5.1.1變化率問題（教學(xué)設(shè)計(jì)）高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性）

變化率問題教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容1.通過求高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在具體時(shí)刻的瞬時(shí)速度，體會(huì)求瞬時(shí)速度的一般方法.2.通過求曲線處某點(diǎn)處切線斜率的過程，體會(huì)求切線斜率的一般方法.3.理解函數(shù)的平均變化率，瞬時(shí)變化率的概念．課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.體會(huì)由平均速度過渡到瞬時(shí)速度的過程，理解平均速度、瞬時(shí)速度的區(qū)別和聯(lián)系.2.掌握瞬時(shí)速度的概念，會(huì)求解瞬時(shí)速度的相關(guān)問題.3.掌握割線與切線的定義，會(huì)求其斜率.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)瞬時(shí)速度的概念、割線與切線的定義及斜率求法.2、教學(xué)難點(diǎn)割線與切線的斜率.教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題為了描述現(xiàn)實(shí)世界中的運(yùn)動(dòng)、變化現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)．刻畫靜態(tài)現(xiàn)象的數(shù)與刻畫動(dòng)態(tài)現(xiàn)象的函數(shù)都是數(shù)學(xué)中非常重要的概念．在對(duì)函數(shù)的深入研究中，數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了微積分，這是具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上的里程碑．微積分的創(chuàng)立與處理四類科學(xué)問題直接相關(guān)．一是已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度，反之，已知物體的加速度作為時(shí)間的函數(shù)，求速度與路程；二是求曲線的切線；三是求函數(shù)的最大值與最小值；四是求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等，歷史上科學(xué)家們對(duì)這些問題的興趣和研究經(jīng)久不衰，終于在17世紀(jì)中葉，牛頓和萊布尼茨在前人探索與研究的基礎(chǔ)上，憑著他們敏銳的直覺和豐富的想象力，各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分．導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，蘊(yùn)含著微積分的基本思想；導(dǎo)數(shù)定量地刻畫了函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等性質(zhì)的基本方法，因而也是解決諸如增長(zhǎng)率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等實(shí)際問題的基本工具．在本章，我們將通過豐富的實(shí)際背景和具體實(shí)例，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想，感悟極限的思想．通過具體實(shí)例感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)和解決實(shí)際問題中的作用，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的意義．導(dǎo)數(shù)的概念及其意義在必修第一冊(cè)中，我們研究了函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)定性地研究了一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，知道“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”是越來越慢的，“指數(shù)函數(shù)”比“直線上升”快得多．進(jìn)一步地，能否精確定量地刻畫變化速度的快慢呢？下面我們就來研究這個(gè)問題．變化率問題問題1高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度探究:在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對(duì)于水面的高度（單位：m）與起跳后的時(shí)間（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系．如何描述運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度呢？直覺告訴我們，運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過程中，在上升階段運(yùn)動(dòng)得越來越慢，在下降階段運(yùn)動(dòng)得越來越快．我們可以把整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間段分成許多小段，用運(yùn)動(dòng)員在每段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地描述他的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．例如，在這段時(shí)間里，；在這段時(shí)間里，一般地，在這段時(shí)間里，．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念思考:計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度，你發(fā)現(xiàn)了什么？你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？我們發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度為0．顯然，在這段時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)員并不處于靜止?fàn)顟B(tài)．因此，用平均速度不能準(zhǔn)確反映運(yùn)動(dòng)員在這一時(shí)間段里的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．為了精確刻畫運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要引入瞬時(shí)速度的概念．我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度（instantaneousvelocity）．探究:瞬時(shí)速度與平均速度有什么關(guān)系？你能利用這種關(guān)系求運(yùn)動(dòng)員在s時(shí)的瞬時(shí)速度嗎？設(shè)運(yùn)動(dòng)員在時(shí)刻附近某一時(shí)間段內(nèi)的平均速度是，可以想象，如果不斷縮短這一時(shí)間段的長(zhǎng)度，那么將越來越趨近于運(yùn)動(dòng)員在時(shí)刻的瞬時(shí)速度．用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究問題是微積分的重要思想．為了求運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度，我們?cè)谥蠡蛑?，任意取一個(gè)時(shí)刻，是時(shí)間改變量，可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0．當(dāng)時(shí)，在1之后，當(dāng)時(shí)，在1之前．當(dāng)時(shí)，把運(yùn)動(dòng)員在時(shí)間段內(nèi)近似看成做勻速直線運(yùn)動(dòng)，計(jì)算時(shí)間段內(nèi)的平均速度，用平均速度近似表示運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度．當(dāng)時(shí)，在時(shí)間段內(nèi)可作類似處理．為了提高近似表示的精確度，我們不斷縮短時(shí)間間隔，得到如下表格（表）．表當(dāng)時(shí)，在時(shí)間段內(nèi)當(dāng)時(shí)，在時(shí)間段內(nèi)－0.01－0.01－－0.001－0.001－－0.0001－0.0001－－0.00001－0.00001－－0.000001－0.000001－……環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念觀察:給出更多的值，利用計(jì)算工具計(jì)算對(duì)應(yīng)的平均速度的值．當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，平均速度有什么變化趨勢(shì)？我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)無(wú)限趨近于0，即無(wú)論從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無(wú)限趨近于1時(shí)，平均速度都無(wú)限趨近于．事實(shí)上，由可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，也無(wú)限趨近于0，所以無(wú)限趨近于．這與前面得到的結(jié)論一致．?dāng)?shù)學(xué)中，我們把叫做“當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，的極限”，記為．從物理的角度看，當(dāng)時(shí)間間隔無(wú)限趨近于0時(shí)，平均速度就無(wú)限趨近于時(shí)的瞬時(shí)速度．因此，運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度．思考:（1）求運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度；（2）如何求運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水過程中在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度？解：（1）運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度．（2）運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水過程中在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度．練習(xí)（第61頁(yè)）1．求問題1中高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度．1．【解析】，所以，．所以，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為．2．火箭發(fā)射后，其高度（單位：m）為，求：（1）在這段時(shí)間里，火箭爬高的平均速度；（2）發(fā)射后第10s時(shí)，火箭爬高的瞬時(shí)速度．2．【解析】（1）因?yàn)?，所以在這段時(shí)間里，火箭爬高的平均速度為；（2）因?yàn)椋园l(fā)射后第時(shí)，火箭爬高的瞬時(shí)速度．3．一個(gè)小球從5m的高處自由下落，其位移（單位：m）與時(shí)間（單位：s）之間的關(guān)系為．求時(shí)小球的瞬時(shí)速度．3．【解析】由題意知：，當(dāng)時(shí)，小球的瞬時(shí)速度為．環(huán)節(jié)四辨析理解，深化概念問題2拋物線的切線的斜率我們知道，如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)圓相切．對(duì)于一般的曲線，如何定義它的切線呢？下面我們以拋物線為例進(jìn)行研究．探究：你認(rèn)為應(yīng)該如何定義拋物線在點(diǎn)處的切線？與研究瞬時(shí)速度類似，為了研究拋物線在點(diǎn)處的切線，我們通常在點(diǎn)的附近任取一點(diǎn)，考察拋物線的割線的變化情況．觀察：如圖，當(dāng)點(diǎn)沿著拋物線趨近于點(diǎn)時(shí)，割線有什么變化趨勢(shì)？我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)無(wú)限趨近于點(diǎn)時(shí)，割線無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線稱為拋物線在點(diǎn)處的切線．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化探究我們知道，斜率是確定直線的一個(gè)要素．如何求拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率呢？從上述切線的定義可見，拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率與割線的斜率有內(nèi)在聯(lián)系．記=1\*GB3①，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．于是，割線的斜率．=1\*GB3①可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0．我們可以用割線的斜率近似地表示切線的斜率，并且可以通過不斷縮短橫坐標(biāo)間隔來提高近似表示的精確度，得到如下表格（表）．表－0.011.990.012.01－0.0011.9990.0012.001－0.00011.99990.00012.0001－0.000011.999990.000012.00001－0.0000011.9999990.0000012.000001……觀察：利用計(jì)算工具計(jì)算更多割線的斜率的值，當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，割線的斜率有什么變化趨勢(shì)？我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，即無(wú)論從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無(wú)限趨近于1時(shí)，割線的斜率都無(wú)限趨近于2．事實(shí)上，由可以直接看出，當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于2．我們把2叫做“當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，的極限”，記為．從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標(biāo)間隔無(wú)限變小時(shí)，點(diǎn)無(wú)限趨近于點(diǎn)，于是割線無(wú)限趨近于點(diǎn)處的切線．這時(shí)，割線的斜率無(wú)限趨近于點(diǎn)處的切線的斜率．因此，切線的斜率．思考：觀察問題1中的函數(shù)的圖象（圖），平均速度的幾何意義是什么？瞬時(shí)速度呢？環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問題:請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？平均速度、瞬時(shí)速度的概念及其關(guān)系。瞬時(shí)速度的求法。曲線割線與切線斜率的概念及其關(guān)系。曲線切線斜率的求法。平均速度與割線斜率、瞬時(shí)速度與切線斜率的關(guān)系。2.在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？方法歸納：極限法、定義法．3．常見誤區(qū)：對(duì)函數(shù)的平均變化率、瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)概念理解不到位．環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置完成教材：教材第61頁(yè)思考（2）、練習(xí)1，