初中八年級(jí)數(shù)學(xué) 勾股定理 導(dǎo)學(xué)案

八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第十七章《勾股定理》四步導(dǎo)學(xué)案

17.1勾股定理(1)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

知識(shí)：了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理。

能力：培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題總結(jié)規(guī)律的意識(shí)和能力。

情感：介紹我國(guó)古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，促其勤

奮學(xué)習(xí)。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

1.勾股定理的內(nèi)容及證明。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

1.勾股定理的證明。

教學(xué)流程

【導(dǎo)課】

目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號(hào)，

如地球上人類的語(yǔ)言、音樂(lè)、各種圖形等。我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定

理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會(huì)識(shí)別這種語(yǔ)言的。這個(gè)事實(shí)可以說(shuō)明

勾股定理的重大意義。尤其是在兩千年前，是非常了不起的成就。

讓學(xué)生畫一個(gè)直角邊為3cm和4cm的直角AABC,用刻度尺量出AB的長(zhǎng)。

以上這個(gè)事實(shí)是我國(guó)古代3000多年前有一個(gè)叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說(shuō)：“把一根直尺折

成直角，兩段連結(jié)得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五?！边@句話意思是說(shuō)一個(gè)直角

三角形較短直角邊(勾)的長(zhǎng)是3,長(zhǎng)的直角邊(股)的長(zhǎng)是4,那么斜邊(弦)的長(zhǎng)是5。

再畫一個(gè)兩直角邊為5和12的直角AABC,用刻度尺量AB的長(zhǎng)。

你是否發(fā)現(xiàn)32+42與52的關(guān)系,52+122和132的關(guān)系,即32+42=52,52+122=132,那么就

有勾2+股2=弦2。對(duì)于任意的直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？

【閱讀質(zhì)疑自主探究】

例1已知：在aABC中，ZC=90",NA、ZB>/C的對(duì)邊為a、b、c?求證：a2+b2=c2?

分析：⑴讓學(xué)生準(zhǔn)備多個(gè)三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，讓學(xué)生拼擺不同的形狀，利

用面積相等進(jìn)行證明。

⑵拼成如圖所示，其等量關(guān)系為：4sA+Sd'iE=S大正I一ba|I~\~~)

4X；ab+(b—a)2=c2,化簡(jiǎn)可證。b|

⑶發(fā)揮學(xué)生的想象能力拼出不同的圖形，進(jìn)行證明。b\

(4)勾股定理的證明方法，達(dá)300余種。這個(gè)古老的精彩的證法，|F1/I

出自我國(guó)古代無(wú)名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛(ài)一bab

國(guó)情懷。

例2已知：在aABC中，ZC=90°,/A、ZB>/C的對(duì)邊為a、b、c

222

求證：a+b=co

分析：左右兩邊的正方形邊長(zhǎng)相等，則兩個(gè)正方形的面積相等。

左邊S=4X-ab+c2

2

右邊S=（a+b）2

左邊和右邊面積相等，即

4X-ab+c2=（a+b）2

2

化簡(jiǎn)可證。

【多元互動(dòng)合作探究】

A

I.勾股定理的具體內(nèi)容是：__________________________________。R

2.如圖，直角AABC的主要性質(zhì)是：ZC=90°,（用幾何語(yǔ)言表示）/

⑴兩銳角之間的關(guān)系：_____________________;/

⑵若D為斜邊中點(diǎn)，則斜邊中線______________；/c

⑶若NB=30°,則NB的對(duì)邊和斜邊：；BL_.

⑷三邊之間的關(guān)系：0

3.AABC的三邊a、b、c,若滿足b2=a2+c2,則=90°；若滿足b2>c2+a2,

則/B是角；若滿足b2<c2+a2,則NB是角。

4.根據(jù)如圖所示，利用面積法證明勾股定理

【訓(xùn)練檢測(cè)目標(biāo)探究】

1.已知在RtZ\ABC中，ZB=90°,a、b、c是aABC的三邊，則

（l）c=_______________?（已知a、b,求c）

(2)a=_______o（已知b、c,求a）

(3)b二_______o（已知a、c,求b）

2.如下表，表中所給的每行的三個(gè)數(shù)a、b、c,有a〈b<c,試根據(jù)表中已有數(shù)的規(guī)律,

寫出當(dāng)a=19時(shí)，b,c的值，并把b、c用含a的代數(shù)式表示出來(lái)。

3、4、532+42=52

5、12、1352+122=132

7、24、2572+242=252

9、40、4192+402=4]2

19,b、c192+b2=c2

3.在AABC中，ZBAC=120°,AB=AC=10A/3cm,一動(dòng)點(diǎn)P從B向

C以每秒2cm的速度移動(dòng)，問(wèn)當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)多少秒時(shí)，PA與腰垂直。

4.已知：如圖，在aABC中，AB=AC,D在CB的延長(zhǎng)線上。

求證：（DAD2-AB2=BD?CD

⑵若D在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論。

【遷移應(yīng)用拓展探究】

基礎(chǔ)訓(xùn)練有關(guān)訓(xùn)練

布置作業(yè)

板書設(shè)計(jì)

教后反思

授課時(shí)間：累計(jì)課時(shí)：

第十七章勾股定理

17.1勾股定理（2）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

知識(shí)：會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。

能力：樹立數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想。

情感：

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

1.勾股定理的簡(jiǎn)單計(jì)算.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

1.勾股定理的靈活運(yùn)用。

教學(xué)流程

【導(dǎo)課】

復(fù)習(xí)勾股定理的文字?jǐn)⑹?；勾股定理的符?hào)語(yǔ)言及變形。學(xué)習(xí)勾股定理重在應(yīng)用。

【多元互動(dòng)合作探究】

例1（補(bǔ)充）在RtZ\ABC,NC=90°

⑴已知a=b=5,求Co

⑵己知a=l,c=2,求b。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：b=l：2,c=5,求a。

⑸已知b=15,NA=30°,求a,c。

分析：剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形，理清邊之間的關(guān)系。⑴已知兩

直角邊，求斜邊直接用勾股定理。⑵⑶已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的

便形式。⑷⑸已知一邊和兩邊比，求未知邊。通過(guò)前三題讓學(xué)生明確在直角三角形中，己知

任意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學(xué)生明確已知一邊和兩邊關(guān)系，也可以求出未知邊，

學(xué)會(huì)見比設(shè)參的數(shù)學(xué)方法，體會(huì)由角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想。

例2（補(bǔ)充）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和12,求第三邊。C

分析：已知兩邊中較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分別

進(jìn)形計(jì)算。讓學(xué)生知道考慮問(wèn)題要全面，體會(huì)分類討論思想。/\

例3（補(bǔ)充）己知：如圖，等邊AABC的邊長(zhǎng)是6cm。/\

⑴求等邊4ABC的高。/；\

⑵求SAABC->ADB

分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要

創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做

法。欲求高CD,可將其置身于RtZ\ADC或RtZ\BDC中，

但只有一邊已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可求AD=CD=—AB=3cm,則此題可解。

2

【訓(xùn)練檢測(cè)目標(biāo)探究】

1.填空題

⑴在RtZXABC,ZC=90°,a=8,b=15,貝Uc=。

(2?RtAABC,ZB=90°,a=3,b=4,則c=。

⑶在RtZ\ABC,ZC=90°,c=10,a：b=3：4,則a=，b=。

⑷一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長(zhǎng)分別為o

⑸已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和5cm,,則第三邊長(zhǎng)為。

⑹已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2cm,則它的高為,面積為o

2.已知：如圖，在aABC中，ZC=60",AB=4V3,AC=4,AD是BC邊上的高，求

BC的長(zhǎng)。

3.已知等腰三角形腰長(zhǎng)是10,底邊長(zhǎng)是16,求這個(gè)等腰三角形的面積。

【遷移應(yīng)用拓展探究】

1.填空題

在RtZ\ABC,ZC=90°,

⑴如果a=7,c=25,則b=。

⑵如果NA=30°,a=4,則b=。

⑶如果/A=45°,a=3,貝ijc=。

⑷如果c=10,a-b=2,則b=。

⑸如果a、b、c是連續(xù)整數(shù)，則a+b+c=。

⑹如果b=8,a：c=3：5,貝！jc=。

2.已知：如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,AD_LDC,

AB±AC,NB=60°,CD=lcm,求BC的長(zhǎng)。

布置作業(yè)

板書設(shè)計(jì)

教后反思

授課時(shí)間：累計(jì)課時(shí)：

第十七章勾股定理

17.1勾股定理(3)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

知識(shí)：會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

能力：樹立數(shù)形結(jié)合的思想

情感：樹立數(shù)形結(jié)合的思想

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

1.勾股定理的應(yīng)用。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

1.實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。

【導(dǎo)課】

勾股定理在實(shí)際的生產(chǎn)生活當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)和使用解決了許多生

活中的問(wèn)題，今天我們就來(lái)運(yùn)用勾股定理解決一些問(wèn)題，你可以嗎？試一試。

【多元互動(dòng)合作探究】

例1(教材P66頁(yè)探究1)

分析：(1)在實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，注意勾股定理的使用條件，即門框?yàn)殚L(zhǎng)方形，

四個(gè)角都是直角。⑵讓學(xué)生深入探討圖中有幾個(gè)直角三角形？圖中標(biāo)字母的線段哪條最長(zhǎng)？

⑶指出薄木板在數(shù)學(xué)問(wèn)題中忽略厚度，只記長(zhǎng)度，探討以何種方式通過(guò)？⑷轉(zhuǎn)化為勾股定理

的計(jì)算，采用多種方法。⑸注意給學(xué)生小結(jié)深化數(shù)學(xué)建模思想，激發(fā)數(shù)學(xué)興趣。

例2(教材P67頁(yè)探究2)r

分析：⑴在aAOB中，已知1AB=3,AO=2.5,利用勾股定理計(jì)算OB。*

(2)在aCOD中，已知CD=3,CO=2,利用勾股定理計(jì)算OD。\

則BD=OD—OB,通過(guò)計(jì)算可知BDWAC。

⑶進(jìn)一步讓學(xué)生探究AC和BD的關(guān)系，給AC不同的值，計(jì)算BD。,U。\

【訓(xùn)練檢測(cè)目標(biāo)探究】

1.小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹,

這棵紅葉樹的離地面的高度是米。

2.如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是46米，則這兩株樹之間的垂直距離是

米，水平距離是一^米。

B

CA

3題圖

3.如圖，一根12米高的電線桿兩側(cè)各用15米的鐵絲固定，兩個(gè)固

定點(diǎn)之間的距離是。

4.如圖，原計(jì)劃從A地經(jīng)C地到B地修建一條高速公路，后因技術(shù)

攻關(guān)，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造價(jià)為300萬(wàn)元，隧道總

長(zhǎng)為2公里，隧道造價(jià)為500萬(wàn)元，AC=80公里，BC=60公里，則改建后可省工程費(fèi)用是

多少？

【遷移應(yīng)用拓展探究】

1.如圖，欲測(cè)量松花江的寬度，沿江岸取B、C兩點(diǎn)，在江對(duì)岸取一

點(diǎn)A,使AC垂直江岸，測(cè)得BC=50米，ZB=60°,則江面的寬度

為。

2.有一個(gè)邊長(zhǎng)為1米正方形的洞口，想用一個(gè)圓形蓋去蓋住這個(gè)洞口，則圓形蓋半徑至

少為米。

3.一根32厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在P、Q兩點(diǎn)，PQ=16厘米，且RP_LPQ,

則RQ=________厘米。

4.如圖，鋼索斜拉大橋?yàn)榈妊切?，支柱?4米，/B=NC=30°,

E、F分別為BD、CD中點(diǎn)，試求B、C兩點(diǎn)之間的距離，鋼索AB和AE

的長(zhǎng)度。（精確到1米）

布置作業(yè)

板書設(shè)計(jì)

教后反思

授課時(shí)間：累計(jì)課時(shí)：

第十七章勾股定理

第十七章勾股定理（4）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

知識(shí)：1.會(huì)用勾股定理解決較綜合的問(wèn)題。

能力：樹立數(shù)形結(jié)合的思想。

情感：

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

1.重點(diǎn)：勾股定理的綜合應(yīng)用.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

1.勾股定理的綜合應(yīng)用。

【導(dǎo)課】

復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容。本節(jié)課探究勾股定理的綜合應(yīng)用。

【多元互動(dòng)合作探究】

例1已知：在RtZXABC中，ZC=90°,CD_LBC于D,NA=60°,CD=百，

求線段AB的長(zhǎng)。

分析：本題是“雙垂圖”的計(jì)算題，“雙垂圖”是中考重要的考點(diǎn)，所以要求學(xué)生對(duì)圖形及

性質(zhì)掌握非常熟練，能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識(shí)點(diǎn)有一：3個(gè)直角三角形，

三個(gè)勾股定理及推導(dǎo)式BC2-BD2=AC2-AD2,兩對(duì)相等銳角，四對(duì)互余角，及30°

或45°特殊角的特殊性質(zhì)等.C

要求學(xué)生能夠自己畫圖，并正確標(biāo)圖。引導(dǎo)學(xué)生分析：欲求AB,可由

AB=BD+CD,分別在兩個(gè)三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。

或欲求AB,可由,分別在兩個(gè)三角形中利用勾股定理和f-------------

特殊角，求出AC=2和BC=6。

例2己知：如圖，△ABC中，AC=4,ZB=45°,ZA=60°,根據(jù)題設(shè)C

B

AD

可知什么?

分析：由于本題中的aABC不是直角三角形，所以根據(jù)題設(shè)只能直接求得/ACB=75°。在

學(xué)生充分思考和討論后，發(fā)現(xiàn)添置AB邊上的高這條輔助線，就可以求得AD,CD,BD,

AB,BC及SAABC。讓學(xué)生充分討論還可以作其它輔助線嗎？為什么？

小結(jié)：可見解一般三角形的問(wèn)題常常通過(guò)作高轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題。并指出如何作

輔助線？

解略。

例3己知：如圖，ZB=ZD=90°,ZA=60°,AB=4,CD=2。求：

四邊形ABCD的面積。A

分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC,或延長(zhǎng)AB、

DC交于F,或延長(zhǎng)AD、BC交于E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)

教學(xué)中要逐層展示給學(xué)生，讓

一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡(jiǎn)單。7

|/E

學(xué)生深入體會(huì)。D--

C

解：延長(zhǎng)AD、BC交于E。

VZA=Z60°,ZB=90°,AZE=30°。

/.AE=2AB=8,CE=2CD=4,

BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=屈=4百。

VDE2-C