HPM視角下的二項(xiàng)式定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

HPM視角下的二項(xiàng)式定理的教學(xué)設(shè)計(jì)普通高中數(shù)學(xué)課程將二項(xiàng)式定理作為選修內(nèi)容,要求學(xué)生“能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理;會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題”或“經(jīng)歷導(dǎo)出二項(xiàng)式定理的過(guò)程,掌握二項(xiàng)式定理;通過(guò)歸納楊輝三角形并展開(kāi)研究,發(fā)展探究能力”,并不要求學(xué)生掌握二項(xiàng)式定理復(fù)雜形式.在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)二項(xiàng)式定理時(shí),介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就—楊輝三角,以豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化價(jià)值的認(rèn)識(shí).”1二項(xiàng)式定理的教學(xué)設(shè)計(jì)1.1學(xué)生基礎(chǔ)情況分析這是一堂高二年級(jí)學(xué)生的課，這一階段的學(xué)生已經(jīng)初步具備了乘方、多項(xiàng)式運(yùn)算、數(shù)列，組合相關(guān)的知識(shí)儲(chǔ)備同時(shí)能夠在教師的組織引導(dǎo)下進(jìn)行對(duì)二項(xiàng)式定理探究學(xué)習(xí)與運(yùn)用。本節(jié)課對(duì)學(xué)生的探究學(xué)習(xí)、歸納分析能力的提升有一定的幫助。1.2教材內(nèi)容分析本節(jié)課是選修2---3第一章第三部分第五節(jié)的內(nèi)容，這節(jié)課內(nèi)容上只有一個(gè)二項(xiàng)式定理但它卻是前面內(nèi)容的繼續(xù)，也是后面內(nèi)容的開(kāi)始。在計(jì)數(shù)原理之后學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理，一方面是因?yàn)樗淖C明要用到計(jì)數(shù)原理，可以把它看做為計(jì)數(shù)原理的一個(gè)應(yīng)用。另一方面也是為后面學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及分布做準(zhǔn)備。同時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，有二項(xiàng)式定理可推導(dǎo)出一些組合數(shù)的恒等式，這對(duì)深化組合數(shù)的認(rèn)識(shí)起到了很好的促進(jìn)作用?？梢?jiàn)二項(xiàng)式定理是一個(gè)承上啟下的內(nèi)容，問(wèn)題類(lèi)型具有較強(qiáng)的綜合性，可以連接不同內(nèi)容的知識(shí)。1.3教學(xué)目標(biāo)的確定知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握二項(xiàng)式定理及其推導(dǎo)方法、二項(xiàng)展開(kāi)式、通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，并能運(yùn)用二項(xiàng)式定理解決相關(guān)問(wèn)題.過(guò)程與方法目標(biāo)：在二項(xiàng)式定理推導(dǎo)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、歸納的能力和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探求問(wèn)題的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)中從特殊到一般的思想以及類(lèi)比思想。情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)探究學(xué)習(xí)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中養(yǎng)成獨(dú)立思考的好習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個(gè)性品質(zhì)，感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、和諧美和對(duì)稱(chēng)美。1.4教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)探究二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過(guò)程；正確運(yùn)用二項(xiàng)式定理解決相關(guān)問(wèn)題;難點(diǎn)探究二項(xiàng)式系數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系；二項(xiàng)展開(kāi)式的應(yīng)用及一些易混淆的概念.2二項(xiàng)式定理的教學(xué)過(guò)程2.1問(wèn)題情境活動(dòng)1試將下列各式展開(kāi)：探究1展開(kāi)式各項(xiàng)次數(shù)有什么特點(diǎn)?學(xué)生自主探究出上述兩式展開(kāi)時(shí)每項(xiàng)的次數(shù)與兩式的次數(shù)相同。設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生具備了乘方、多項(xiàng)式運(yùn)算的能力，因此活動(dòng)1對(duì)學(xué)生而言輕而易舉，繼而能夠發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。探究1結(jié)合教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、創(chuàng)設(shè)興趣點(diǎn)使學(xué)生對(duì)新學(xué)習(xí)的內(nèi)容產(chǎn)生疑惑，有利于學(xué)生進(jìn)一步探究問(wèn)題、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、構(gòu)建新知識(shí)。探究2探究能否運(yùn)用組合知識(shí)解釋各項(xiàng)系數(shù)的由來(lái)?這一環(huán)節(jié)讓學(xué)生自主探究，合作交流各項(xiàng)系數(shù)的由來(lái)。問(wèn)題2中涉及組合知識(shí)這樣學(xué)生就能夠從組合的角度探究系數(shù)的由來(lái)，在合作探究過(guò)程中：學(xué)生1：從的個(gè)數(shù)來(lái)看從中可以看出有2個(gè)2個(gè)，說(shuō)明從2個(gè)里選2個(gè)從2個(gè)里選0個(gè)，所以的系數(shù)是,說(shuō)明從2個(gè)里選0個(gè)從2個(gè)里選2個(gè)，所以的系數(shù)是，現(xiàn)在有一個(gè)問(wèn)題是這一項(xiàng)說(shuō)明從明從2個(gè)里選1個(gè)從2個(gè)里選1個(gè)，所以的系數(shù)是不等于2，這是為什么呢？學(xué)生1的問(wèn)題引起了大家的興趣，于是教師讓學(xué)生繼續(xù)探究討論，討論很激烈。討論完后學(xué)生2提出學(xué)生1沒(méi)有注意到每項(xiàng)次數(shù)的問(wèn)題，每項(xiàng)次數(shù)是2次說(shuō)明從從2個(gè)括號(hào)各取1個(gè)字母；每項(xiàng)次數(shù)是3次說(shuō)明從從3個(gè)擴(kuò)號(hào)各取1個(gè)字母；中說(shuō)明從2個(gè)括號(hào)里都取的情況有1種即種，所以的系數(shù)是=1，說(shuō)明從2個(gè)括號(hào)里取1個(gè)的情況有2種即種，所以的系數(shù)是=2，,說(shuō)明從2個(gè)括號(hào)里都不取的情況有1種即種，所以的系數(shù)是=1。學(xué)生2說(shuō)獲得了全班熱烈的掌聲，學(xué)生1也被學(xué)生2說(shuō)得心服口服。接著我讓按照學(xué)生2的說(shuō)法驗(yàn)證，學(xué)生很快就驗(yàn)證出結(jié)果完全正確。剛驗(yàn)證完學(xué)生3立馬舉手說(shuō)：老師，學(xué)生2剛剛是以每個(gè)括號(hào)取的個(gè)數(shù)來(lái)討論，那我也可以以每個(gè)括號(hào)取的個(gè)數(shù)來(lái)討論，如，說(shuō)明從3個(gè)括號(hào)里都不取的情況有1種即種，所以的系數(shù)是=1，說(shuō)明從3個(gè)括號(hào)里取1個(gè)的情況有3種即種，所以的系數(shù)是=3，說(shuō)明從3個(gè)括號(hào)里取2個(gè)的情況有3種即種，所以的系數(shù)是=3，說(shuō)明從3個(gè)括號(hào)里都取的情況有1種即種，所以的系數(shù)是=1。即。學(xué)生3的回答贏得了大家默默贊許。接著教師問(wèn)學(xué)生：學(xué)生2是以每個(gè)括號(hào)取的個(gè)數(shù)來(lái)討論，學(xué)生3每個(gè)括號(hào)取b的個(gè)數(shù)來(lái)討論,這兩種做法都可以，那么你們打算選哪種做法呢？學(xué)生紛紛表示會(huì)選擇學(xué)生3的做法，因?yàn)榘凑諏W(xué)生3做法展開(kāi)式具有對(duì)稱(chēng)美，組合上標(biāo)從小到大排列。設(shè)計(jì)意圖：探究2引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用組合知識(shí)解釋系數(shù)的由來(lái)，引發(fā)學(xué)生探究，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑，特別是學(xué)生1自主提出了問(wèn)題，激起了學(xué)生的探討興趣，點(diǎn)燃了學(xué)生思維的火花，促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展，繼而有了學(xué)生2的討論成果，由此看出學(xué)生思維層次的發(fā)展。在驗(yàn)證過(guò)程中學(xué)生3發(fā)現(xiàn)了另一做法，由此看出學(xué)生思維品質(zhì)在層層遞進(jìn)。最后讓學(xué)生自己比較兩種做法，學(xué)生能夠自主選擇出最佳做法，這比傳統(tǒng)課中教師硬塞給學(xué)生效果好很多。從探究2可以看出探究學(xué)習(xí)過(guò)程是個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題的動(dòng)態(tài)化過(guò)程，教師精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境是培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題能力，探究問(wèn)題意識(shí)的關(guān)鍵，同時(shí)也是調(diào)動(dòng)學(xué)生思維發(fā)展，構(gòu)建思維課堂的前提條件?；顒?dòng)2教師PPT介紹數(shù)學(xué)史--楊輝三角與二項(xiàng)式定理的聯(lián)系設(shè)計(jì)意圖通過(guò)借鑒數(shù)學(xué)史中的證明方法，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將具體的取球模型與抽象的二項(xiàng)式定理相聯(lián)系，有利于學(xué)生加深對(duì)二項(xiàng)式定理的理解，形成對(duì)定理蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想的意義構(gòu)建，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)等．2.2新課講解活動(dòng)2類(lèi)比上述規(guī)律試寫(xiě)出下列各式的展開(kāi)式:_______________________;_______________________.這一環(huán)節(jié)中學(xué)生都能很快地將的展開(kāi)。對(duì)于大部分學(xué)生都能寫(xiě)出來(lái)，部分學(xué)生存在的問(wèn)題是中間某項(xiàng)想不知道如何表示，于是教師引導(dǎo)學(xué)生：若中間某項(xiàng)系數(shù)是，請(qǐng)你們探究一下他后面的項(xiàng)是什么。學(xué)生根據(jù)很快類(lèi)比歸納出組合數(shù)的上標(biāo)與的指數(shù)相同，而每項(xiàng)的次數(shù)都是次，所以中間某項(xiàng)可表示為。接著教師又問(wèn)學(xué)生這一項(xiàng)是該展開(kāi)式的第幾項(xiàng)？問(wèn)題剛一出口，學(xué)生脫口而出是第項(xiàng)，因?yàn)榈谝豁?xiàng)組合數(shù)上標(biāo)是從0開(kāi)始。教師給出概念：二項(xiàng)式定理：.其中稱(chēng)為該定理的通項(xiàng)用表示即，這里的稱(chēng)為該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)該式展開(kāi)是為了檢驗(yàn)學(xué)生是否真的理解探究2中的解決問(wèn)題的辦法，也培養(yǎng)了學(xué)生的類(lèi)比思想。讓學(xué)生對(duì)該式展開(kāi)是為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中從特殊到一般的思想。在教師的引導(dǎo)下學(xué)生的類(lèi)比思想有了進(jìn)一步的提升，探究能力也逐步加強(qiáng)?；顒?dòng)3試歸納二項(xiàng)式定理的特點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖：該活動(dòng)能夠培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納能力。學(xué)生自己去歸納探究，自己去合作交流，自己去切身體驗(yàn)，這樣能夠有助于學(xué)生對(duì)該定理得記憶、理解與運(yùn)用，同時(shí)也能夠讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美與簡(jiǎn)潔美。2.3數(shù)學(xué)運(yùn)用例1利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)下列各式:;.設(shè)計(jì)意圖：例1的設(shè)計(jì)是為了檢驗(yàn)學(xué)生是否真的會(huì)運(yùn)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行展開(kāi)，事實(shí)證明大部分學(xué)生能夠?qū)⒏膶?xiě)成后再進(jìn)行展開(kāi)，說(shuō)明學(xué)生具有一定的運(yùn)用類(lèi)比思想進(jìn)行解題的能力同時(shí)也說(shuō)明學(xué)生能夠熟練運(yùn)用二項(xiàng)式定理。例1是為了引出下面問(wèn)題中二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)做鋪墊。探究3試求第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。學(xué)生根據(jù)自己的展開(kāi)式不加思考說(shuō)出是6，只有個(gè)別學(xué)生在小聲嘀咕說(shuō)二項(xiàng)式系數(shù)是3，于是教師請(qǐng)出這些學(xué)生大膽說(shuō)出自己的想法，學(xué)生疑惑地說(shuō)二項(xiàng)式系數(shù)不應(yīng)該是怎么會(huì)是6呢？該學(xué)生的疑惑引發(fā)了其他學(xué)生的討論，討論之后學(xué)生一致給出答案：二項(xiàng)是系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的，二項(xiàng)式系數(shù)就是組合數(shù)，項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)最終化簡(jiǎn)的結(jié)果的數(shù)字。設(shè)計(jì)意圖：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是二項(xiàng)式定理中學(xué)生比較容易出錯(cuò)混淆的問(wèn)題，在這一設(shè)計(jì)中我讓學(xué)生自己去探究、自己去感受、自己去發(fā)現(xiàn)這兩者的區(qū)別，在這一過(guò)程中引發(fā)了學(xué)生的討論，激起了學(xué)生思維的碰撞，最后得出了一致答案，這樣探討過(guò)程必會(huì)有助于學(xué)生對(duì)該問(wèn)題的深刻理解。例2已知二項(xiàng)式，(1)求展開(kāi)式第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù);(2)求展開(kāi)式第3項(xiàng)的系數(shù);(3)求第3項(xiàng);設(shè)計(jì)意圖：該例題是對(duì)前面知識(shí)的鞏固即對(duì)二項(xiàng)式定理運(yùn)用以及要知道二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別。2.4課堂小結(jié)教師與學(xué)生共同回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，總結(jié)如下：(1)二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)、記憶、理解；(2)會(huì)運(yùn)用二項(xiàng)式定理，會(huì)求二項(xiàng)式系數(shù)以及項(xiàng)的系數(shù)；(3)能夠提煉出整個(gè)課堂內(nèi)容中的類(lèi)比思想、特殊到一般的思想。3教學(xué)反思HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，注重知識(shí)的自然發(fā)生過(guò)程，注重課堂的