數(shù)值分析上機(jī)實(shí)驗(yàn)報告(插值)

數(shù)值分析第一次上機(jī)練習(xí)實(shí)驗(yàn)報告——Lagrange插值與三次樣條插值問題的描述設(shè),,取,.試求出10次Lagrange插值多項(xiàng)式和三次樣條插值函數(shù)(采用自然邊界條件),并用圖畫出,,.方法描述——Lagrange插值與三次樣條插值我們?nèi)?，通過在點(diǎn)的函數(shù)值來對原函數(shù)進(jìn)行插值，我們記插值函數(shù)為，要求它滿足如下條件：(1)我們在此處要分別通過Lagrange插值(即多項(xiàng)式插值)與三次樣條插值的方法對原函數(shù)進(jìn)行插值，看兩種方法的插值結(jié)果，并進(jìn)行結(jié)果的比較。10次的Lagrange插值多項(xiàng)式為：(2)其中：以及我們根據(jù)(2)進(jìn)行程序的編寫，我們可以通過幾個循環(huán)很容易實(shí)現(xiàn)函數(shù)的Lagrange插值。 理論上我們根據(jù)區(qū)間上給出的節(jié)點(diǎn)做出的插值多項(xiàng)式近似于，而多項(xiàng)式的次數(shù)越高逼近的精度就越好。但實(shí)際上并非如此，而是對任意的插值節(jié)點(diǎn)，當(dāng)?shù)臅r候不一定收斂到；而是有時會在插值區(qū)間的兩端點(diǎn)附近會出現(xiàn)嚴(yán)重的偏離的現(xiàn)象，即所謂的Runge現(xiàn)象。因此用高次插值多項(xiàng)式近似的效果并不總是好的，因而人們通常在選擇插值方式的時候不用高次多項(xiàng)式插值，而用分段低次插值，而這樣的插值效果往往是非常好的，能夠克服高次多項(xiàng)式插值的弱點(diǎn)，達(dá)到令人滿意的效果。分段低次插值包括分段線性插值、分段三次Hermite插值、三次樣條插值等。前兩種插值函數(shù)都具有一致收斂性，但是光滑性較差，而在實(shí)際問題中我們往往要求函數(shù)具有二階光滑度，即有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。而對第三種插值方式，我們得到的是一個樣條曲線，它是由分段三次曲線拼接而成，在連接點(diǎn)(即樣點(diǎn))上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。我們記三次樣條插值函數(shù)為，它在每個小區(qū)間上是三次函數(shù)，因此在每個區(qū)間上需要確定4個參數(shù)，總共有10個小區(qū)間，因此共需確定40個未知參數(shù)。首先我們有插值條件：(3)其次在每個節(jié)點(diǎn)上滿足連續(xù)性條件：(4)此外在端點(diǎn)處滿足自然邊界條件：(5)我們假設(shè)。則在每個小區(qū)間上：(6)其中：及我們利用邊界條件(3)(4)(5)可以得到：(7)其中：以及兩端點(diǎn)處的邊界條件為：(8)將邊界條件寫成矩陣形式為：(9)其中根據(jù)自然邊界條件(8)有：我們解方程(9)就可以得到，將他們代入(6)就可以得到各段區(qū)間上的的值。方案設(shè)計我們通過編寫Matlab程序來進(jìn)行10次Lagrange插值與三次樣條插值的工作。在我們的程序文件中interplotion.m文件是主程序文件；L10.m文件是計算10次Lagrange插值多項(xiàng)式的子程序文件，給它任一個，此程序?qū)⒎祷氐闹?；Mspline.m是根據(jù)(9)計算各節(jié)點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)值的子程序文件，它將會返回在自然邊界條件下的各節(jié)點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)值；然后spline.m是根據(jù)以及(6)計算三次樣條插值函數(shù)的子程序文件。然后運(yùn)行主程序?qū)⒔o出三幅曲線圖，分別是與曲線，與曲線，以及、與三條曲線共同畫在一幅圖上得到的圖象。解決這個問題的思路很簡單，按部就班的來就可以。首先我們計算各節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值以備后用，然后調(diào)用Mspline.m計算。隨后我們給出一系列的值，計算，并分別調(diào)用L10.m與spline.m分別計算與。然后根據(jù)我們得到的數(shù)據(jù)繪圖觀察插值結(jié)果。具體程序的實(shí)現(xiàn)可參見所給程序的相關(guān)注釋。計算結(jié)果及其分析下面是我們根據(jù)程序計算結(jié)果得到的數(shù)據(jù)，其中分別給出了在各典型處的的原函數(shù)的值、Lagrange插值結(jié)果與樣條插值結(jié)果；以及絕對誤差和,相對誤差,。由于在兩端點(diǎn)處進(jìn)行Lagrange插值插值的時候可能出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，因此我們在兩端點(diǎn)附近多給了幾個點(diǎn)的數(shù)據(jù)。xf(x)L10(x)S(x)誤差L10(x)-f(x)相對誤差(L10(x)-f(x))/f(x)誤差S(x)-f(x)相對誤差(S(x)-f(x))/f(x)-1.000.100000.100000.100000.000000.000000.000000.00000-0.980.103700.415970.104090.312283.011470.000400.00383-0.960.107590.568810.108230.461224.286770.000640.00592-0.940.111700.611500.112450.499804.474400.000750.00669-0.920.116040.584450.116800.468414.036560.000760.00651-0.900.120630.517790.121310.397163.292440.000690.00569-0.880.125480.433290.126040.307812.453130.000570.00452-0.860.130610.346080.131030.215471.649740.000420.00320-0.840.136050.266050.136310.130010.955600.000260.00192-0.820.141810.199060.141930.057250.403680.000120.00082-0.800.147930.147930.147930.000000.000000.000000.00000-0.700.184840.110100.18484-0.07474-0.404330.000000.00000-0.600.235850.235850.235850.000000.000000.000000.00000-0.500.307690.333830.306400.026140.08494-0.00129-0.00419-0.400.409840.409840.409840.000000.000000.000000.00000-0.300.552490.539350.55629-0.01314-0.023780.003800.00689-0.200.735290.735290.735290.000000.000000.000000.00000-0.100.917430.922470.915160.005040.00549-0.00227-0.002470.001.000001.000001.000000.000000.000000.000000.000000.100.917430.922470.915160.005040.00549-0.00227-0.002470.200.735290.735290.735290.000000.000000.000000.000000.300.552490.539350.55629-0.01314-0.023780.003800.006890.400.409840.409840.409840.000000.000000.000000.000000.500.307690.333830.306400.026140.08494-0.00129-0.004190.600.235850.235850.235850.000000.000000.000000.000000.700.184840.110100.18484-0.07474-0.404330.000000.000000.800.147930.147930.147930.000000.000000.000000.000000.820.141810.199060.141930.057250.403680.000120.000820.840.136050.266050.136310.130010.955600.000260.001920.860.130610.346080.131030.215471.649740.000420.003200.880.125480.433290.126040.307812.453130.000570.004520.900.120630.517790.121310.397163.292440.000690.005690.920.116040.584450.116800.468414.036560.000760.006510.940.111700.611500.112450.499804.474400.000750.006690.960.107590.568810.108230.461224.286770.000640.005920.980.103700.415970.104090.312283.011470.000400.003831.000.100000.100000.100000.000000.000000.000000.00000 盡管從數(shù)據(jù)可以看出一些端倪，但是通過圖象我們更能清楚地看到最終插值結(jié)果的定性情況。首先我們給出與曲線:其中藍(lán)色的曲線代表曲線,綠色的曲線代表曲線?？梢姶藭r兩者之間具有很大的差別，尤其在端點(diǎn)附近會出現(xiàn)嚴(yán)重的偏離的現(xiàn)象，即出現(xiàn)了所謂的Runge現(xiàn)象。而此時曲線與我們用樣條插值得到的的曲線為：其中藍(lán)色的曲線代表曲線,綠色的曲線代表曲線，可見兩條曲線幾乎完全重合，與符合的很好。上面我們由曲線定性看到的結(jié)論也可以通過表中的數(shù)據(jù)定量的看出。結(jié)論插值方法中最基本的是多項(xiàng)式插值，而我們可以通過Lagrange多項(xiàng)式來方便