2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)與測(cè)試第一部分專(zhuān)題五解析幾何微專(zhuān)題1直線(xiàn)與圓小題考法3直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

小題考法3直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系(1)(2023·梅州二模)若直線(xiàn)l：mx＋ny＋m＝0將圓C：(x－2)2＋y2＝4分成弧長(zhǎng)之比為2∶1的兩部分，則直線(xiàn)的斜率為()A．±eq\f(\r(5),2)B．±eq\f(2\r(5),5)C．±eq\f(\r(2),2)D．±eq\f(\r(2),4)(2)(多選題)(2023·汕頭一模)已知直線(xiàn)l1：2x－y－3＝0，l2：x－2y＋3＝0，圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若圓C與直線(xiàn)l1，l2都相切，則下列選項(xiàng)一定正確的是()A．l1與l2關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)B．若圓C的圓心在x軸上，則圓C的半徑為3或9C．圓C的圓心在直線(xiàn)x＋y－6＝0或直線(xiàn)x－y＝0上D．與兩坐標(biāo)軸都相切的圓C有且只有2個(gè)解析：(1)設(shè)直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)為A，B，由題意可得△ABC是頂角為120°的等腰三角形，則幾何關(guān)系可得圓心到直線(xiàn)的距離為eq\f(1,2)×2＝1，即：d＝eq\f(|2m＋0＋m|,\r(m2＋n2))＝1，整理可得：8m2＝n2，當(dāng)n＝0時(shí)，m＝0，方程mx＋ny＋m＝0不表示直線(xiàn)，舍去，當(dāng)n≠0時(shí)，eq\f(m,n)＝±eq\f(\r(2),4)，所以直線(xiàn)l的斜率為k＝－eq\f(m,n)＝±eq\f(\r(2),4).故選D.(2)對(duì)于A，設(shè)直線(xiàn)l1：2x－y－3＝0上任意一點(diǎn)(x0，2x0－3)關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(m，n)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2x0－3－n,x0－m)＝－1，,\f(m＋x0,2)＝\f(n＋2x0－3,2)，))解得m－2n＋3＝0，所以點(diǎn)(m，n)在直線(xiàn)l2：x－2y＋3＝0上，所以l1與l2關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閳AC的圓心在x軸上，設(shè)圓心為(a，0)，又圓C與直線(xiàn)l1，l2都相切，所以r＝eq\f(|2a－3|,\r(5))＝eq\f(|a＋3|,\r(5))，解得a＝0或a＝6，當(dāng)a＝0時(shí)，r＝eq\f(3,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)，當(dāng)a＝6時(shí)，r＝eq\f(9,\r(5))＝eq\f(9\r(5),5)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得圓心C(a，b)，半徑為r，因?yàn)閳AC與直線(xiàn)l1，l2都相切，所以r＝eq\f(|2a－b－3|,\r(5))＝eq\f(|a－2b＋3|,\r(5))，解得a＋b－6＝0或a＝b，所以圓心C(a，b)在直線(xiàn)x＋y－6＝0或直線(xiàn)x－y＝0上，故C正確；對(duì)于D，由圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得圓心C(a，b)，半徑為r，因?yàn)閳AC與兩坐標(biāo)軸都相切，得圓心到x軸的距離為|b|，到y(tǒng)軸的距離為|a|，所以r＝|a|且r＝|b|，即|a|＝|b|，解得a＝b或a＝－b，當(dāng)a＝b時(shí)，由題意可得eq\f(|2a－b－3|,\r(5))＝|a|，解得a＝b＝－eq\f(3（\r(5)＋1）,4)或a＝b＝eq\f(3（\r(5)－1）,4)，當(dāng)a＝－b時(shí)，不滿(mǎn)足，所以與兩坐標(biāo)軸都相切的圓C有且只有2個(gè)，故D正確．故選ACD.答案：(1)D(2)ACD解決直線(xiàn)與圓、圓與圓位置關(guān)系問(wèn)題的方法(1)討論直線(xiàn)與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量．(2)圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問(wèn)題；圓上的點(diǎn)與直線(xiàn)上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線(xiàn)的距離問(wèn)題；圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問(wèn)題．1．(多選題)(2023·茂名模擬)已知A，B為圓O：x2＋y2＝1上的兩點(diǎn)，P為直線(xiàn)l：x＋y－2＝0上一動(dòng)點(diǎn)，則()A．直線(xiàn)l與圓O相離B．當(dāng)A，B為兩定點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足∠APB＝eq\f(π,2)的點(diǎn)P有2個(gè)C．當(dāng)|AB|＝eq\r(3)，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值是2eq\r(2)＋1D．當(dāng)PA，PB為圓O的兩條切線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))解析：對(duì)于A，圓的圓心到直線(xiàn)的距離為：eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)>1，所以直線(xiàn)l與圓O相離，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)A，B為兩定點(diǎn)時(shí)，如果兩個(gè)定點(diǎn)是圓的直徑上的兩點(diǎn)，AB與直線(xiàn)垂直時(shí)，不可能有滿(mǎn)足∠APB＝eq\f(π,2)的點(diǎn)P，所以B不正確；對(duì)于C，當(dāng)|AB|＝eq\r(3)時(shí)，此時(shí)圓的圓心到直線(xiàn)的距離為eq\f(1,2)，只要AB與直線(xiàn)x＋y－2＝0不平行，過(guò)AB的直線(xiàn)與直線(xiàn)x＋y－2＝0相交，此時(shí)|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的值沒(méi)有最大值，所以C不正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)P為直線(xiàn)x＋y－2＝0上，所以設(shè)P(t，2－t)，圓O：x2＋y2＝1的圓心為C(0，0)，所以PO中點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(t,2)，eq\f(2－t,2))，且|PO|＝eq\r(t2＋（2－t）2)，所以以PO為直徑的圓Q方程為(x－eq\f(t,2))2＋(y－eq\f(2－t,2))2＝eq\f(t2＋（2－t）2,4)，即x2＋y2－tx－(2－t)y＝0，圓Q與圓O的公共弦直線(xiàn)方程為tx＋(2－t)y－1＝0，即t(x－y)＋2y－1＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,2y－1＝0，))解得x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)，即直線(xiàn)tx＋(2－t)y－1＝0過(guò)定點(diǎn)(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，D正確．故選AD.答案：AD2．(多選題)(2023·東莞市模擬)已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M(1，2)且與圓C：(x－2)2＋y2＝5相切，直線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有()A．點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－3，0)B．△MNP面積的最大值為10C．當(dāng)直線(xiàn)l與直線(xiàn)ax－y＋1＝0垂直時(shí)，a＝2D．tan∠MNP的最大值為eq\f(4,3)解析：由題可得點(diǎn)M(1，2)在圓C上，因?yàn)閗MC＝eq\f(2－0,1－2)＝－2，所以直線(xiàn)l的斜率k＝eq\f(1,2)，因此直線(xiàn)l的方程為x－2y＋3＝0，令y＝0，解得x＝－3，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－3，0)，故A正確；因?yàn)辄c(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)l的最大距離d＝2r＝2eq\r(5)，又因?yàn)閨MN|＝eq\r(（1＋3）2＋（2－0）2)＝2eq\r(5)，所以△MNP的面積最大值為eq\f(|MN|·d,2)＝10，故B正確；因?yàn)橹本€(xiàn)l：x－2y＋3＝0與直線(xiàn)ax－y＋1＝0垂直，所以eq\f(1,2)a＝－1，解得a＝－2，故C錯(cuò)誤；當(dāng)直線(xiàn)lNP與圓C相切時(shí)，銳角∠MNP最大，即tan∠MNP最大，此時(shí)∠MNP＝2∠MNC，因?yàn)閠