尺規(guī)作圖與三視圖

第九講尺規(guī)作圖與投影三視圖1一、尺規(guī)作圖基礎(簡介)尺規(guī)作圖的歷史已經(jīng)很悠久了!21.何謂幾何作圖

假設給定了一些條件，要求使用規(guī)定的工具作出具備這些條件的圖形，便是作圖問題。運用已知條件，按照一定方法，把作圖題所要求作的圖形作出的過程，叫做解作圖題。(一)幾何作圖的要求與意義32.傳統(tǒng)尺規(guī)作圖工具

傳統(tǒng)初等幾何作圖問題，限用的工具是直尺和圓規(guī)，并假設直尺直而且長，但上面無刻度；圓規(guī)則兩腿足夠長且開閉自如。

4(二)尺規(guī)作圖1．尺規(guī)作圖限用無刻度的直尺和圓規(guī)兩件工具，經(jīng)過有限次手續(xù)，可以完成的作圖，稱為尺規(guī)作圖。或者初等幾何作圖。52．作圖公法

在初等幾何里約定，利用直尺和圓規(guī)可以并且只能完成下列三種簡單作圖，用以限定作圖工具的功能，尺規(guī)作圖的可能范圍是：(1)通過已知兩點可以作一條直線(用直尺，歐幾里得五公設之一)；(2)以已知點為圓心，已知距離為半徑，可以作一個圓(用圓規(guī)，歐幾里得五公設之一)；(3)作兩已知直線，或一已知直線與一圓，或兩已知圓的交點

(用直尺和圓規(guī)，在相交的情況下)。63.尺規(guī)作圖不能問題請問老師，什么是尺規(guī)作圖不能問題？

就是僅用直尺和圓規(guī)經(jīng)有限次使用作圖公法不能完成的作圖，稱為尺規(guī)作圖不能問題或不可作圖問題。

7不過你要注意：尺規(guī)作圖不能問題與該問題無解不是一回事。如，古希臘三大幾何難題雖是尺規(guī)作圖不能問題，但并非無解喲。

84．尺規(guī)作圖解題步驟(六步)(1)已知：完整寫出題設條件；

(2)求作：具體敘述所圖形應滿足的條件；(3)分析：假定圖形已被作出，繪出草圖，研究已知條件和求作圖形的關系，得出作圖的線索，判明所求圖形應如何作出；(4)作法：根據(jù)分析所得結果，依次敘述作圖的過程(不夾雜證明)；(5)證明：論證按“作法”作出的圖形符合條件；(6)討論：說明求作的圖形在什么情況下有一解、多解或無解。95．定位作圖與活位作圖

如果求作的圖形必須作在指定的位置，便叫做定位作圖；如果求作的圖形，只要求滿足一定的條件，至于畫在什么地方可以不計較，便叫做不定位作圖(活位作圖)。6．作圖題解的個數(shù)

(1)在定位作圖中

(2)在不定位作圖中10課程標準對“尺規(guī)作圖”的要求：

①完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作角的平分線，作線段的垂直平分線。

②利用基本作圖作三角形：已知三邊作三角形；已知兩邊及其夾角作三角形；已知兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形。

③探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓。

④了解尺規(guī)作圖的步驟，對于尺規(guī)作圖題，會寫已知、求作和作法(不要求證明)。11(三)基本作圖問題(作圖成法)

(教材P120)基本作圖問題，通常稱為作圖成法。是解決作圖問題的基礎，掌握它們之后，在解作圖題時，象引用定理一樣可直接使用，不必敘述本身的作圖過程，減少解題闡述。如(1)作一條線段等于已知線段；(2)作一個角等于已知角；……等12(四)尺規(guī)作圖的幾種常用方法1．交軌法；2．三角形奠基法；3.

合同變換法；4．位似法；5.代數(shù)法。

131.交軌法

在尺規(guī)作圖中，通常歸結為先確定某一主要點的位置，而一個點的確定一般應滿足兩個條件。舍去一個條件，則該點在滿足另一個條件的點的軌跡上；舍去另一個條件，則該點又在滿足這一個條件的點的軌跡上。于是同時滿足兩個條件的點應為兩個軌跡的交點。用兩個軌跡相交定點的作圖方法，稱為軌跡交接(割)法，簡稱交軌法。

14交軌法舉例：例1．(P124例2)求作與定⊙O相切于定點M，又與定直線l相切的圓。(如圖)·O

O′·lA已知：⊙O及其上一定點M，定直線l；

求作：⊙O′與⊙O相切于M點，且與l相切。本例還要注意討論事項。B

M

·15討論：(1)當⊙O與直線l不相交，且過點M的⊙O的切線與l不平行時，有一解；(2)當⊙O與直線l不相交，且OM⊥l時，有一解；圓心O′是MB的中點;(3)當⊙O與直線l相切，M不是切點時，有一解，M是切點時有無數(shù)多解；(4)當⊙O與直線l相交，M不是交點時，有一解，M是交點時，無解。162．三角形奠基法

在尺規(guī)作圖中，如果求作圖形可歸結為先作出某個三角形奠定全部圖形的基礎，然后，在此基礎上作出圖形中的其余部分，那么這個作為基礎的三角形就稱為基礎三角形，這種作圖方法稱為三角形奠基法。17已知△ABC發(fā)自同一頂點的高、中線、平分角線ha、ma、ta的長，求作這三角形。ABCMmaTtahaHtamaha例2.(教材P126例5)18ABCMmaTtahaHO··P分析：設△ABC已作出，高AH＝ha，中線AM＝ma，角平分線AT＝ta，(如上圖)Rt△AHT和Rt△AHM都有兩邊已知，所以都可以作出。tamaha19討論：

(1)當ha、ma、ta三者有兩個相等時，△ABC應為等腰三角形。這時若三者不都相等，便無解，若都相等，便成不定問題，即有無窮多解；(2)當ha、ma、ta三者互不相等時，要解答存在，首選要能作出△AHM，其次要能作出P點并且P和A還要落在HM的異側，B、C才能存在。要保證這些事項，就非得T介于H和M之間?？傊敾ゲ幌嗟葧r，有解的條件是：ha＜ta＜ma

當這些條件滿足時有一解。203.合同變換法在尺規(guī)作圖中，利用平移、旋轉(zhuǎn)、反射以及它們相繼使用，把圖形的一部分移到某些特定位置上，構成作圖條件，完成作圖。這種作圖方法稱為合同變換法。214．位似法

在尺規(guī)作圖中，當所求圖形直接作圖不太方便時，可以先在適當?shù)奈恢米鞒鏊笞鲌D形的相似形，然后應用位似變換，以放大或縮小，得所求作圖形，這種作圖方法稱為位似變換法。

225.代數(shù)法在解某些作圖題時，可以先把作圖題歸結為求作一條線段，并能由已知線段的代數(shù)式表示求作的線段，再根據(jù)這個代數(shù)式作出線段，然后完成所要求作的圖形，這種作圖方法叫做代數(shù)分析法，簡稱代數(shù)法。23(五)正多邊形的尺規(guī)作圖

據(jù)說，早在古希臘時代，人們就已經(jīng)解決了3、4、5、6、8、10、12、15…等正多邊形的作圖問題。

是嗎？那我們還真得好好研究研究!24(六)幾何作圖不能問題

古希臘的三大尺規(guī)作圖不能問題①三等分任意角問題

看，有些幾何作圖不能問題并非無解。②化圓為方問題

③立方倍積問題25小結尺規(guī)作圖是初等幾何學習中過程中不可缺少的一種作圖方法，自然是一位中學教師應了解和學習的內(nèi)容之一。26二、關于

投影與視圖272

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5年安徽省美術加試題28課程標準以“視圖與投影”的要求：①會畫基本幾何體(直棱柱、圓柱、圓錐、球)的三視圖(主視圖、左視圖、俯視圖)，會判斷簡單物體的三視圖，能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌?。②了解直棱柱、圓錐的側面展開圖，能根據(jù)展開圖判斷和制作立體模型。③了解基本幾何體與其三視圖、展開圖(球除外)之間的關系；通過典型實例，知道這種關系在現(xiàn)實生活中的應用(如物體的包裝)。29課程標準以“視圖與投影”的要求：④觀察與現(xiàn)實生活有關的圖片(如照片、簡單的模型圖、平面圖、地圖等)，了解并欣賞一些有趣的圖形(如雪花曲線、莫比烏斯帶)。⑤通過背景豐富的實例，知道物體的陰影是怎么形成的，并能根據(jù)光線的方向辨認實物的陰影(如在陽光或燈泡下，觀察手的陰影或人的身影)。⑥了解視點、視角及盲區(qū)的涵義，并能在簡單的平面圖和立體圖中表示。⑦通過實例了解中心投影和平行投影。30(一)圖樣的要求

1.明顯性：明顯地、全面地反映所表達的空間物體的原形，直觀，使人一目了然；

2.可量性：能夠準確地、詳細地反映所表達的空間物體的大小尺寸、比例等；

3.可解性：圖樣分成的各個部分(點、線、面、圓等)，能較好地表達物體的結構形式，解決空間物體幾何元素的定位、定量問題，反映出制造該物體的技術要求等內(nèi)容。31(二)投影法的基本概念幾個概念：投影中心(S)、投影面(P)、投影點(A)、投影線(SA)A′B′C′A·BCS

·P32(三)投影法的分類1.中心投影法(見上頁圖)2.平行投影法PPABCABCA′B′C′FA′B′C′F33(四)平行投影的基本性質(zhì)平行投影的基本特性是：1.點的投影仍是點

2.直線的投影一般仍是直線，僅當直線平行于投影方向時，直線的投影是點。

FA

·C

·B

··B·C·AP343.直線上的點的投影仍在直線上，且分某線段所成兩線段長度之比等于它們的投影長度之比

FA

·C

·B

··B·C·AP354.兩平行直線的投影仍平行，且兩線段長度之比等于它們的投影長度之比

PA

·B·D

·C

··B·A·D·CF365.當線段和平面圖形平行于投影面P時，它們的投影反映線段的實長和平面圖形的真形

PCDEFC′D′E′·A′·B′B

·A

·37A

·

·

BC

·PB

··A6.當直線、平面、柱面平行于投影方向時，它們投影具有積聚性(圖15－132)積聚性――當直線、平面、柱面平行于投影方向時，在投影面P上直線投影成點，平面、柱面投影成線(直線或曲線)的性質(zhì)?！F38P不同的物體在同一投影面上的投影可能相同

因此，要用平行投影完全確定一個物體的形狀，就必須采用一定的方法來加以補充，這些方法就是軸測投影(直觀圖)和正投影三視圖。39(五)軸測投影圖(直觀圖)本內(nèi)容在高中立體幾何及高等幾何中均已詳細學習，關鍵是抓住在斜二測及正等測畫圖中，Ox、Oy、Oz各軸之間的夾角和各軸上線段的長度與實長之比。(在此不贅述)40(六)正投影三視圖1.空間投影面水平投影面(H)、正立投影面(V)、側立投影面(W).WVH41移去物體后：

在H面上的正投影叫做俯視圖(水平投影)

在V面上的正投影叫做主視圖(正面投影)在W面上的正投影叫做左視圖(側面投影)主視圖、俯視圖、左視圖合起來稱為正投影三視圖。簡稱為視圖。WVH2.三視圖42三視圖所反映物體的有關尺寸①俯視圖反映了物體的頂面形狀和長、寬兩個方向的尺寸；WVH長寬長寬高高②主視圖反映了物體的正面形狀和高、長兩個方向的尺寸；③左視圖反映了物體的側面形狀和寬、高兩個方向的尺寸。433.三視圖畫法

由于三視圖只能畫在同一張紙上，所以三投影面需轉(zhuǎn)化為一個面。規(guī)定：V面不動，H面向下旋轉(zhuǎn)90°，W面向右旋轉(zhuǎn)90°，這樣一來，H面和W面就同V面重合成一個平面。WVHWVHWVHHVWHWVWVHVWHVWH44WVHWVHWVHHVWHWVWVHVWHVWH再看一下這個展示的過程45作三視圖的基本法則和要求：

三視圖中，主視圖與左視圖同高