2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)匯文中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析_第1頁(yè)
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2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)匯文中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A.1個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.7個(gè)2.函數(shù)的圖像大致為().A. B.C. D.3.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},則=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}4.已知我市某居民小區(qū)戶(hù)主人數(shù)和戶(hù)主對(duì)戶(hù)型結(jié)構(gòu)的滿(mǎn)意率分別如圖和如圖所示,為了解該小區(qū)戶(hù)主對(duì)戶(hù)型結(jié)構(gòu)的滿(mǎn)意程度,用分層抽樣的方法抽取的戶(hù)主進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)分別為A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,185.若的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則二項(xiàng)式展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為()A.85 B.84 C.57 D.566.若集合,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.7.如圖,網(wǎng)格紙是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成,若粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)滿(mǎn)足:當(dāng)時(shí),,且對(duì)任意,都有,則()A.0 B.1 C.-1 D.9.某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位:小時(shí)),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根據(jù)直方圖,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是()A.56 B.60 C.140 D.12010.已知,則下列關(guān)系正確的是()A. B. C. D.11.設(shè),是空間兩條不同的直線(xiàn),,是空間兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:①若,,,則;②若,,,則;③若,,,則;④若,,,,則.其中正確的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④12.在條件下,目標(biāo)函數(shù)的最大值為40,則的最小值是()A. B. C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則展開(kāi)式的系數(shù)為_(kāi)_________.14.已知兩個(gè)單位向量滿(mǎn)足,則向量與的夾角為_(kāi)____________.15.設(shè)全集,,,則______.16.設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)移動(dòng)支付(支付寶及微信支付)已經(jīng)漸漸成為人們購(gòu)物消費(fèi)的一種支付方式,為調(diào)查市民使用移動(dòng)支付的年齡結(jié)構(gòu),隨機(jī)對(duì)100位市民做問(wèn)卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下:(1)將上列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并請(qǐng)說(shuō)明在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡是否有關(guān)?(2)在使用移動(dòng)支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查,從這10人隨機(jī)中選出3人頒發(fā)參與獎(jiǎng)勵(lì),設(shè)年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.(參考公式:(其中)18.(12分)如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,(Ⅰ)證明;AC⊥BP;(Ⅱ)求直線(xiàn)AD與平面APC所成角的正弦值.19.(12分)已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),點(diǎn)在軸上,為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿(mǎn)足,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線(xiàn)的方程;(2)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn),若,求點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離.20.(12分)已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且.(1)解關(guān)于的不等式;(2)如果對(duì),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)P是圓上的動(dòng)點(diǎn),P點(diǎn)在x軸上的射影是D,點(diǎn)M滿(mǎn)足.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程,并說(shuō)明軌跡是什么圖形;(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A,B,求以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程.22.(10分)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,公差,、、成等比數(shù)列,數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意,結(jié)合集合,求得集合,得到集合中元素的個(gè)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,集合,則,所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解,其中作出集合的運(yùn)算,得到集合,再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.2、A【解析】

本題采用排除法:由排除選項(xiàng)D;根據(jù)特殊值排除選項(xiàng)C;由,且無(wú)限接近于0時(shí),排除選項(xiàng)B;【詳解】對(duì)于選項(xiàng)D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項(xiàng)D排除;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;對(duì)于選項(xiàng)B:當(dāng),且無(wú)限接近于0時(shí),接近于,,此時(shí).故選項(xiàng)B排除;故選項(xiàng):A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號(hào)的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.3、C【解析】

根據(jù)集合的并集、補(bǔ)集的概念,可得結(jié)果.【詳解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查的是集合并集,補(bǔ)集的概念,屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】

利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量,利用條形圖能求出抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù).【詳解】樣本容量為:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)為:故選A.【點(diǎn)睛】本題考查樣本容量和抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用.5、A【解析】

先求,再確定展開(kāi)式中的有理項(xiàng),最后求系數(shù)之和.【詳解】解:的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256故,要求展開(kāi)式中的有理項(xiàng),則則二項(xiàng)式展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為:故選:A【點(diǎn)睛】考查二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)及展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)的確定,基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由題意,分析即得解【詳解】由題意,故,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了元素和集合,集合和集合之間的關(guān)系,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體,結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體,其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長(zhǎng)方體的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵,側(cè)重考查直觀(guān)想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).8、C【解析】

由題意可知,代入函數(shù)表達(dá)式即可得解.【詳解】由可知函數(shù)是周期為4的函數(shù),.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)周期的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

試題分析:由題意得,自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的頻率為,故自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的頻率為,故選C.考點(diǎn):頻率分布直方圖及其應(yīng)用.10、A【解析】

首先判斷和1的大小關(guān)系,再由換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小即可.【詳解】因?yàn)?,,,所以,綜上可得.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)線(xiàn)面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解:①:、也可能相交或異面,故①錯(cuò)②:因?yàn)?,,所以或,因?yàn)?,所以,故②?duì)③:或,故③錯(cuò)④:如圖因?yàn)?,,在?nèi)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn),則直線(xiàn),又因?yàn)?,設(shè)經(jīng)過(guò)和相交的平面與交于直線(xiàn),則又,所以因?yàn)椋?,所以,所以,故④?duì).故選:C【點(diǎn)睛】考查線(xiàn)面平行或垂直的判斷,基礎(chǔ)題.12、B【解析】

畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到最值點(diǎn),再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示,畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)圖像知:當(dāng)時(shí),有最大值為,即,故..當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù),均值不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先根據(jù)定積分求出的值,再用二項(xiàng)展開(kāi)式公式即可求解.【詳解】因?yàn)樗缘耐?xiàng)公式為當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故展開(kāi)式中的系數(shù)為故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查定積分公式,二項(xiàng)展開(kāi)式公式等知識(shí)點(diǎn),屬于簡(jiǎn)單題目.14、【解析】

由得,即得解.【詳解】由題意可知,則.解得,所以,向量與的夾角為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算和夾角的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15、【解析】

先求出集合,,然后根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】解:,或;∴;∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.16、.【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則首先可得出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】∵復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,∴,∴,故而可得,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān);(2)分布列見(jiàn)解析,期望為.【解析】

(1)根據(jù)題中所給的條件補(bǔ)全列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表求出觀(guān)測(cè)值,把觀(guān)測(cè)值同臨界值進(jìn)行比較,得到能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).(2)首先確定的取值,求出相應(yīng)的概率,可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)根據(jù)題意及列聯(lián)表可得完整的列聯(lián)表如下:35歲以下(含35歲)35歲以上合計(jì)使用移動(dòng)支付401050不使用移動(dòng)支付104050合計(jì)5050100根據(jù)公式可得,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣,可知35歲以下(含35歲)的人數(shù)為8人,35歲以上的有2人,所以獲得獎(jiǎng)勵(lì)的35歲以下(含35歲)的人數(shù)為,則的可能為1,2,3,且,,,其分布列為123.【點(diǎn)睛】獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)的值結(jié)合附表數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷,另外,離散型隨機(jī)變量的分布列,在求解的過(guò)程中,注意變量的取值以及對(duì)應(yīng)的概率要計(jì)算正確,注意離散型隨機(jī)變量的期望公式的使用,屬于中檔題目.18、(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ).【解析】

(I)取的中點(diǎn),連接,通過(guò)證明平面得出;(II)以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,求出平面的法向量,通過(guò)計(jì)算與的夾角得出與平面所成角.【詳解】(I)證明:取AC的中點(diǎn)M,連接PM,BM,∵AB=BC,PA=PC,∴AC⊥BM,AC⊥PM,又BM∩PM=M,∴AC⊥平面PBM,∵BP?平面PBM,∴AC⊥BP.(II)解:∵底面ABCD是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,∴∠ABC=120°,∵AB=BC=1,∴AC,BM,∴AC⊥CD,又AC⊥BM,∴BM∥CD.∵PA=PC,CM,∴PM,∵PB,∴cos∠BMP,∴∠PMB=120°,以M為原點(diǎn),以MB,MC的方向?yàn)閤軸,y軸的正方向,以平面ABCD在M處的垂線(xiàn)為z軸建立坐標(biāo)系M﹣xyz,如圖所示:則A(0,,0),C(0,,0),P(,0,),D(﹣1,,0),∴(﹣1,,0),(0,,0),(,,),設(shè)平面ACP的法向量為(x,y,z),則,即,令x得(,0,1),∴cos,,∴直線(xiàn)AD與平面APC所成角的正弦值為|cos,|.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)垂直的證明,考查直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理使用,難度一般.19、(1);(2).【解析】

(1)求得點(diǎn)的坐標(biāo),可得出直線(xiàn)的方程,與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立,結(jié)合求出正實(shí)數(shù)的值,進(jìn)而可得出拋物線(xiàn)的方程;(2)設(shè)點(diǎn),,設(shè)的方程為,將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,結(jié)合求得的值,可得出直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo),由此可得出點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離.【詳解】(1)易知點(diǎn),又,所以點(diǎn),則直線(xiàn)的方程為.聯(lián)立,解得或,所以.故拋物線(xiàn)的方程為;(2)設(shè)的方程為,聯(lián)立有,設(shè)點(diǎn),,則,所以.所以,解得.所以直線(xiàn)的方程為,恒過(guò)點(diǎn).又點(diǎn),故當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí),點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)方程的求解,同時(shí)也考查了拋物線(xiàn)中最值問(wèn)題的求解,涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.20、(1)(2)【解析】試題分析:(1)由函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可得的表達(dá)式,再去掉絕對(duì)值即可解不等式;(2)對(duì),不等式成立等價(jià)于,去絕對(duì)值得不等式組,即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析:(1)∵函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),∴,∴原不等式可化為,即或,解得不等式的解

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