新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 雙曲線的定義的應用（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．C【分析】根據(jù)兩點間距離的定義及雙曲線定義，可判斷雙曲線的長軸長與焦距，進而求得b，得雙曲線方程；結(jié)合方程的意義，即可判斷出y的取值范圍．【詳解】根據(jù)兩點間距離的定義，表示動點到與的距離之差等于4（且兩個定點的距離大于4）的集合.根據(jù)雙曲線定義可知，所以

由焦點在y軸上，所以，且到點的距離比較大所以即曲線方程為故選：C.2．B【分析】根據(jù)雙曲線的定義，得到點的軌跡表示以為焦點的雙曲線的右支，進而求得雙曲線的漸近線方程，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，點且滿足，根據(jù)雙曲線的定義，可得點的軌跡表示以為焦點的雙曲線的右支，其中，可得，則，可得雙曲線的漸近線方程為，又因為點滿足方程，即，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，可得，即的取值范圍是.故選：B.3．C【分析】根據(jù)題意求出a,b即可求得答案.【詳解】由題意，，則，結(jié)合條件可知，雙曲線的標準方程為.故選：C.4．A【分析】由以為直徑的圓經(jīng)過點得，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理可得解.【詳解】由題意得，設，則，，，，在中，由勾股定理得，解得，則，，在中，由勾股定理得，化簡得，所以的離心率，故選：A.5．C【分析】根據(jù)已知條件得出焦點坐標，并作出圖形，利用雙曲線的定義及三角形的周長公式即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，解得，所以雙曲線的左焦點，所以點是雙曲線的右焦點．作出雙曲線，如圖所示．由雙曲線的定義，知①，②，由①②，得，又，所以的周長為．故選：C.6．B【分析】設點，根據(jù)題意得，進而與雙曲線方程聯(lián)立得，即可得答案.【詳解】設點，由雙曲線可知、，∵，∴，∴，代入雙曲線方程，∴，∴，∴，∴到軸的距離是．故選：B．7．B【分析】分類討論的位置，根據(jù)雙曲線的定義和余弦定理列式可求出結(jié)果.【詳解】當在雙曲線左支上時，，又，所以，所以，即，整理得，此方程不成立.當在雙曲線右支上時，，又，所以，所以，即，整理得，得，所以或（舍去），所以C的離心率為.故選：B8．C【分析】不妨設點在第一象限，根據(jù)雙曲線的定義得到，再由，得到，進而求得，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，則，因為點在雙曲線上，不妨設點在第一象限，由雙曲線的定義可得，又因為，可得，即，又由，可得，解得，所以的面積為.故選：C.9．B【分析】利用雙曲線的定義可得，又，進而即得.【詳解】∵雙曲線，∴，又點P在雙曲線C的右支上，，所以，，即，又，∴面積為.故選：B.10．A【解析】設，．根據(jù)雙曲線的定義和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，從而可得的周長.【詳解】由雙曲線可得．設，．則，，所以，．因為是等腰三角形，且，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周長．故選：A．【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)雙曲線的定義求解是解題關鍵.11．D【分析】根據(jù)雙曲線的定義，余弦定理以及三角形的面積公式列出方程組，即可解出．【詳解】設，.由，的面積為，可得，∴①由離心率為，可得，代入①式，可得.故選：D.12．D【分析】設，可得出，，在中，利用余弦定理可得出關于的方程，結(jié)合可求得該雙曲線的離心率.【詳解】如下圖所示，設，由雙曲線的定義可得，則，所以，，在中，，整理可得，即，，解得.故選：D.13．A【分析】利用雙曲線定義結(jié)合已知求出及，再求出焦距即可計算作答.【詳解】雙曲線的實半軸長，半焦距，因此，，因，由雙曲線定義得，解得，，顯然有，即是直角三角形，所以的面積.故選：A14．B【分析】由雙曲線的定義即可求出的周長.【詳解】設，，由題意可得，由雙曲線的定義可得，，則的周長是.故選：B.15．A【分析】記，，根據(jù)雙曲線定義結(jié)合余弦定理可得，再利用三角形面積公式可推得，即可求得答案.【詳解】記，，，∵，∴，在中，由余弦定理得，配方得，即，∴，由任意三角形的面積公式得，∴，而，，，故選：A.16．C【分析】根據(jù)雙曲線方程，寫出a，b，c，不妨設點P在第一象限，，若為直角三角形，分和兩種情況討論，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可得出正確選項.【詳解】解：因為雙曲線，所以，不妨設點P在第一象限，則，若為直角三角形，當時，則，又，即，所以，，所以，所以的周長是，的面積是；當時，設，代入方程解得（負值舍去），所以，故，所以，所以的周長是，的面積是6，綜上所述，若為直角三角形，則的周長是或8，的面積是3或6，故A、B錯誤；若為銳角三角形，根據(jù)上述，則的取值范圍是，故C正確；若為鈍角三角形，根據(jù)上述，則的取值范圍是，故D錯誤.故選：C.17．C【分析】根據(jù)已知條件和雙曲線的定義可求得，，再在中運用余弦定理建立關于a，b，c的方程，可求得雙曲線的漸近線方程得選項.【詳解】解：由，設，由得，，所以，，又得，，令，化簡得：，得，所以漸近線方程為，故選：C.18．B【分析】設，，的方程為：，與雙曲線的方程聯(lián)立可得點的坐標，設，，直線的傾斜角為，則，運用三角形面積相等，雙曲線的定義，可得關于、的方程，由即可得離心率.【詳解】設雙曲線的左焦點、右焦點，設雙曲線的一條漸近線方程為：，可得直線的方程為：，由可得：，即，設，，可得，即，整理可得：，即，由雙曲線的定義可得：，所以，設直線的傾斜角為，在中，，，，所以，所以，所以，整理可得：，解得：或（舍），所以雙曲線的離心率為，故選：B.19．C【分析】根據(jù)雙曲線定義得到，，用余弦定理和面積公式求出答案.【詳解】設，，則由雙曲線的定義可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面積為.故選：C.20．A【分析】先確定，再利用勾股定理、橢圓、雙曲線的定義，即可得出結(jié)論.【詳解】解：設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，，因為，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，即，所以，所以.故選：A.21．C【分析】設，.根據(jù)圓錐曲線定義與勾股定理可得，從而可得，結(jié)合，可得結(jié)果.【詳解】設，.在橢圓中，，所以.在雙曲線中，，所以，所以，即，得，即.因為，所以，解得.故選：C22．C【分析】利用雙曲線的定義和三角形的周長即得．【詳解】由題可得，則的周長為.故選：C．23．D【分析】設，根據(jù)題意可得，由雙曲線定義得、，進而求出（用表示），然后在中，應用勾股定理得出的關系，求得離心率．【詳解】易知共線，共線，如圖，設，則.因為，所以，則，則，又因為，所以，則,在中，，即，所以.故選：D24．A【解析】根據(jù)，得到三角形為直角三角形，再利用直角三角形內(nèi)切圓切線長定理，求得半徑，再根據(jù)內(nèi)切圓的半徑為，建立方程求解.【詳解】如圖所示：因為，所以三角形為直角三角形，故它的內(nèi)切圓半徑，所以故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及直角三角形內(nèi)切圓問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.25．C【解析】如圖，設，，由雙曲線定義知，平方得：，在中利用余弦定理可得：，即可得到，再利用等面積法即可求得【詳解】由題意，雙曲線中，如圖，設，，由雙曲線定義知兩邊平方得：在中，由余弦定理可得：，即兩式相減得：，即利用等面積法可知：，即解得故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題考查雙曲線的定義及焦點三角形的幾何性質(zhì)，解題的關鍵是熟悉焦點三角形的面積公式推導，也可以直接記住結(jié)論：（1）設，分別為橢圓的左，右焦點，點為橢圓上的一點，且，則橢圓焦點三角形面積（2）設，分別為雙曲線的左，右焦點，點為雙曲線上的一點，且，則雙曲線焦點三角形面積26．C【分析】由已知條件結(jié)合雙曲線的定義可得為等邊三角形，從而得，然后在中，利用余弦定理化簡可得到，從而可求出離心率的值.【詳解】設，則，設，則由雙曲線的定義得，，解得，所以，，，，所以為等邊三角形，所以，則，在中，由余弦定理得，,即，化簡得，，所以雙曲線的離心率為，故選：C.27．D【分析】利用雙曲線的定義以及已知條件，結(jié)合勾股定理轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可．【詳解】依題意得，，，得，又因為到直線的距離為，由，得，所以．故答案為：2．【點睛】本題考查雙曲線的定義和簡單性質(zhì)的應用，是基本知識的考查．28．C【分析】由題意，得，根據(jù)雙曲線方程，可得，從而可表示出，設圓的半徑為，利用等面積法計算出，從而代入公式求解面積.【詳解】如圖，因為圓，分別為與的內(nèi)切圓，軸，所以，由題意，，所以，由通徑可得，再由雙曲線的定義可知，設圓，圓的半徑為，由等面積法可得，即，得，所以，故四邊形的面積為.故選：C【點睛】關于三角形內(nèi)切圓的半徑的計算通常采用等面積法，計算出三角形的周長，底邊長與高，再利用面積相等列式計算.29．B【分析】由的周長為，結(jié)合雙曲線的定義和對稱性得到，，再由為的中點，得到為等邊三角形求解.【詳解】如圖所示：由對稱性可知，因為的周長為，所以，又，所以，．因為為的中點，所以，則為等邊三角形，所以，，．又因為，所以在中，．所以，，即雙曲線的漸近線方程為．故選：B30．D【分析】由M是三角形外心可得，根據(jù)圓周角與圓心角關系得∠F1PF2＝，根據(jù)余弦定理、雙曲線的定義得，由三角形面積公式，即可確定的數(shù)量關系，寫出漸近線方程即可.【詳解】由△PF1F2的外心M，知：，∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，在△中，，而，∴，即，∴，而，∴由題意知：，故雙曲線的漸近線方程為：．故選：D．【點睛】關鍵點點睛：利用外接圓的性質(zhì)求∠F1PF2，由余弦定理、雙曲線的定義及三角形面積公式求焦點三角形的面積，進而確定雙曲線參數(shù)的數(shù)量關系.31．D【分析】由已知條件知，點的運動軌跡是以，為焦點的雙曲線右支，從而寫出軌跡的方程即可.【詳解】解：由可知，點的運動軌跡是以，為焦點的雙曲線右支，，，，.所以動點的軌跡方程是.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線的定義，求雙曲線的標準方程，屬于基礎題.32．B【分析】取中點，由及得到三點共線且，再根據(jù)雙曲線定義及得到的比例關系，進而解出離心率.【詳解】設是的中點，連接，如圖，則，由，得三點共線，.由既是的平分線，又是邊上的中線，得.作軸于點，，且，.故選：B.33．D【分析】根據(jù)雙曲線定義知，，，結(jié)合，從而計算出的周長的值.【詳解】∵，，∴，∴，∴的周長為．故選：D34．C【解析】先根據(jù)雙曲線方程得到，，，設，，可得，.由，在根據(jù)余弦定理可得:，即可求得答案.【詳解】，所以，，，在雙曲線上，設，，①由，在根據(jù)余弦定理可得:故②由①②可得，直角的面積故選：C.【點睛】思路點睛：在解決橢圓或雙曲線上的點與兩焦點組成的三角形問題時，往往利用橢圓或雙曲線的定義進行處理，結(jié)合雙曲線的定義、余弦定理和三角形的面積公式進行求解，要注意整體思想的應用.35．CD【分析】對于A：判斷出，由定義和勾股定理聯(lián)立方程組即可求得；對于B：利用雙曲線的定義直接求得；對于C：先求出雙曲線的漸近線方程，由P在雙曲線右支上，即可得到n所在直線的斜率的范圍；對于D：設直線PT的方程為.利用相切解得，進而求出.即可求出.【詳解】對于A：若，則.因為P在雙曲線右支上，所以.由勾股定理得：二者聯(lián)立解得：.故A錯誤；對于B：光由所經(jīng)過的路程為.故B錯誤；對于C：雙曲線的方程為.設左、右頂點分別為A、B.如圖示：當與同向共線時，的方向為，此時k=0，最小.因為P在雙曲線右支上，所以n所在直線的斜率為.即.故C正確.對于D：設直線PT的方程為.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在雙曲線右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正確故選：CD36．ACD【分析】對于：根據(jù)題意可得，則點的軌跡是以，為焦點的橢圓，即可判斷是否正確；對于：根據(jù)題意可得，則的軌跡為以點，為焦點的雙曲線，其中，，進而可得雙曲線的方程，即可判斷是否正確；對于：根據(jù)題意可得點的軌跡是以，為焦點的雙曲線及方程，進而可得離心率，即可判斷是否正確．對于：根據(jù)題意可得的軌跡方程為，設，直線的方程，它與的交點的坐標，即可計算是否為定值，即可判斷是否正確．【詳解】解：當時，點在圓內(nèi)，此時有故的軌跡是以為焦點的橢圓，故A正確；當時，點在圓外，此時有，故的軌跡是以為焦點的雙曲線，其中故雙曲線方程為故錯誤；當時時的軌跡是以為焦點的雙曲線，方程為，所以離心率，當時4，故正確；當時，的軌跡方程為，設則，直線的方程為，它與的交點的坐標為，所以所以為定值，故正確.故選：ACD.37．ACD【分析】對于A，利用焦點三角形的面積公式求解，對于B，由焦點三角形的面積公式求出，再由以雙曲線的定義和勾股定理列方程組可求得結(jié)果，對于C，當為直角三角形時，求出臨界值進行判斷，對于D，利用相關點法結(jié)合重心坐標公式求解【詳解】由，得，則焦點三角形的面積公式，將代入可知，故A正確．當S＝4時，，由，可得，故B錯誤．當時，S＝4，當時，，因為為銳角三角形，所以，故C正確．設，則，由題設知，則，所以，故D正確．故選：ACD38．AB【分析】對選項A，由題意列式得，即可求得；對選項B，利用等邊三角形的性質(zhì)求解得，，即可得；對選項C，可得，即可判斷，對選項D，舉出反例即可判斷.【詳解】由題意，對于選項A，因為，所以的中垂線與雙曲線有交點，即有，解得，故選項A正確；對于選項B，因為，解得，所以，所以，故選項B正確；對于選項C，由題意可得顯然不等，故選項C錯誤；對于選項D，若為右頂點時，則為坐標原點，此時，故選項D錯誤.故選：AB.【點睛】關于雙曲線的離心率的求解，一般需要先列關于的等式或者不等式，從而求解出離心率的范圍；關于雙曲線的焦點三角形的應用，一般需要用到雙曲線的定義以及余弦定理列式來求解.39．BCD【分析】由雙曲線的標準方程得出，然后求出離心率判斷A，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)判斷B，然后結(jié)合雙曲線的定義判斷C,D.【詳解】對于A：，∴A錯誤；對于B：的最小值為，B正確；對于C：如圖，的周長（當且僅當Q，P，三點共線時取等號），C正確；對于D：如圖，設的內(nèi)切圓分別與，，切于點A，B，D，則，，，∴.又，∴，∴，∴M點的縱坐標為3，D正確.故選：BCD.40．ABD【分析】對于A，先求出點坐標，求出和的坐標，即可計算；對于B，將點坐標代入雙曲線的方程，建立與的齊次方程即可求出離心率；對于C，代斜率的坐標計算公式化簡可求，對于D，分別化簡，，，結(jié)合與的數(shù)量關系即可判斷【詳解】因為為正三角形，所以所以，所以故A正確將點坐標代入雙曲線方程可得即即即即設（），則解之得：或（舍）所以，所以故B正確故C錯誤設的內(nèi)切圓半徑為，則，，所以，即，故D正確故選：ABD41．【分析】根據(jù)向量的線性運算可得，再根據(jù)焦點三角形中的關系可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可列式求得離心率，進而求得漸近線的方程.【詳解】因為，故，即，故，根據(jù)雙曲線的定義有，故，又直線斜率為，故，所以，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)有，即，解得，故.故雙曲線的漸近線方程為故答案為：42．【分析】根據(jù)余弦定理得到，再利用面積公式計算得到答案.【詳解】不妨設點P在雙曲線的右支上，則，，在△F1PF2中，由余弦定理，，∴，∴.故答案為：.43．【解析】根據(jù)漸近線方程得斜率可得，根據(jù)雙曲線的定義以及勾股定理可得，可得，，從而可得雙曲線的方程．【詳解】設，則由漸近線方程為，，又，所以兩式相減，得，而，所以，所以，所以，，故雙曲線的方程為．故答案為：【點睛】本題考查了雙曲線的定義及性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力與運算能力，屬中檔題．44．9【分析】建立直角坐標系，由題意結(jié)合雙曲線的定義可得點的軌跡方程為，轉(zhuǎn)化條件得，由求出最大值后即可得解.【詳解】以所在直線為軸，的中垂線為軸，如圖建立直角坐標系，則，，由得點的軌跡方程為，所以，設，則，因為，所以，所以的最大值為9.故答案為：9.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算法則及向量模的坐標表示，考查了雙曲線定義的應用，屬于中檔題.45．【分析】設，由橢圓、雙曲線的定義可得，，由余弦定理可建立方程，轉(zhuǎn)化為離心率的關系式，根據(jù)橢圓離心率范圍，計算即可得到雙曲線離心率范圍.【詳解】設橢圓，雙曲線：，橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓離心率，雙曲線離心率，，如圖，由橢圓定義可得：，由雙曲線定義可得：，聯(lián)立可得，，由余弦定理可得：即，解得，因為，所以，，可得，故，故答案為：46．3【分析】在中，設，則或．分別運用余弦定理可求得答案.【詳解】解：由已知得．在中，設，則或．當時，由余弦定理，得，解得，所以．當時，由余弦定理，得，無解．故．故答案為：3.47．(1)3(2)【分析】（1）聯(lián)立直線l與橢圓的方程，消元整理得，根據(jù)根與系數(shù)的關系可求得弦長；（2）根據(jù)雙曲線的定義可求得三角形的周長.(1)解：因為雙曲線的焦點為，所以，設．聯(lián)立，整理得：，.(2)解：記的周長為，則．，又得．點在右支，故．同理：點在左支，．48．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式及雙曲線定義化簡可得，求出即可得出方程；（2）利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率并化簡可得，求出切線及切線與直線的交點，利用兩點間距離公式并結(jié)合雙曲線方程化簡可得.（1）設的內(nèi)切圓半徑為r，則，因為，所以，即，可得，所以，由雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，得，又，解得，所以的方程為.（2）由題意可知，直線l的斜率存在，設直線l的方程為.由可得由題意知.若點P在雙曲線右支的上半支上，則所以，故因為,所以,若點P在雙曲線右支的下半支上，則同理可得綜上，，代入直線l的方程得,即，由，可得，所以直線l的方程為,即因為直線的方程為x=2，所以直線l與直線的