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專題六《導(dǎo)數(shù)》講義6.4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點知識梳理.函數(shù)的零點1.判斷、證明或討論函數(shù)零點個數(shù)的方法:利用零點存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0.①直接法:判斷一個零點時,若函數(shù)為單調(diào)函數(shù),則只需取值證明f(a)·f(b)<0;②分類討論法:判斷幾個零點時,需要先結(jié)合單調(diào)性,確定分類討論的標準,再利用零點存在性定理,在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)·f(b)<0.2.已知函數(shù)有零點求參數(shù)范圍常用的方法:(1)分離參數(shù)法:一般命題情境為給出區(qū)間,求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍,通常解法為從f(x)中分離出參數(shù),然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值,根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分類討論法:一般命題情境為沒有固定區(qū)間,求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍,通常解法為結(jié)合單調(diào)性,先確定參數(shù)分類的標準,在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意,將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起,即為所求參數(shù)范圍.題型一.討論零點個數(shù)1.函數(shù)f(x)=13x3+2x2+3x+42.設(shè)函數(shù)f(x)=13x﹣lnx(x>0),則y=f(A.在區(qū)間(1e,1),(1,e)內(nèi)均有零點B.在區(qū)間(1e,1),(1,e)內(nèi)均無零點C.在區(qū)間(1e,1)內(nèi)有零點,在區(qū)間(1,e)內(nèi)無零點D.在區(qū)間(1e,1),內(nèi)無零點,在區(qū)間(1,e3.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足當(dāng)x>0時f(x)=12x2﹣xlnx,則關(guān)于x的方程f(x)=A.對任意a∈R,恰有一解 B.對任意a∈R,恰有兩個不同解 C.存在a∈R,有三個不同解 D.存在a∈R,無解題型二.已知零點求參考點1.參變分離1.已知函數(shù)f(x)=(x2﹣4x+1)ex﹣a恰有三個零點,則實數(shù)a的取值范圍為()A.(﹣2e3,0) B.(?6e,0) C.(?6e,2e3)2.已知函數(shù)f(x)=3x+4lnx?x?aA.(0,2) B.[2,4ln3﹣2) C.(2,4ln2?12) 考點2.轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)的交點問題3.已知函數(shù)f(x)=12ax2+cosx﹣1(a∈R),若函數(shù)f(x)有唯一零點,則A.(﹣∞,0) B.(﹣∞,0)∪[1,+∞) C.(﹣∞,0]∪[1,+∞) D.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)4.已知函數(shù)f(x)=e2x﹣ax2+bx﹣1,其中a,b∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù),若f(1)=0,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),函數(shù)f′(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個零點,則a的取值范圍是()A.(e2﹣3,e2+1) B.(e2﹣3,+∞) C.(﹣∞,2e2+2) D.(2e2﹣6,2e2+2)考點3.討論參數(shù)——單調(diào)性+極值、最值5.若函數(shù)f(x)=ex(x3﹣3ax﹣a)有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,12) B.(12,+∞) C.(0,14)6.已知函數(shù)f(x)=2e2x﹣2ax+a﹣2e﹣1,其中a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù).若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個零點,則a的取值范圍是()A.(2,2e﹣1) B.(2,2e2) C.(2e2﹣2e﹣1,2e2) D.(2e﹣1,2e2﹣2e﹣1)7.(2020·全國1)已知函數(shù)f(x)=ex﹣a(x+2).(1)當(dāng)a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.題型三.隱零點問題——設(shè)而不求,虛設(shè)零點1.已知函數(shù)f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0.則a的取值范圍是.2.若函數(shù)f(x)=x2+2x?alnx(a>0)有唯一零點x0,且m<x0<n(m,n為相鄰整數(shù)),則mA.1 B.3 C.5 D.73.已知函數(shù)f(x)=lnx+1ax(a∈R且a(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a=2時,若關(guān)于x的方程f(x)=m有兩個實數(shù)根x1,x2,且x1<x2,求證:x1+x2>1.課后作業(yè).零點1.已知函數(shù)f(x)=(x2+a)ex有最小值,則函數(shù)y=f'(x)的零點個數(shù)為()A.0. B.1 C.2 D.不確定2.若函數(shù)f(x)=x33?x2﹣3x﹣m在區(qū)間[A.(﹣9,18) B.[?23,53) C.(﹣9,53)3.設(shè)函數(shù)f(x)=(x﹣1)ex,若關(guān)于x的不等式f(x)<ax﹣1有且僅有兩個整數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(﹣1,e2] B.(1,C.(1,e24.函數(shù)f(x)=aex+2x在R上有兩個零點x1,x2,且x2x1A.?ln22 B.﹣ln2 C.?2e5.已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax2.(1)若a=12,證明:當(dāng)x≥0時,f(x)(2)若f(x)
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