【數(shù)學】兩角和與差的正弦、余弦和正切公式課件-2023-2024學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

5.5.1兩角和與差的正弦、

余弦和正切公式探究：如何用α，β的正弦、余弦來表示cos(α－β)?xyOα終邊A(1,0)P1PA1β終邊α-β終邊如圖，在直角坐標平面xOy內(nèi)作單位圓O，并作出角α、β和α–β.由圓的旋轉(zhuǎn)對稱性知：AP=A1P1（α≠2kπ+β.k∈Z）A1(cosβ,sinβ)P(cos(α-β),sin(α-β))A(1,0)P1(cosα,sinα)各點坐標：在坐標平面內(nèi)的任意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),xyO..P1(x1,y1)P2(x2,y2)M1(x1,0)M2(x2,0)N1(0,y1)N2(0,y2)QP1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃，由勾股定理，可得P1P22=P1Q2+QP22=(x1–x2)2+(y1–y2)2,=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2∟∟∟∟∟由此得到平面內(nèi)P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點間距離公式：P1P2=兩點間距離公式P(cos(α-β),sin(α-β))A(1,0)P1(cosα,sinα)A1(cosβ,sinβ)AP=A1P1

（α≠2kπ+β.k∈Z）思考：如果兩個任意角終邊重合，上述結(jié)論成立嗎？（α＝2kπ+β.k∈Z）當α，β終邊重合時，cosα＝cosβ，sinα＝sinβ．左側(cè)＝cos2kπ＝1，右側(cè)＝sin2α＋cos2α＝1，上述結(jié)論仍然成立．兩角差的余弦公式簡記作(1)公式的結(jié)構(gòu)特征:左邊兩角差的余弦，右邊是同名三角函數(shù)乘積的和，可用口訣“余余正正，符號相反”記憶公式．(2)公式中的角α，β:可以是任意具體的角，也可以是一個“團體”判斷正誤:(1)存在角α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ.(

)(2)對于任意角α，β，總有cos(α－β)＝cosα－cosβ.(

)(3)對于任意角α，β，總有cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(

)

解法1:cos15o=cos(45o-30o)=cos45ocos30o+sin45osin30ocos15o

=cos(60o-45o)=cos60ocos45o+sin60osin45o解法2:例1、利用公式C（α－β）證明、求值：

證明：

證明：例2.

已知sina=

a(p),cosb=

b是第三象限角,求cos(a-b)的值.解:已知則cosa=又

b是第三象限角,則sinb=∴cos(a-b)=cosacosb+sinasinb1、證明：∴左邊＝右邊，得證證明：課本p217練習

思考：由公式C(α－β)

出發(fā)，你能推導出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式嗎？cos(α＋β)=?sin(α＋β)=?sin(α－β)=?tan(α＋β)=?tan(α－β)=?注意到α＋β=α－(－β)cos(

–

)=cos

cos

+sin

sin

則由公式C(α－β)，有思考：你能依據(jù)α＋β與α－β之間的聯(lián)系，利用公式C(α－β)，推導出兩角和的余弦公式cos(α＋β)嗎？cos(a+b)=cos[a-(-b)]=cosacos(-b)+sinasin(-b)=cosacosb-sinasinb

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb.

于是我們得到兩角和的余弦公式,簡記作C(a+b).兩角和與差的余弦公式cos(

–

)=cos

cos

+sin

sin

cos(

+

)=cos

cos

–sin

sin

使用條件：α，β都是任意角.記憶口訣：“余余正正，符號相反”.也就是說，和角余弦等于同名積之差，差角余弦等于同名積之和.探究以前學過的哪個公式可以實現(xiàn)正弦、余弦的轉(zhuǎn)化呢？如何利用兩角差的余弦公式和誘導公式得到兩角和與差的正弦公式？公式五公式六簡記作Ｓ(α+β)．“正余余正，符號相同”

新知探究現(xiàn)在我們可以如何得到兩角差的正弦公式？方法：在公式S(α＋β)中用－β代替β，sin(α－β)＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)

＝sinαcosβ－cosαsinβ.簡記作Ｓ(α-β)．可以得到兩角和與差的正弦公式簡記作Ｓ(α+β)．簡記作Ｓ(α-β)．利用和（差）公式求75°，15°的正弦、余弦的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°–sin45°sin30°sin15°=?cos15°=?探究你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關系，從S(α±β)，C(α±β)出發(fā)，推導出用任意角α，β的正切表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式嗎？

簡記為T(α＋β)．

用－β替換上式中的β可得:簡記為T(α－β)．∵∴簡記為T(α＋β)．問題：如何從tan(α+β)出發(fā)，推導出tan(α-β)？

兩角和與差的正切公式符號上同，下不同正切公式變形(C(

-

))(C(

+

))cos(

-

)=cos

cos

+sin

sin

cos(

+

)=cos

cos

-sin

sin

(S(

+

))(S(

-

))sin(+)=sin

cos

+cos

sin

sin(

-

)=sin

cos

-cos

sin

(T(

+

))(T(

-

))兩角和與差的正弦、余弦、正切公式余余正正符號相反正余余正符號相同符號上同下不同

例3

已知

，α是第四象限角，求

，

，

的值．解：由

，α是第四象限角，得所以于是有問1：如果去掉“

是第四象限角”這個條件，答案如何？問2：在本題條件下有

那么對于任意角α，此等式成立嗎？若成立，你會用幾種方法予以證明？例4

利用和（差）角公式計算下列各式的值：（1）sin72°cos42°－cos72°sin42°；（2）cos20°cos70°－sin20°sin70°；(3)解:(1)sin72

cos42

-cos72

sin42

=sin(72

-

42)=sin30

(2)cos20

cos70

-sin20

sin70

=cos(20

+70)=cos90

=0.(3)=tan60

2（2）已知

的值解：課本p220練習解：2（2）5．已知sin（α－β）cosα－cos（β－α）sinα＝，β是第三象限角，求

的值．利用兩角和或差的正弦公式化簡下列各式：

步驟如下：第一步：提常數(shù)：第二步：定角度：

第三步：逆用公式化簡得：

完成課本p220練習4

單調(diào)遞增、減區(qū)間?1.兩角和、差的余弦公式2.兩角和、差角的正弦公式3.兩角和、差的正切公式

sin2a

=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa.cos2a=cos(a+a)=cosacosa-sinasina=cos2a-sin2atan2a=tan(a+a)（S2a）（C2a）（T2a）2倍角的正弦.2倍角的余弦.2倍角的正切.

sin2a

=2sinacosa.cos2a=cos2a-sin2atan2a①從左向右：升冪縮角;從右向左：降冪擴角.思考：細心觀察二倍角公式，有何結(jié)構(gòu)特征？②正弦是單項式，余弦是多項式，正切是分式.

例5已知求sin4a,cos4a,tan4a的值.

解:則sin4a=2sin2acos2acos4a=1-2sin22atan4a

=由得例6在△ABC中,cosA=tanB=2,求tan(2