2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試第一部分專題六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)微專題3導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用小題考法3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

小題考法3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(1)(2023·深圳龍崗區(qū)校級一模)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝1處取得極大值4，則a－b＝()A．8B．－8C．2D．－2(2)(2023·惠州模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x2－ax＋a)ex－x2，a∈R，若函數(shù)f(x)在x＝0處取得極小值，則a的取值范圍為________．解析：(1)因為f(x)＝ax3＋bx，所以f′(x)＝3ax2＋b，所以f′(1)＝3a＋b＝0，f(1)＝a＋b＝4，解得a＝－2，b＝6，經(jīng)檢驗，符合題意，所以a－b＝－8.故選B.(2)f′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax＋a)ex－2x＝x[(x＋2－a)ex－2]，考查f(x)的單調(diào)性，令f′(x)>0，即x[(x＋2－a)ex－2]>0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,（x＋2－a）ex－2>0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,（x＋2－a）ex－2<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,x＋2－\f(2,ex)>a，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,x＋2－\f(2,ex)<a（*），))因為g(x)＝x＋2－eq\f(2,ex)單調(diào)遞增，設(shè)方程g(x)＝x＋2－eq\f(2,ex)＝a的根為x0①若x0>0，則不等式組(*)的解集為(－∞，0)和(x0，＋∞)，此時f(x)在(－∞，0)和(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，x0)上單調(diào)遞減，與f(x)在x＝0處取極小值矛盾；②若x0＝0，則不等式組(*)的解集為(－∞，0)和(0，＋∞)，此時f(x)在R上單調(diào)遞增，與f(x)在x＝0處取極小值矛盾；③若x0<0，則不等式組(*)的解集為(－∞，x0)和(0，＋∞)，此時f(x)在(－∞，x0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(x0，0)上單調(diào)遞減，滿足f(x)在x＝0處取極小值，由g(x)單調(diào)性，a＝x0＋2－eq\f(2,ex0)<g(0)＝0.綜上所述：a<0.則a的取值范圍為(－∞，0)．答案：(1)B(2)(－∞，0)特別注意函數(shù)在x＝a處取得極值是f′(a)＝0的充分不必要條件．1．(2023·廣東模擬)在等比數(shù)列{an}中，a3，a7是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x2＋4x－1的極值點，則a5＝()A．－2或2B．－2C．2D．2eq\r(2)解析：由f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x2＋4x－1，f′(x)＝eq\f(1,3)×3x2－4×2x＋4＝x2－8x＋4，因為a3，a7是f(x)的極值點，所以f′(x)＝0的兩個根為a3，a7，所以a3＋a7＝8，a3·a7＝4，所以a3，a7為正，又因為{an}為等比數(shù)列，所以aeq\o\al(2,5)＝a3·a7＝4，又a5＝a3q2，a3，a5同號，所以a5＝2，故選C.答案：C2．(2023·湛江一模)若函數(shù)f(x)＝ex－ax2－a存在兩個極值點x1，x2，且x2＝2x1，則a＝________．解析：f(x)的定義域為R，f′(x)＝ex－2ax，因為函數(shù)f(x)＝ex－ax2－a存在兩個極值點x1，x2，且x2＝2x1，所以f′(x)＝0的兩個根為x1，x2，且x2＝2x1，即ex－2ax＝0的兩個根為x1，x2，且x2＝2x1，所以ex1－2ax1＝0①，ex2－2ax2＝0，且x2＝2x1，所以e2x1－4ax1＝0②，又e