新高考數(shù)學一輪復習題型歸納講義專題15概率與分布列 15.1概率（解析版）

專題十五《概率與分布列》講義15.1概率知識梳理.概率1．事件的相關概念2．頻數(shù)、頻率和概率(1)頻數(shù)、頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率．3．事件的關系與運算名稱條件結論符號表示包含關系若A發(fā)生，則B一定發(fā)生事件B包含事件A(事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關系若B?A且A?B事件A與事件B相等A＝B并(和)事件A發(fā)生或B發(fā)生事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(積)事件A發(fā)生且B發(fā)生事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件A∩B為不可能事件事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?，P(A∪B)＝14．概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率為eq\a\vs4\al(1).(3)不可能事件的概率為eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．5．古典概型(1)特點：①有限性：在一次試驗中所有可能出現(xiàn)的結果只有有限個，即只有有限個不同的基本事件．②等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性是均等的．(2)計算公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù))題型一.隨機事件——互斥、對立事件1．袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有一個白球；至少有一個紅球 B．至少有一個白球；紅、黑球各一個 C．恰有一個白球；一個白球一個黑球 D．至少有一個白球；都是白球【解答】解：袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，在A中，至少有一個白球和至少有一個紅球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A不成立；在B中，至少有一個白球和紅、黑球各一個兩個事件不能同時發(fā)生但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，故B成立；在C中，恰有一個白球和一個白球一個黑球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故C不成立；在D中，至少有一個白球和都是白球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故D不成立．故選：B．2．在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是310，那么概率是7A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡 C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡【解答】解：∵在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是310∴概率是710的事件是“2張全是移動卡”∴概率是710的事件是“至多有一張移動卡”故選：A．3．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是12，乙獲勝的概率是1A．乙不輸?shù)母怕适?3 B．甲獲勝的概率是1C．甲不輸?shù)母怕适?2 D．乙輸?shù)母怕适恰窘獯稹拷猓杭滓覂扇讼缕灞荣悾洝皟扇讼鲁珊推濉睘槭录嗀，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則P（A）=12，P（B）則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=1則甲勝的概率是1﹣P（A+B）＝1?5則甲不輸即為甲獲勝或和棋的概率為16乙輸?shù)母怕适蔷褪羌撰@勝的概率16故選：D．4．（2012·湖南）某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù)，如表所示．一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件以上顧客數(shù)（人）x3025y10結算時間（分鐘/人11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%．（Ⅰ）確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；（Ⅱ）求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率．（將頻率視為概率）【解答】解：（Ⅰ）由已知得25+y+10＝55，x+30＝45，所以x＝15，y＝20；顧客一次購物的結算時間的平均值為1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10100（Ⅱ）記A：一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘；A1：該顧客一次購物的結算時間為1分鐘；A2：該顧客一次購物的結算時間為1.5分鐘；A3：該顧客一次購物的結算時間為2分鐘；將頻率視為概率可得P（A1）15100=0.15；P（A2）=30100=0.3；P∴P（A）＝P（A1）+P（A2）+P（A3）＝0.15+0.3+0.25＝0.7∴一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為0.7．5．（2017·全國3）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？【解答】解：（1）由題意知X的可能取值為200，300，500，P（X＝200）=2+16P（X＝300）=36P（X＝500）=25+7+4∴X的分布列為：X200300500P0.20.40.4（2）由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，∴只需考慮200≤n≤500，當300≤n≤500時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6n﹣4n＝2n；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25），則Y＝6×300+2（n﹣300）﹣4n＝1200﹣2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，∴EY＝2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2＝640﹣0.4n，當200≤n≤300時，若最高氣溫不低于20，則Y＝6n﹣4n＝2n，若最高氣溫低于20，則Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，∴EY＝2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2＝160+1.2n．∴n＝300時，Y的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元．題型二.古典概型1．（2019·全國2）生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標．若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為（）A．23 B．35 C．25【解答】解：法一：由題意，可知：根據(jù)組合的概念，可知：從這5只兔子中隨機取出3只的所有情況數(shù)為C5恰有2只測量過該指標的所有情況數(shù)為C3∴p=C法二：設其中做過測試的3只兔子為a，b，c，剩余的2只為A，B，則從這5只中任取3只的所有取法有{a，b，c}，{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，A，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，A，B}，{c，A，B}10種，其中恰好有兩只做過測試的取法有{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{b，c，A}，{b，c，B}6種，故恰有兩只做過測試的概率為610故選：B．2．某班有男生30人，女生20人，按分層抽樣方法從班級中選出5人負責校園開放日的接待工作．現(xiàn)從這5人中隨機選取2人，至少有1名男生的概率是（）A．110 B．310 C．710【解答】解：男生30人，女生20人，按分層抽樣方法從班級中選出5人負責校園開放日的接待工作，則男生為5×30從這5人中隨機選取2人，共有C52＝10種，其中全時女生的有1種，故至少有1名男生的概率是1?1故選：D．3．口袋里裝有紅球、白球、黑球各1個，這3個球除顏色外完全相同，有放回的連續(xù)抽取2次，每次從中任意地取出1個球，則兩次取出的球顏色不同的概率是（）A．29 B．13 C．23【解答】解：∵口袋里裝有紅球、白球、黑球各1個，這3個球除顏色外完全相同，有放回的連續(xù)抽取2次，每次從中任意地取出1個球，∴基本事件總數(shù)n=C能兩次取出的球顏色不同包含的基本事件個數(shù)m=C∴能兩次取出的球顏色不同的概率p=m故選：C．4．在五個數(shù)1，2，3，4，5中，若隨機取出三個數(shù)字，則剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)的概率（）A．310 B．320 C．15【解答】解：在五個數(shù)1，2，3，4，5中，隨機取出三個數(shù)字，基本事件總數(shù)n=C剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)包含的基本事件個數(shù)m=C則剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)的概率p=m故選：A．5．（2019·全國1）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（）A．516 B．1132 C．2132【解答】解：在所有重卦中隨機取一重卦，基本事件總數(shù)n＝26＝64，該重卦恰有3個陽爻包含的基本個數(shù)m=C則該重卦恰有3個陽爻的概率p=m故選：A．6．樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環(huán)．據(jù)此，某網(wǎng)站退出了關于生態(tài)文明建設進展情況的調查，調查數(shù)據(jù)表明，環(huán)境治理和保護問題仍是百姓最為關心的熱點，參與調查者中關注此問題的約占80%．現(xiàn)從參與關注生態(tài)文明建設的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65），得到的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求出a的值；（2）求這200人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）和中位數(shù)（精確到小數(shù)點后一位）；（3）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調查，求第2組恰好抽到2人的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得：10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）＝1，解得a＝0.035．（2）平均數(shù)為20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1＝41.5歲．設中位數(shù)為x，則10×0.010+10×0.015+（x﹣35）×0.035＝0.5，∴x≈42.1歲．（3）第1，2組的人數(shù)分別為20人，30人，從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，則第1，2組抽取的人數(shù)分別為2人，3人，分別記為a1，a2，b1，b2，b3．設從5人中隨機抽取3人，為：（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，b3），（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b2，b3），（b1，b2，b3）共10個基本事件，其中第2組恰好抽到2人包含：（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b2，b3），共6個基本事件，從而第2組中抽到2人的概率p=6課后作業(yè).概率1．甲、乙、丙三位學生用計算機聯(lián)網(wǎng)學習數(shù)學，每天上課后獨立完成6道自我檢測題，甲及格的概率為45，乙及格的概率為35，丙及格的概率為7A．320 B．42135 C．47【解答】解：僅甲及格的概率為45×2僅丙及格的概率為15故三人各答一次，則三人中只有一人及格的概率為24250故選：C．2．某校投籃比賽規(guī)則如下：選手若能連續(xù)命中兩次，即停止投籃，晉級下一輪．假設某選手每次命中率都是0.6，且每次投籃結果相互獨立，則該選手恰好投籃4次晉級下一輪的概率為（）A．216625 B．108625 C．36625【解答】解：根據(jù)題意得，該選手第二次不中，第三次和第四次必須投中，∴該選手恰好投籃4次晉級下一輪的概率為：1×0.4×0.6×0.6=18故選：D．3．甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加“《論語》知識大賽”，決出第1名到第5名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說“雖然你的成績比乙好，但是你倆都沒得到第一名”；對乙說“你當然不會是最差的”．從上述回答分析，丙是第一名的概率是（）A．15 B．13 C．14【解答】解：∵甲和乙都不可能是第一名，∴第一名只可能是丙、丁或戊，又考慮到所有的限制條件對丙、丁都沒有影響，∴這三個人獲得第一名是等概率事件，∴丙是第一名的概率是13故選：B．4．我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x（單位：噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費，為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中a的值；（2）設該市有50萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（3）若該市政府希望使80%的居民每月的用水量不超過標準x（噸），估計x的值，并說明理由．（結果保留到小數(shù)點后三位）【解答】解：（1）由頻率分布直方圖知，月均用水量在[0，0.5）中的頻率為0.08×0.5＝0.04，同理在[0.5，1），[1，1.5），[1.5，2），[2，2.5），[2.5，3），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]中的頻率分別為0.08，0.5×a，0.20，0.26，0.5×a，0.06，0.04，0.02；由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02＝1，解得a＝0.30；…（4分）（2）由（1）知，100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02＝0.12；由以上樣本的頻率分布，可以估計全市50萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為50萬×0.12＝6（萬）；…（8分）（3）因為前6組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15＝0.88＞0.80，而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26＝0.73＜0.80，所以2.5≤x＜3；由0.3×（x﹣2.5）＝0.80﹣0.73，解得x≈2.733；所以估計月用水量標準為2.733噸時，80%的居民每月的用水量不超過標準．…（12分）5．工廠質檢員從生產(chǎn)線上每半個小時抽取一件產(chǎn)品并對其某個質量指標Y進行檢測，一共抽取了48件產(chǎn)品，并得到如下統(tǒng)計表．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在一年內所需的維護次數(shù)與指標Y有關，具體見表．質量指標Y[9.4，9.8）[9.8，10.2]（10.2，10.6]頻數(shù)82416一年內所需維護次數(shù)201（1）以每個區(qū)間的中點值作為每組指標的代表，用上述樣本數(shù)據(jù)估計該廠產(chǎn)品的質量指標Y的平均值（保留兩位小數(shù)）；（2）用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取6件產(chǎn)品，再從6件產(chǎn)品中隨機抽取2件產(chǎn)品，求這2件產(chǎn)品的指標Y都在[9.8，10.2]內的概率；（3）已知該廠產(chǎn)品的維護費用為300元/次．工廠現(xiàn)推出一項服務：若消費者在購買該廠產(chǎn)品時每件多加100元，該產(chǎn)品即可一年內免費維護一次．將每件產(chǎn)品的購買支出和一年的維護支出之和稱為消費費用．假設這48件產(chǎn)品每件都購買該服務，或者每件都不購買該服務，就這兩種情況分別計算每件產(chǎn)品的平均消費費用，并以此為決策依據(jù)，判斷消費者在購買每件產(chǎn)品時是否值得購買這項維護服務？【解答】解：（1）指標Y的平均值為：9.6×1（2）由分層抽樣法知，先抽取的件產(chǎn)品中，指標Y在[9.8，10.2]內的有3件，記為A1，A2，A3，指標Y在（10.2，10.6]內的有2件，記為B1，B2，指標Y在[9.4，9.8）內的有1件，記為C，從6件產(chǎn)品中，隨機抽取2件產(chǎn)品，共有基本事件15個，分別為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C），（B1，B2），（B1，C），（B2，C），其中，指標Y都在[9.8，10.2]內的概率為P=3（3）不妨設每件產(chǎn)品的售價為x元，假設這48件樣品每件都不購買該服務，則購買支出為48x元，其中有16件產(chǎn)品一年內的維護費用為300元/件，有8件產(chǎn)品一年內的維護費用為600元/件，此時平均每件產(chǎn)品的消費費用為η=148（48x+16×300+8×600）＝假設為這48件產(chǎn)品每件產(chǎn)品都購買該項服務，則購買支出為48（x+100）元，一年內只有8件產(chǎn)品要花費維護，需支出8×300＝2400元，平均每件產(chǎn)品的消費費用：ξ=148×[48（x+100）+8×∴該服務值得購買．6．為了響應教育部頒布的《關于推進中小學生研學旅行的意見》，某校計劃開設八門研學旅行課程，并對全校學生的選課意