線性代數(shù)復(fù)習(xí)重點-2

線代復(fù)習(xí)資料第-PAGE2–頁線性代數(shù)復(fù)習(xí)重點第一部分行列式排列的逆序數(shù)（P.5例4；P.26第2、4題）行列式按行（列）展開法則（P.21例13；P.28第9題）行列式的性質(zhì)及行列式的計算（P.27第8題）第二部分矩陣矩陣的運算性質(zhì)矩陣求逆及矩陣方程的求解（P.56第17、18題；P.78第5題）伴隨陣的性質(zhì)（P.41例9；P.56第23、24題；P.109第25題）、正交陣的性質(zhì)（P.116）矩陣的秩的性質(zhì)（P.69至71；P.100例13、14、15）第三部分線性方程組線性方程組的解的判定（P.71定理3；P.77定理4、5、6、7），帶參數(shù)的方程組的解的判定（P.75例13；P.80第16、17、18題）齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）第四部分向量組（矩陣、方程組、向量組三者之間可以相互轉(zhuǎn)換）1．向量組的線性表示2．向量組的線性相關(guān)性3．向量組的秩第五部分方陣的特征值及特征向量1．施密特正交化過程2．特征值、特征向量的性質(zhì)及計算（P.120例8、9、10；P.135第7至13題）3．矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化（P.135第15、16、19、23題）要注意的知識點：線性代數(shù)1、行列式行列式共有個元素，展開后有項，可分解為行列式；代數(shù)余子式的性質(zhì)：①、和的大小無關(guān)；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為；代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：行列式的重要公式：①、主對角行列式：主對角元素的乘積；②、副對角行列式：副對角元素的乘積；③、上、下三角行列式（）：主對角元素的乘積；④、和：副對角元素的乘積；⑤、拉普拉斯展開式：、⑥、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；⑦、特征值證明的方法：①、；②、反證法；③、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解；④、利用秩，證明；⑤、證明0是其特征值；2、矩陣是階可逆矩陣：（是非奇異矩陣）；（是滿秩矩陣）的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組有非零解；，總有唯一解；與等價；可表示成若干個初等矩陣的乘積；的特征值全不為0；是正定矩陣；的行（列）向量組是的一組基；是中某兩組基的過渡矩陣；對于階矩陣：無條件恒成立；矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均、可逆：若，則：Ⅰ、；Ⅱ、；②、③、④、⑤、3、矩陣的初等變換與線性方程組一個矩陣，總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：；等價類：所有與等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣、，若；行最簡形矩陣：①、只能通過初等行變換獲得；②、每行首個非0元素必須為1；③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）若，則可逆，且；②、對矩陣做初等行變化，當變?yōu)闀r，就變成，即：；③、求解線形方程組：對于個未知數(shù)個方程，如果，則可逆，且；初等矩陣和對角矩陣的概念：①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；②、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；③、對調(diào)兩行或兩列，符號，且，例如：；④、倍乘某行或某列，符號，且，例如：；⑤、倍加某行或某列，符號,且，如：；矩陣秩的基本性質(zhì)：①、；②、；③、若，則；④、若、可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）⑤、；（※）⑥、；（※）⑦、；（※）⑧、如果是矩陣，是矩陣，且，則：（※） Ⅰ、的列向量全部是齊次方程組解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）； Ⅱ、⑨、若、均為階方陣，則；三種特殊矩陣的方冪：①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；②、型如的矩陣：利用二項展開式③、利用特征值和相似對角化：伴隨矩陣：①、伴隨矩陣的秩：；②、伴隨矩陣的特征值：；③、、關(guān)于矩陣秩的描述：①、，中有階子式不為0，階子式全部為0；（兩句話）②、，中有階子式全部為0；③、，中有階子式不為0；線性方程組：，其中為矩陣，則：①、與方程的個數(shù)相同，即方程組有個方程；②、與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組為元方程；線性方程組的求解：①、對增廣矩陣進行初等行變換（只能使用初等行變換）；②、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；③、特解：自由變量賦初值后求得；由個未知數(shù)個方程的方程組構(gòu)成元線性方程：①、；②、（向量方程，為矩陣，個方程，個未知數(shù)）③、（全部按列分塊，其中）；④、（線性表出）⑤、有解的充要條件：（為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性個維列向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；個維行向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；①、向量組的線性相關(guān)、無關(guān) 有、無非零解；（齊次線性方程組）②、向量的線性表出 是否有解；（線性方程組）③、向量組的相互線性表示 是否有解；（矩陣方程）矩陣與行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組和同解；(例14)；(例15)維向量線性相關(guān)的幾何意義：①、線性相關(guān) ；②、線性相關(guān) 坐標成比例或共線（平行）；③、線性相關(guān) 共面；線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若線性相關(guān)，則必線性相關(guān)；若線性無關(guān)，則必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若維向量組的每個向量上添上個分量，構(gòu)成維向量組：若線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；反之若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；向量組（個數(shù)為）能由向量組（個數(shù)為）線性表示，且線性無關(guān)，則；向量組能由向量組線性表示，則；向量組能由向量組線性表示有解； 向量組能由向量組等價方陣可逆存在有限個初等矩陣，使；①、矩陣行等價：（左乘，可逆）與同解②、矩陣列等價：（右乘，可逆）；③、矩陣等價：（、可逆）；對于矩陣與：①、若與行等價，則與的行秩相等；②、若與行等價，則與同解，且與的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；④、矩陣的行秩等于列秩；若，則：①、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；②、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；①、 只有零解只有零解；②、 有非零解一定存在非零解；設(shè)向量組可由向量組線性表示為：（） 其中為，且線性無關(guān)，則組線性無關(guān)；（與的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：；充分性：反證法） 注：當時，為方陣，可當作定理使用；①、對矩陣，存在， 、的列向量線性無關(guān)；②、對矩陣，存在， 、的行向量線性無關(guān)；線性相關(guān)存在一組不全為0的數(shù)，使得成立；（定義）有非零解，即有非零解；，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；設(shè)的矩陣的秩為，則元齊次線性方程組的解集的秩為：；若為的一個解，為的一個基礎(chǔ)解系，則線性無關(guān)；5、相似矩陣正交