2023-2024學(xué)年江蘇省連云港市贛榆縣海頭高級中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2023-2024學(xué)年江蘇省連云港市贛榆縣海頭高級中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)滿足當(dāng)時,,且當(dāng)時,;當(dāng)時,且).若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點對稱的點恰好有3對,則的取值范圍是()A. B. C. D.2.若圓錐軸截面面積為,母線與底面所成角為60°,則體積為()A. B. C. D.3.集合的子集的個數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.84.運行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為300,則判斷框中可以填()A. B. C. D.5.一個超級斐波那契數(shù)列是一列具有以下性質(zhì)的正整數(shù):從第三項起,每一項都等于前面所有項之和(例如:1,3,4,8,16…).則首項為2,某一項為2020的超級斐波那契數(shù)列的個數(shù)為()A.3 B.4 C.5 D.66.在空間直角坐標(biāo)系中,四面體各頂點坐標(biāo)分別為:.假設(shè)螞蟻窩在點,一只螞蟻從點出發(fā),需要在,上分別任意選擇一點留下信息,然后再返回點.那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是()A. B. C. D.7.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=,則下列結(jié)論中錯誤的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值 D.異面直線AE,BF所成的角為定值8.是定義在上的增函數(shù),且滿足:的導(dǎo)函數(shù)存在,且,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.9.已知平面向量,,,則實數(shù)x的值等于()A.6 B.1 C. D.10.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.11.設(shè),則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12.在棱長為a的正方體中,E、F、M分別是AB、AD、的中點,又P、Q分別在線段、上,且,設(shè)平面平面,則下列結(jié)論中不成立的是()A.平面 B.C.當(dāng)時,平面 D.當(dāng)m變化時,直線l的位置不變二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量與的夾角為,||=||=1,且⊥(λ),則實數(shù)_____.14.用數(shù)字、、、、、組成無重復(fù)數(shù)字的位自然數(shù),其中相鄰兩個數(shù)字奇偶性不同的有_____個.15.若關(guān)于的不等式在上恒成立,則的最大值為__________.16.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點,則實數(shù)的取值范圍為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,矩形和梯形所在的平面互相垂直,,,.(1)若為的中點,求證:平面;(2)若,求四棱錐的體積.18.(12分)某商場舉行優(yōu)惠促銷活動,顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一:每滿100元減20元;方案二:滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球(逐個有放回地抽?。?,所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表:(注:所有小球僅顏色有區(qū)別)紅球個數(shù)3210實際付款7折8折9折原價(1)該商場某顧客購物金額超過100元,若該顧客選擇方案二,求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率;(2)若某顧客購物金額為180元,選擇哪種方案更劃算?19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若在定義域內(nèi)是增函數(shù),且存在不相等的正實數(shù),使得,證明:.20.(12分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時,證明,在恒成立;(2)若在處取得極大值,求的取值范圍.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為實數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線與曲線交于,兩點,線段的中點為.(1)求線段長的最小值;(2)求點的軌跡方程.22.(10分)在中,角,,的對邊分別為,,,已知.(1)若,,成等差數(shù)列,求的值;(2)是否存在滿足為直角?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點對稱的圖象,分類利用圖像列出有3個交點時滿足的條件,解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點對稱的圖象,如圖所示,當(dāng)時,對稱后的圖象不可能與在的圖象有3個交點;當(dāng)時,要使函數(shù)關(guān)于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點,則,解得.故選:C.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點個數(shù)問題,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.2、D【解析】

設(shè)圓錐底面圓的半徑為,由軸截面面積為可得半徑,再利用圓錐體積公式計算即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為,由已知,,解得,所以圓錐的體積.故選:D【點睛】本題考查圓錐的體積的計算,涉及到圓錐的定義,是一道容易題.3、D【解析】

先確定集合中元素的個數(shù),再得子集個數(shù).【詳解】由題意,有三個元素,其子集有8個.故選:D.【點睛】本題考查子集的個數(shù)問題,含有個元素的集合其子集有個,其中真子集有個.4、B【解析】

由,則輸出為300,即可得出判斷框的答案【詳解】由,則輸出的值為300,,故判斷框中應(yīng)填?故選:.【點睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題,解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程,以便得出正確的結(jié)論,是基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)定義,表示出數(shù)列的通項并等于2020.結(jié)合的正整數(shù)性質(zhì)即可確定解的個數(shù).【詳解】由題意可知首項為2,設(shè)第二項為,則第三項為,第四項為,第五項為第n項為且,則,因為,當(dāng)?shù)闹悼梢詾?;即?個這種超級斐波那契數(shù)列,故選:A.【點睛】本題考查了數(shù)列新定義的應(yīng)用,注意自變量的取值范圍,對題意理解要準(zhǔn)確,屬于中檔題.6、C【解析】

將四面體沿著劈開,展開后最短路徑就是的邊,在中,利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開,展開后如下圖所示:最短路徑就是的邊.易求得,由,知,由余弦定理知其中,∴故選:C【點睛】本題考查了余弦定理解三角形,需熟記定理的內(nèi)容,考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.7、D【解析】

A.通過線面的垂直關(guān)系可證真假;B.根據(jù)線面平行可證真假;C.根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假;D.根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A.因為,所以平面,又因為平面,所以,故正確;B.因為,所以,且平面,平面,所以平面,故正確;C.因為為定值,到平面的距離為,所以為定值,故正確;D.當(dāng),,取為,如下圖所示:因為,所以異面直線所成角為,且,當(dāng),,取為,如下圖所示:因為,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以異面直線所成角為,且,由此可知:異面直線所成角不是定值,故錯誤.故選:D.【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用,涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算,難度較難.注意求解異面直線所成角時,將直線平移至同一平面內(nèi).8、D【解析】

根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得,構(gòu)建新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù),從而可得正確的選項.【詳解】因為是定義在上的增函數(shù),故.又有意義,故,故,所以.令,則,故在上為增函數(shù),所以即,整理得到.故選:D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,一般地,數(shù)的大小比較,可根據(jù)數(shù)的特點和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù),本題屬于中檔題.9、A【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】,,,,即,故選:A【點睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運算,屬于容易題.10、C【解析】

化簡得到,,再計算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】,故,故,.故選:.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)模,意在考查學(xué)生的計算能力.11、C【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對數(shù)的運算進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b?logab<1,logab<1?a>b,∴a>b是logab<1的充分必要條件,故選C.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵.12、C【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.【詳解】因為,所以,因為E、F分別是AB、AD的中點,所以,所以,因為面面,所以.選項A、D顯然成立;因為,平面,所以平面,因為平面,所以,所以B項成立;易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項不成立.故選:C【點睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

根據(jù)條件即可得出,由即可得出,進(jìn)行數(shù)量積的運算即可求出λ.【詳解】∵向量與的夾角為,||=||=1,且;∴;∴λ=1.故答案為:1.【點睛】考查向量數(shù)量積的運算及計算公式,以及向量垂直的充要條件.14、【解析】

對首位數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論,利用分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】①若首位為奇數(shù),則第一、三、五個數(shù)位上的數(shù)都是奇數(shù),其余三個數(shù)位上的數(shù)為偶數(shù),此時,符號條件的位自然數(shù)個數(shù)為個;②若首位數(shù)為偶數(shù),則首位數(shù)不能為,可排在第三或第五個數(shù)位上,第二、四、六個數(shù)位上的數(shù)為奇數(shù),此時,符合條件的位自然數(shù)個數(shù)為個.綜上所述,符合條件的位自然數(shù)個數(shù)為個.故答案為:.【點睛】本題考查數(shù)的排列問題,要注意首位數(shù)字的分類討論,考查分步乘法計數(shù)和分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.15、【解析】

分類討論,時不合題意;時求導(dǎo),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到在上的最小值,利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值,化簡得,構(gòu)造放縮函數(shù)對自變量再研究,可解,【詳解】令;當(dāng)時,,不合題意;當(dāng)時,,令,得或,所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減.因為,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以在處取極小值,即最小值為.若,,則,即.當(dāng)時,,當(dāng)時,則.設(shè),則.當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,所以,即,所以的最大值為.故答案為:【點睛】本題考查不等式恒成立問題.不等式恒成立問題的求解思路:已知不等式(為實參數(shù))對任意的恒成立,求參數(shù)的取值范圍.利用導(dǎo)數(shù)解決此類問題可以運用分離參數(shù)法;如果無法分離參數(shù),可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解,如果是二次不等式恒成立的問題,可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(,或,)求解.16、【解析】

先求得與關(guān)于軸對稱的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點,即方程有解.對分成三種情況進(jìn)行分類討論,由此求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為關(guān)于軸對稱的函數(shù)為,因為函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點,所以與的圖象有交點,方程有解.時符合題意.時轉(zhuǎn)化為有解,即,的圖象有交點,是過定點的直線,其斜率為,若,則函數(shù)與的圖象必有交點,滿足題意;若,設(shè),相切時,切點的坐標(biāo)為,則,解得,切線斜率為,由圖可知,當(dāng),即時,,的圖象有交點,此時,與的圖象有交點,函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點,綜上可得,實數(shù)的取值范圍為.故答案為:【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點以及對稱性,函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生分析問題,解決問題的能力,推理與運算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解析】

(1)設(shè)EC與DF交于點N,連結(jié)MN,由中位線定理可得MN∥AC,故AC∥平面MDF;(2)取CD中點為G,連結(jié)BG,EG,則可證四邊形ABGD是矩形,由面面垂直的性質(zhì)得出BG⊥平面CDEF,故BG⊥DF,又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG,從而得出DF⊥EG,得出Rt△DEG~Rt△EFD,列出比例式求出DE,代入體積公式即可計算出體積.【詳解】(1)證明:設(shè)與交于點,連接,在矩形中,點為中點,∵為的中點,∴,又∵平面,平面,∴平面.(2)取中點為,連接,,平面平面,平面平面,平面,,∴平面,同理平面,∴的長即為四棱錐的高,在梯形中,,∴四邊形是平行四邊形,,∴平面,又∵平面,∴,又,,∴平面,.注意到,∴,,∴.【點睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解,注意求體積的一些特殊方法——分割法、補形法、等體積法.①割補法:求一些不規(guī)則幾何體的體積時,常用割補法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決.②等積法:等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到,利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高,特別是在求三角形的高和三棱錐的高時,這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高,而通過直接計算得到高的數(shù)值.18、(1)(2)選擇方案二更為劃算【解析】

(1)計算顧客獲得7折優(yōu)惠的概率,獲得8折優(yōu)惠的概率,相加得到答案.(2)選擇方案二,記付款金額為元,則可取的值為126,144,162,180.,計算概率得到數(shù)學(xué)期望,比較大小得到答案.【詳解】(1)該顧客獲得7折優(yōu)惠的概率,該顧客獲得8折優(yōu)惠的概率,故該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率.(2)若選擇方案一,則付款金額為.若選擇方案二,記付款金額為元,則可取的值為126,144,162,180.,,則.因為,所以選擇方案二更為劃算.【點睛】本題考查了概率的計算,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.19、(1)當(dāng)時,在上遞增,在上遞減;當(dāng)時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,在上遞增;當(dāng)時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;(2)證明見解析【解析】

(1)對求導(dǎo),分,,進(jìn)行討論,可得的單調(diào)性;(2)在定義域內(nèi)是是增函數(shù),由(1)可知,,設(shè),可得,則,設(shè),對求導(dǎo),利用其單調(diào)性可證明.【詳解】解:的定義域為,因為,所以,當(dāng)時,令,得,令,得;當(dāng)時,則,令,得,或,令,得;當(dāng)時,,當(dāng)時,則,令,得;綜上所述,當(dāng)時,在上遞增,在上遞減;當(dāng)時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,在上遞增;當(dāng)時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;(2)在定義域內(nèi)是是增函數(shù),由(1)可知,此時,設(shè),又因為,則,設(shè),則對于任意成立,所以在上是增函數(shù),所以對于,有,即,有,因為,所以,即,又在遞增,所以,即.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)在極值點偏移中的應(yīng)用,考查學(xué)生分類討論與轉(zhuǎn)化的思想,綜合性大,屬于難題.

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