明一下，刻法不是唯一的。例如我們也可以刻在1厘米、2厘米、6厘米、10厘米這4個位置上。第2講與年號有關的競賽題例1將19到80的兩位數(shù)順次排成數(shù)A=19202122…7980。問：這個數(shù)A能否被1980整除?解：由于1980=99×20,因此要考察A能否被1980整除，只需要考察A能否被99和20整除就行了。能被20整除是顯然的。因為99除100的任何次方所得的余數(shù)都是1,所以A=19×100?1+20×100+…+79×100+80454582例3在3×3的九宮格中，填上9個不同的自然數(shù)，使得每行三數(shù)相乘，每2000.2001這6個數(shù)中的哪些值。解：所填的9個數(shù)應為P的9個不同約數(shù).又P不能填入九宮格內(nèi)，故P的顯然P不能取1996。1997,1999和2001。當P=1998和2000時.有下圖的填法(填法不唯一),故P可取1998和2000。23961(1)長、寬、高均大于1;(3)在保證(1)(2)的前提下，使箱子的表面積最小。解：由于1999是質(zhì)數(shù)且2000=2?×53.故空隙最小的箱子的體積應是2000。所以表面積最小的箱子的長、寬、高應為10,10,20。即①②n12-3-456a11221312315112471121-321-22151-231760-(20+15)+(5+4+3)-1=36(個)。是1,故D=6,Q=9。只能是(0,8),(8,6),例10有一個小于2000的四位數(shù)，它恰好含有14個因數(shù)，其中有一個質(zhì)因因為21=8192>2000,所以這個四位數(shù)的例11在20世紀的最后10年中，恰有一年年號的不同約數(shù)的個數(shù)比1990解：用T(A)表示A的不同約數(shù)個數(shù)。1995=3×5×7×9,T(1995)=(1的長度的一半為半徑作兩個圓。對余下的999個點中的任一點P,因為不同的的點，它們與A的中點也互不相同，所以在⊙A(含圓周)中至少有999練習57.自1986開始寫下一串數(shù)字：1986475282796.已知x1,x2,…。x200,是1,2,…。2000的一個排列，求(x12.4種。若a=2,則b=8,此時N=2889,N-1=2888是8的倍數(shù)，與(2)矛盾。若a=1,則b=0或9,此時N=1089或1989。當N=1089時，N是27的倍第3講圖形與面積變形);4.把圖形進行割補(叫做割補法)。另外，先將三角形△ABC的面積2等分(如右上圖).即取BC的中點D,連接AD,解法1:把六邊形分成6塊：,所!,所!,因,。,例5在四邊形ABCD中(見左下圖),線解：延長AB,DC相交于F(在Rt△AEF中，∠AFE=45°,所以∠FAE=90°~45°=45°,從而EF=AE=12(cm)。例6正六邊形ABCDEF的面積是6cm,M,N,P(2)中心角為n°的弧的長度=n×πx(半徑)÷180,即(為什么?)①②③+54.AP=2PF,CQ=2BQ,求陰影四圖1與圖2所示那樣，劃分為4個小長方形。在圖1中小長方形面積的比是A:B=1:2,B:C=1:2。而在圖2中相應的比例是A':B'=1:3,比為1:3。求大長方形的面積。8.用面積為1.2.3.4的4張長方形紙片拼成如右圖所示的練習6答案：方形ABCD面積的2.5倍。從而ABCD的面積是50÷2.5=20(cm)。::::.方形的邊長分別是(22+2)÷2=12(ca第4講立體圖形象因此所求的表面積為90+30=120(cmz).想一想，當挖去的小正方體的棱長是2cm時，表面積是多少?請同學們把556789解：根據(jù)長方體的長、寬和高分別為21cm,15cm和12cm的條件，可知第另一部分的底面形狀如圖3.高是3cm。這樣，第三次切下盡可能大的體。現(xiàn)將它分為4部分，然后將這4部分重新組拼，體的寬是8cm,重組成圖2的形狀；圖2的高是8cm,也應增加4cm。為此可按圖2中的虛圖3就是所組成的棱長為12cm的正方圖(1):圖(2):圖(3):圖(4):=157+125.6+160=432.6有12個正方形和8個三角形，共20個面。因此，多面體的頂點總數(shù)為9×2=18(個)。兩條實線表示一條棱，所以多面體的總棱數(shù)為19+34÷2=36(條)。綜上所述，多面體的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)之和為20+18+36=74。解：1=1.2=8,3=27,4=64,5=125,6=216。因為92>49,所以不可能切出棱長為5cm的正方體。從上面和下面看到的形狀面積都為9cm3,共18cm;從兩個側面看到的形狀面積都為7cm2,共1一共有18+16+12+2=46(cm)。練習7的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是1:2。姓無蓋紙盒(如右圖),正好將紙板用完。在，6.請你在下面圖(2)中畫出3種和圖(1)不一樣的設計圖，使它們折起來后都成為下圖所示的長方形盒子(直線段與各棱交于棱的中點)。7.在桌面(168750-60×60×24)÷(60×60-15×1511個。22122111111111122115.1:2.正方形和3y個長方形紙板。根據(jù)題意，得2(x+2y)=4x+3y,7.至少要6塊正方體木塊(左下圖).至多需要20塊正方體木塊(右下111128.(1)26張；(2)39張。解：(1)1個面的6種.2個面(即1個棱)的12種，3個面的8種，共：6+12+8=26(張)。(2)因為26張照片上紙條數(shù)各不相同，所以紙條數(shù)至少也得有：1+2+3+…+26=351(張)。拍攝時出現(xiàn)1次。在2個面拍攝時出現(xiàn)4次，在3個面拍攝時出現(xiàn)4次，共被計數(shù)9次。所以實際紙條數(shù)至少為：351÷9=39(張)。第5講列方程解應用題六位數(shù)的3倍等于abcda。 解：設通訊員從末尾趕到排頭用了x秒，答：隊伍長為600米。后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎車人用26秒，這多少?解得x=14。所以火車的車身長為：(14-1)×22=286(米)。答：這列火車的車身總長為286米。例4如圖.沿著邊長為90米的正方形。按逆時針方向。甲從A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)。每分鐘走72米。當乙得解得x=1.5(時),即每人步行90分，乘車25分。三批人5時同時出發(fā)，(千米),這時客車返回與第二批人步行共同行(千米),需客車已用25×2+20×2=90(分),還有115-90=25(分),正好可把第三批人按例8整片牧場上的草長得一樣密，一樣地快。已知70頭牛在24天里把草吃完，而30頭牛就得60天。如果要在96天內(nèi)把牧場的草吃完。那么有多少頭牛?量多少?若這三個量用參數(shù)a.b,c表示，再設所求牛的頭數(shù)為x,則可列出三為c.x頭牛在96天內(nèi)能把牧場上的草吃完，則有③-②,得⑤⑤將④代入⑤,得解得x=20,答：有20頭牛。時每小時行駛20千米，下坡時每小時行駛35千米。車從甲地開往乙地需9時，①+②,得化簡后得7x-41—3y·.42+8x+9y=77+70-10x+84令u=42+8x+9y,則形).練習8答案1.24秒。2.44秒。4.8人。x(1+0.01P)=0.92x[1+0.01(P+10)].共需65+3=68(分)。所以n=3。第6講應用問題選講際問題。即：X76y1256X820例1農(nóng)民叔叔阿根想用20塊長2米、寬1.2米的金屬網(wǎng)建一個靠墻的長方但只能賣出500個。當這種商品每個漲價1元時，其銷售量就減少10個。為了解：設每個商品售價為(50+x)元，則銷量為(500-10X)個?？偣部梢垣@=10×(10+X)×(50-X)(元)。因(10+x)+(50-x)=60為一定值，故當10+X=50-X即X=20時，它們此時，每個的銷售價為50+20=70(元)。例3若一個長方體的表面積為54厘米2,為了使長方體的體積最大。長方2(xy+yz+zx)=54,xy+yz因為2x+(12-x)+(12-x)=24X96y12346950解：設長方體的長、寬、高分別為xcm,ycm,zcm,則有xyz=長度的和為4(x+y+z),故當x=y=z=6時，所用鐵絲最短。xy=432.我們知道6y×8X=48×432為一定值，故當6y=8X時，S最小。此時有每次的包車費均為40元。若要使每個同學游8次，每人最少交多少錢?Xy=48×8=384(人次),總用費為(240x+40y)元。240×8+40×48=3840(元),平均每人最少交3840÷48=80(元)。例9某公司在A,B兩地分別庫存有某機器16臺和12臺，乙兩家客戶的所在地。其中甲方15臺，乙方13臺。已知從A地運一臺到甲方的運費為500元，到乙方的運費為400元，從B地運一臺到甲方的運費為300S=500x+400(16-x)+300(15-x)顯然.x要滿足不等式3≤x≤15,于是當x=3時，總運價最省，為400×3+9100=10300(元)。調(diào)運方案為：由A地運往甲方3臺，A地運往乙方13臺，B地運往甲方12例10某校決定出版“作文集”,費用是30冊以內(nèi)為80元，超過30冊的每解：顯然印刷的冊數(shù)應該大于30。設印刷了(30+x)冊，于是總用費為例11現(xiàn)有三種合金：第一種含銅60%,含錳40%;第二種含錳10%,含鎳90%;第三種含銅20%,含錳50%,含鎳30%?，F(xiàn)各取適當數(shù)量的這三種合金，組成一塊含鎳45%的新合金，重量為1千克。(2)求新合金中含錳的重量的范圍。解：設第一種合金用量為x千克.第二種合金用量為y千克.第三種合金用=0.5.(2)由①②可得z=1.5-3y,x=2y-0.5。故新合金中含錳的重量為=40%(2y-0.5)+10%y+50%(1.0.4克.例12某商店需要制作如下圖所示的工字形架100個，每個由三根長為2.3為6.3米。問：至少要買回多少根原材料，才能滿足要求(不計損耗)?①②③④⑤⑥⑦22111.7米31211.3米43210根、29根、1根，可得2.3米、1.7米、1.3米的材料各100根，共用原材料42+14+29+1=86(根)。練習91%,那么銷售量將提高0.5%,又知道這批西服是每件80元成本購進的。問：5.A城有化肥200噸。B城有化肥300噸?，F(xiàn)要將化肥運往C.D兩村。的整數(shù)。他們又參加了第5次測驗，這樣5次的平均分數(shù)都提高到了90分，求第5次測驗二人的得分(滿分為100分)。7.某機械廠要把一批長7300毫米的鋼筋截成長290毫米、210毫米和1507300毫米的鋼筋多少根?8.下表所示為X.Y.Z三種食品原料的維生素含量(單位：單位XYZ成本(元千克)654位的維生素A及48000單位的維生素B0如果所用的食物中x,Y,Z的重量依解：設定價為每件(100-x)元，則銷售量為1000(1+0.5%x)件。利潤為時每件定價為100-9=91(元)。解：窗戶的框架長為3a+2b.而ab=4是一個定值。從而3a×2b=6ab=24也因為xyxxy×x=(xiy)=64000:為一定值，故當xy=xy=x即xC村(220-x)噸，運往D村(80+x)噸，總運費y元，則y=20x+25(200-x)+15(220-x)又易知O≤x≤200,故當x=0時，運費最省，為10060元。C村220噸，運往D村80噸。解：設某一學生前4次的平均分為x分，第5次的得分為y分，則其5次總于是y=450-4x。顯然90<y≤100,故90<450-4x≤100.解得87.5≤x<90。于是兩個學生前4次的平均分分別為88分和89分。第5次得分分別為450-4×88=98(分)和450-4×89=94(分)。得的鋼筋有z根，則長為290,210,150毫米各有100根，即于是x=40,y=30,z=20。一共至少用去長為7300毫米的鋼筋90根。由③得4x+y+2z≥240。⑤第7講抽屜原理把5個蘋果放到4個抽屜中，必然有一個抽屜中至少有2個蘋果，這是抽屜例1從1.2.3,…,100這100個數(shù)中任意挑出51個數(shù)來，證明在這51(1)有2個數(shù)互質(zhì)；(2)有2個數(shù)的差為50;(3)有8個數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1。證明：(1)將100個數(shù)分成50組：在選出的51個數(shù)中，必有2個數(shù)屬于同一組。這一組中的2個數(shù)是兩個相(2)將100個數(shù)分成50組：在選出的51個數(shù)中，必有2個數(shù)屬于同一組，這一組的2個數(shù)的差為50。(3)將100個數(shù)分成5組(一個數(shù)可以在不同的組內(nèi)):第一組：2的倍數(shù)，即{2.4,…,100};第二組：3的倍數(shù)，即{3.6.…,99};第三組：5的倍數(shù)，即{5,10.…,100};第四組：7的倍數(shù)，即{7,14,…,98};第五組：1和大于7的質(zhì)數(shù)即{1,11,13,…,97}。第五組中有22個數(shù)，故選出的51個數(shù)至少有29個數(shù)在第例2求證：可以找到一個各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。由于余數(shù)只能取0.1,2,…,499這499由于余數(shù)只能取0.1,2,…,499這499出現(xiàn)8次。將這8次局面看做蘋果，再需構造出少于8個抽屜。對的情況只出現(xiàn)在以后的7次轉動中，將7次轉動看做7個抽屜，8次相同數(shù)字的重最在指定的20克到20.1克之間?，F(xiàn)在需要重量相差不超過0.005克的兩只第1組：從20.000克到20.005克；第2組：從20.005克到20.010克；第20組：從20.095克到20.100克。這樣，只要有21個盤子，就一定可以從中找到兩個盤子屬于同一組。這2例6在圓周上放著100個籌碼，其中有41個紅的和59個藍的。那么總可解：依順時針方向將籌碼依次編上號碼：1,2,…,100。然后依照以下規(guī)律將100個籌碼分為20組：將41個紅籌碼看做蘋果。放入以上20個抽屜中，因為41=2×20+1.所以至少有一個抽屜中有2+1=3(個)蘋果，也就是說必有一組5個籌碼中有3個紅有19個籌碼，那么3個紅色籌碼中必有2個相鄰(這將在下一個內(nèi)容第二抽屜原理中說明),即有2個紅色籌碼之間有19個籌碼。例7在例6中留有一個疑問，現(xiàn)改述如下：在圓周上放有5個籌碼，其中有3個是同色的，那么這3個同色的籌碼必有2個相鄰。如右圖，將同色的3個籌碼A,B.C置于圓周上，看是否能用另外2個籌抽屜，將其余2個籌碼看做蘋果，將2個蘋果放入3個抽屜中，則必有1個抽屜中沒有蘋果，即有2個同色籌碼之間沒有其它籌碼，那么這2個例8甲、乙二人為一個正方形的12條棱涂紅和綠2種顏色。首先，甲任選的6條棱都涂上紅色。問：甲是否一定能將某一面的4條棱全部涂上紅色?無論甲第一次將哪3條棱涂紅.由抽屜原理知四組中必有一組的3條棱全未涂紅，而乙只要將這組中的3條棱涂綠，甲就無法將某一面的4條棱全部涂紅我們知道n個數(shù)ai,a.….an的和與n的商是ai,a2,…,an這n個數(shù)的例9圓周上有2000個點，在其上任意地標上0,1,2,…,1999(每一點ai+az+…+a20o=0+1+2+…+1999=1999000.(ai+az+a?)+(az+a?+a?)+…+(a199g+a1999+azoo)+(a19房是涂上同一顏色的，不妨設其為藍色，且在第1至4列。(1)這4格中，至少有2格被涂上藍色，那么這2個涂上藍色的小方格和(2)這4格中，至多有1格被涂上藍色，那么,至少有3格被涂上黃色。不妨設這3個小方格就在第二行的前面3格。定有7人對第一題的答案只有兩種。對于這7人關于第二題應用第二抽屜原理知.其中必可選出5人。他們關于第二題的答案只有兩種可能。對于這5人關于能。最后，對于這4人關于第四題應用第二抽不相同的.這不符合題目的要求?？梢?。所求的最多人數(shù)不超過9人。另一方面.若9個人的答案如下表所示，則每3人都至少有一個問題的答案題123678914beec2bebc4be3beebbe44beeb所以.所求的最多人數(shù)為9人。練習121.六(1)班有49名學生。數(shù)學王老師了解到在期中考試中該班英文成績除問王老師說得對嗎?為什么?2.現(xiàn)有64只乒乓球，18個乒乓球盒，每個盒子里最多可以放6只乒乓球，150厘米。問：在至少多少個初二學生中一定能有4個人身高相同?4.從1.2.…,100這100個數(shù)中任意選出51個數(shù)，證明在這51個數(shù)中，(1)有兩個數(shù)的和為101;(3)有一個數(shù)或若干個數(shù)的和是51的倍數(shù)。(1)若僅含一個白格的列只有3列，則在其余的4列中每列都恰有兩個白(2)只有一個白格的列只有3列。內(nèi)，這些工人中只有5名到場。為了保證生產(chǎn)，要對這8名工人進行培訓，每人工人上班而流水線總能工作?8.有9名數(shù)學家，每人至多能講3種語言，每3人中至少有2人能通話。求證：在這9名中至少有3名用同一種語言通話。練習13答案：1.對。解：因為49-3=3×(100-86+1)+1,即46=3×15+1,也就是說，把從100分至86分的15個分數(shù)當做抽屜，49-3=46(人)的成績當做物體，根據(jù)第二抽屜原理，至少有4人的分數(shù)在同一抽屜中，即成績相同。2.4個。解：18個乒乓球盒，每個盒子里至多可以放6只乒乓球。為使相同乒乓球個數(shù)的盒子盡可能少，可以這樣放：先把盒子分成6份，每(只),分別在每一份的3個盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3個盒子中放了1只乒乓球。3個盒中放了2只乒乓球……3個盒子中放了6只乒乓球。這樣，18個盒子中共放了乒乓球(1+2+3+4+5+6)×3=63(只)。把以上6種不同的放法當做抽屜，這樣剩下64-63=1(只)乒乓球不管放入哪一個抽屜里的任何一個盒子里(除已放滿6只乒乓球的抽屜外),都將使該盒子中的乒乓球數(shù)增加1只，這時與比該抽屜每盒乒乓數(shù)多1的抽屜中的3個盒子里的乒乓球數(shù)相等。例如剩下的1只乒乓球放進原來有2只乒乓球的一個盒子里，該盒乒乓球就成了3只，再加上原來裝有3只乒乓球的3個盒子，這樣就有4個盒子里裝有3個乒乓球。所以至少有4個乒乓球盒里的乒乓球數(shù)目相同。3.34個。160-150+1=11(個)。根據(jù)抽屜原理，要保證有4個人身高相同，至少要有初二學生3×11+1=34(個)。4.證：(1)將100個數(shù)分成50組：在選出的51個數(shù)中，必有兩數(shù)屬于同一組。這一組的兩數(shù)之和為101。(2)將100個數(shù)分成10組：(49,98},(其余數(shù))。其中第10組中有41個數(shù)。在選出的51個數(shù)中，第10組的41個數(shù)全部選(3)將選出的51個數(shù)排成一列：ai,a2,a3.…,asi?？紤]下面的51個和：若這51個和中有一個是51的倍數(shù)，則結論顯然成立；若這51個和中沒有一個是51的倍數(shù)，則將它們除以51,余數(shù)只能是1.2,…,50中的一個，故必5.證：(1)在其余4列中如有一列含有3個白格，則剩下的5個白格要放入3列中，將3列表格看做3個抽屜，5個白格看做5個蘋果，根據(jù)第二抽屜原理.5(=2×3-1)個蘋果放入3個抽屜，則必有1個抽屜至多只有(2-1)個蘋果，即必有1列只含1個白格，也就是說除了原來3列只含一個白格外還有1列含1個白格，這與題設只有1個白格的列只有3列矛盾。所以不會有1列有3個白格，當然也不能再有1列只有1個白格。推知其余4列每列恰好有2個白格。(2)假設只含1個白格的列有2列，那么剩下的9個白格要放入5列中，而9=2×5-1,由第二抽屜原理知，必有1列至多只有2-1=1(個)白格，與假設只有2列每列只1個白格矛盾。所以只有1個白格的列至少有3列。第8講染色和賦值例1用15個“T”字形紙片和1個“田”字形紙片(如下圖所示),能否覆蓋一解：如下圖，將8×8的棋盤染成黑白相間的形狀。如果15個“T*字形紙片數(shù)都應該是32個，但是每個“T”字形紙片只能覆蓋1個或3個白格，而1和3都例2如左下圖.把正方體分割成27個相等的小正方體，在中心的那個小正走27步，應該經(jīng)過14個白色的小正方體、13個黑色的小正方體。因此在27步例38×8的國際象棋棋盤能不能被剪成7個2×2的正方形和9個4×1的長解：如下圖，對8×8的棋盤染色，則每一個4×1的長方形能蓋住2白2黑小方格，每一個2×2的正方形能蓋住1白3黑或3白1黑小方格。推知7個正法是不存在的。1111111111111111111111A111111111111111111111例5圖1是由數(shù)字0,1交替構成的，圖2是由圖1中任選田，田三種形式組成的圖形，并在每個小方格全部加1或減1.如此反復多次形成的。問：圖2中的A格上的數(shù)字是多少?10101000101010110101000101010110101010010101011010101001010101體。這216個小正方體，可以組成27個棱長為2的正方體。我們將這些棱長為2的正方體按黑白相間涂上顏色(如下圖)。的必須各占據(jù)4個。現(xiàn)在白色的小正方體共有8×13=104(個),再配上104個考慮由A點引出的五條線段AB,AC,AD.AE,AF,時間內(nèi)到達B村?圖中的數(shù)字表示走這一段路程需要的時間(單位：分)。由此不難看出，按圖中的粗黑線走就能在最短時間(60分鐘)內(nèi)從A村走證明：賦予黑點以整數(shù)值1,白點以整數(shù)值2.點Ai以整數(shù)整數(shù)值a+a+I,則兩端同色的線段具有的整數(shù)值為2或4。兩端異(ai+az)+(az+a?)+(a?+a?)+設具有整數(shù)值2.3。4的線段的條數(shù)依次為1.m.n,則每個英文字母變成它的下一個字母(即A變成B.B變成C……Z變成A)。問：能否經(jīng)過若干次操作，使表1變?yōu)楸??如果能，請寫出變化過程，如果不能，1,B用2……Z用26代替)。這樣表1和表2就分別變成了表3和表4。1表4沒有改變。因為表3中16個數(shù)字的和為213.表4中16個數(shù)字的和為174,它們的奇偶性不同，所以表3不能變成表4,即表1不能變成表2。例12如圖(1)～(6)所示的六種圖形拼成右下圖，如果圖(1)必須放在解：把右上圖黑、白相間染色(見上圖)。其中有11個白格和10個黑格，當圖形拼成后，圖形(2)(4)(5)(6)一定是黑、白各2格，而圖形(3)必須有3格是同一種顏色，另一種顏色1格。因為前四種2×4=8(格),而黑格總共只有10格，所以圖形(3)只能是3白1黑。由此知道圖(1)一定在中間一列的黑格，而上面的黑格不可能，所以圖(1)在中間一12727因為圖(3)是3白1黑，所以為使角上不空出一格，它只能放在(1.3,4.5)或(7,12,13。17)或(11,15,16,21)這三個位置上。若放在(1,3,4.5)位置上，則圖(6)只能放在(7.12,13.18)或(15,16,19,20)或(2.7。8.13)這三個位置，但是前兩個位置是明顯不行的。否則角上會空出一格。若放在(2.7,8。13)上，則圖(2)只能放在(12.17,18,19)位置上，此時不能同時放下圖(4)和圖(5)。若把圖(3)放在(7,12,13,17)位置上，則方格1這一格只能由圖(2)或圖(6)來占據(jù)。如果圖(2)放在(1,2,3.4),那么圖(6)無論放在何處都要出現(xiàn)孤立空格；如果把圖(6)放在(1,4,5,10),那么2,3這兩格放因此，圖形(3)只能放在(11,15,16,21)。其余圖的拼法如右上圖。練習113.能否用下圖中各種形狀的紙片(不能剪開)拼成一個邊長為99的正方形(圖中每個小方格的邊長為1)?請說明理由。8.從10個英文字母A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z AAABA,AAABB,…,ZZZZY,Z練習11答案：只能跳到白點.下一步再從白點跳到黑點。因此.從原始位置起相繼經(jīng)過：白、解：用白、黑相間的方法對方格進行染色(如圖)。若滿足題設要求的走法每一種紙片中，兩種顏色的方格數(shù)相差數(shù)為0或3,如果它們能拼成一個大正方形，那么其中兩種顏色之差必為3的倍數(shù)。矛盾!解：如圖。給8×8的方格棋盤涂上4種不同的顏色(用數(shù)字1.2,3,4表示)。顯然標有1.2.3.4的小方格各有16個。每個1×4的長方形恰好蓋住標有1.2,3.4的小方格各一個，但一個2×2的正方形只能蓋住有三種數(shù)字的方12341234234123413412341241234123123412342341234134123412412341236.證：將紅點賦值為0,藍點賦值為1。再將小方格四頂點上的數(shù)的和稱為計算所有m個小方格之值的和時，除A,B,C.D只計算一次外，其余各點都被計算了兩次或四次。因為A,B,C,D四個點上的7.奇數(shù)。解：先對所有的小三角形的邊賦值：邊的兩端點同色，該線段賦值為0.邊的兩端點不同色，該線段賦值為1。(1)三個頂點都不同色的三角形，賦值和為3;(2)三個頂點中恰有兩個頂點同色的三角形，賦值和為2;(3)三個頂點同色的三角形，賦值和為0。設所有三角形的邊賦值總和為s.又設(1)(2)(3)三類小三角形的個數(shù)分別為a,b.c,于是有注意到在所有三角形的邊賦值總和中，除了AB,BC,CA和3,從而s是一個奇數(shù)，由(*)式知a是一個奇數(shù)，即三個頂點顏色都不同的解：將A.B,C,D,E,F,G,X,Y.Z分別賦值為0,1.2.3,4,5,CYZGB=28961,XEFDA=745在28961與74530之間共有74530-28961-1=45568(個)數(shù)，詞表中第45568第9講計數(shù)的方法與原理解：設四個學生分別是A.B.C.D,先考慮A拿B做的賀年片b的情況(如下表),一共有3種方法。ABCDbadCbadabdaC一共有3+3+3=9(種)不同的方法。9+9+90+90+900+900=1998(個)。(2)邊長為10:9+1=8+2=7+3=6+4,可得1種選法；(3)邊長為9:9=8+1=7+2=6+3=5+4,可得5種選法；(4)邊長為8:8=7+1=6+2=5+3,可得1種選法；(5)邊長為7:7=6+1=5+2=4+3,可得1種選法；1+1+5+1+1=9(種)。當恰取7條線段組成正方形時，正方形的3條邊各用2條線相接，另一條邊只用一條線段；當恰用8條線段時，只能每邊各用2條線段相接(容易看出，其他情況不可能發(fā)生)。因為1+2+…+9=45,45不能被4整除，所以用9條線段，邊長不可能為1.2.3,4.5,6。有了以上分析就容易計數(shù)了。(1)取出7條線段，有以下7種：(這個式子有5種);(2)取出8條線段，有以下2種：2+9=3+8=4+7=5+6.綜上所述。不同的取法共有7+2=9(種)。例5一臺晚會上有6個演唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目。求：(1)當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)目的順序?(2)當要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，一例7在8×8的方格棋盤中.取出一個由3個小方格組成的“L”形(如圖1).從圖2可以看出，棋盤內(nèi)的每一個點對應著4個不同的取法(“L”形的“角”例8數(shù)3可以用4種方法表示為1個或幾個正整數(shù)的和，如3,1+2,2+1,1+1+1。問：1999表示為1個或幾個正整數(shù)的和的方法有多少種?100-10=90(人)。既會騎自行車又會游泳的有(65+73)-95整除的自然數(shù)有100-74=26(個),占這100個自然數(shù)的26%。練習101.一只青蛙在A,B,C三點之間跳動，若青蛙從A點跳起，跳4次仍回4.從19,20,21,…,97,98,99這81個數(shù)中，選取兩個不同的數(shù)，使5.平面上有7個不在同一直線上的點，以這7個點作為頂點做三角形，使A開始的每個路口，都有一半人向北走，另一半人向東走7.在1001,1002,…,2000這1000個自然數(shù)中，可以找到多少對相鄰的8.有10個箱子，編號為1.2.…。10,各配一把鑰匙，10把各不相同，每個箱子放進一把鑰匙鎖好，先撬開1.2號箱子，取出鑰匙去開別的箱子，如練習10答案84×2=168(個)三角形至多有1個公共頂點，從而任意2個三角形沒有公共邊，故至多=2×9!=725760.初中數(shù)學奧數(shù)競賽幾何專題講義一、基本定理