2023人教版新教材高中數(shù)學必修第二冊同步練習6

6.4平面向量的應用

A6.4.1平面幾何中的向量方法

642向量在物理中的應用舉例

基礎過關練

題組一向量在平面兒何中的應用

1.已知P是△48C所在平面內一點，且|雨一玩而+近-2可|=0,則△ABC的形

狀一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C等腰三角形D.等邊三角形

2.在直角三角形ABC中,。是斜邊AB的中點，尸為線段CD的中點，則嗎歲二

（）

A.2B.4C.5D.10

3.侈選）（2022廣東深圳第三高級中學月考）在△A8C所在平面內有三點0、N、P,

下列說法正確的是（）

A.若|瓦?匚|赤目泥則點。是△人&7的外心

B.若海+而+覺=0,則點N是AABC的重心

C.若方?麗=麗?麗=麗?方，則點。是△ABC的內心

D若儒+需）?覺力，且需點i=牌△為等邊三角形

4.如圖，已知△A8C的面積為14cm2,D,E分別為邊AB.BC上的點，且

AD:DB=BE:EC=2：\,AE,CD交于點P,連接BP,貝ljAAPC的面積為

cm2.

c

E

5.已知正方形ABC。中,石、尸分別是CQ、AQ的中點Cb交于點P,連接AP.

用向量法證明:

⑴8￡_LC￡

(2)AP=AB.

6.如圖，在△A3C中/34。=120%3=4。=3,點。在線段BC上，且BD=：DC求:

(1)AO的長；

⑵乙D4C的大小.

RD

題組二向量在物理中的應用

7.（2021福建三明三地三校期中聯(lián)考）在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境,

兩個人共提一個旅行包.當兩人提著質量為G的旅行包時,夾角為。，兩人拉力的大

小都為胤若因則0的值為()

A.30°B,60°

C.90°D,120°

8一艘漁船距對岸4km,以2km/h的速度向垂直于對岸的方向航行,到達對岸時,

船的實際航程為8km,則河水的流速為（）

A.2V3km/hB.2km/h

C.V3km/hD.3km/h

9.如圖，一個力方作用于小車G使小車G發(fā)生了40米的位移s,廠的大小為50N,

且與小車的位移方向的夾角為60%是與小車位移方向相同的單位向量，則尸在小

車位移上的投影向量為力/做的功為.

1/F

G四。.

S

-C）

10.如圖所示，一條河的兩岸互相平行，河的寬度占500m,一艘船從A點出發(fā)航行到

河對岸，船航行速度的大小為同=10km/h,水流速度的大小為限二4km/h,設也和v2

的夾角為a0°＜。＜180）

⑴當cos0多大時，船能垂直到達對岸？

⑵當船垂直到達對岸時，航行所需時間是否最短?為什么?

11.已知一條河的兩岸平行，河的寬度為dm,某人從河的北岸出發(fā)到河對岸,河水自

西向東流速的大小為|M=1m/s,設某人在靜水中游泳的速度為力，在流水中實際速

度為V2.

⑴要使此人游的路程最短，且|加二/m/s,求此人游泳的方向與水流方向的夾角a

和以的大??；

⑵要使此人游的時間最短，且恒m/s,求他實際前進的方向與水流方向的夾角

￡和以的大小.

答案與分層梯度式解析

基礎過關練

1.B\?尸是△ABC所在平面內一點，且|雨一玩|-\PB+PC-2同|=0,

A\CB\-\（PB-~PA）+（PC-明|=0,

：.\CB\=\AB+AC\,：.\AB-AC\=\AB+AC\,

兩邊平方并化簡得萬?AB=0,：.AC1AB,

...ZBAC=90°,^^ABC是直角三角形.無法判斷AABC是不是等腰三角形.故選B.

PA2+PB2_\PA\2+\PB\2_VA2+PB2

2UPC2=_-=PC2

_（京+心2+（定+函2

PC2

_2[PC\2+2PC-（CA+CB＞）+\AB\2

一」町

c2PC-2CD+\AB\2

=2+_|巴_

,4玄?（-2定）+麗2

_iw

=^7-6=42-6=10.

\PC\2

3.ABD對于A,因為=\OB\=I反I，所以點O至（UABC的三個頂點的距離相

等，所以O為△ABC的外心，故A正確.

對于B,設D為BC的中點，由+而+枇=0得2而=—海，所以

|俞|：\ND\=2：1,所以N是"3。的重心，故B正確.

對于C,由而-PB=PB-~PC^（PA-PC）-PB=O^\iCA?麗=0,所以AC_LP3；同理可

得A8_LPC,R1_LCB,所以點P是△ABC的垂心，故C錯誤.

對于D，由儒j+符）.前=°得角A的平分線垂直于BC,所以A8=AC由瑞?]￡j=

3得cosNB4C=|,所以N84Cq,所以△4BC為等邊三角形，故D正確.故選ABD.

4.答案4

解析設屈=。嬴="則荏=AB+^'BC=a+hjDC=場+前=^a+b.

?.?點A,P,E共線，點D,P,C共線,

，存在實數(shù)2和也使荏=AAE=^a+^b^DP=畫=^ia+/ib.

又,而=近+而=(：+詞a+她

h=-+-fi,(A=~,

33

.J2解得)I

:?S△pAti=~^S△ABC—14X^=8(0111-),ISAPBC=14X^1——^=2(cm2),

.*??SAAPc=14-8-2=4(cm").

5.證明如圖，建立平面直角坐標系％Oy,

不妨設45=2,則A(0,0),Jg(2/0),C(2,2),￡(l,2),F(0,l).

W：~BE=~0E-礪=(1,2)-(2,0)=(-1,2),而=0F-OC=(0,l)-(2,2)=(-2,-l)/

：,~BE-CF=-lx(-2)+2x(-l)=0,

：.BEICF.^iBELCF.

⑵設P[x,y),則而=(%,y-l),喬=(%-2,y),

由⑴知方=(-2,-1),屁=(-1,2),

'：FP||而,.?.-尸-2。，-1),即x=2y-2.①

同理，由加||帝，得尸-2%+4.②

f_6

聯(lián)立①②，解得|二即

?藝咱+(于=4=研

明二而即AP=AB.

6.解析⑴設荏=a,元="則而=荏+而=荏+：前=AB+^(AC-

AB)^AB+-AC=-a+-b.

73333

.*.IAD\2=AD2=(-a+-b^=-a2+2x-a-b+-Z?2=-x9+2x-x3x3x

11\33799999

1

cos1200+-x9=3

9

.,.AD=V3.

⑵設/94。=。(0。＜*120。),則e為而與左的夾角.

.zjAD-AC(|a+|&)-b|ab+32|x3x3x(-1)+|x9

\AD\\AC\V3X33V338

，＞90。,即ND4C=90。

7.B設兩人用力分別為尸點2,則因H尸2H凡尸1+同=@,???4+F/+2*?尸2=4

又回號|G|,，2回2+2|呼cos又3］砰，

解得cos??.伊=60。.故選B.

8.A如圖，設A為漁船,3C所在直線為對岸,A3=4km,實際航程AC=8km,則N

BCA=30°,又|VAB|=2km/h,AIVBCI^VSkm/h,故選A.

9.答案25e；l000J

解析???|F|=50,且方與小車的位移方向的夾角為60。,.??/在小車位移上的投影向

量為團?cos60%=25e.

???力尸作用于小車G,使小車G發(fā)生了40米的位移，

.?.力廠做的功W=25x40=lOOO(J).

10.解析⑴船垂直到達對岸，即也+也與以垂直，即(也+也)”^,

所以也”+諺=0,即21cos例"?2|2=0,

所以40cos例46=0,解得cos0=-|.

所以當cos時,船能垂直到達對岸.

⑵設船航行到對岸所需的時間為/h,

則t=---=05=―-—.

Wi|sin6lOsin020sin8

故當Q90。時，船的航行時間最短，最短時間為/h.故當船垂直到達對岸時,航行所

需時間不是最短的.

11.解析⑴要使此人游的路程最短，只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度

與對岸垂直,如圖.

此人游泳的方向與水流方向的夾角a