2024屆河南省TOP二十名校高三上學(xué)期調(diào)研考試八數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat20頁2024屆河南省TOP二十名校高三上學(xué)期調(diào)研考試八數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)定義域、值域分別化簡集合A，B，再利用補集、交集的定義求解即得.【詳解】依題意，，因此，所以.故選：C2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用復(fù)數(shù)除法運算求解，再利用復(fù)數(shù)乘法運算求解，然后利用模的運算求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：C.3．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先分別求出、，然后根據(jù)直線的點斜式即可得解.【詳解】由題意得，所以，解得，故，則，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即.故選：B.4．在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”.其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人第4天與第5天共走的里程數(shù)為（

）A．24 B．36 C．42 D．60【答案】B【分析】設(shè)第天走的里程數(shù)為，其中，由題意可知，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式求出的值，利用通項公式此人求出第4天與第5天共走里程數(shù).【詳解】設(shè)第天走的里程數(shù)為，其中，由題意可知，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，解得，所以此人第4天與第5天共走里程數(shù)為.故選：B.5．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意首先求出，再結(jié)合余弦的二倍角公式求解即可.【詳解】因為，所以，得，所以.故選：D.6．《九章算術(shù)》中將圓臺稱為“圓亭”.已知某圓亭的高為3，上底面半徑為1，下底面半徑為5，則此圓亭的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意求得母線長，再代入圓臺表面積的公式即可求得表面積.【詳解】由題意，可作該圓亭的軸截面，如圖所示：則圓亭的高，上底面半徑，下底面半徑，母線5，所以圓臺的表面積.故選：D7．已知函數(shù)，若存在兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理分析零點，列式求解即可.【詳解】由題意可知：的定義域為，且，當(dāng)時，則，可知在上單調(diào)遞減，所以不可能存在兩個零點，不合題意；當(dāng)時，令，解得；令，解得；可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的最大值為，若存在兩個零點，則，解得,當(dāng)時，則，可得，且，令，則，則在上單調(diào)遞增，可得，即，可知在，均只有一個零點，即符合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：A.8．已知函數(shù)圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離是，若將圖象上的每個點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，且函數(shù)的圖象在區(qū)間上至少含有30個零點，則在所有滿足條件的區(qū)間中，的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求得，，確定函數(shù)的解析式，再求的的解析式，令，求得或，若最小，則和都是零點，此時在區(qū)間分別恰有個零點，即可求得的最小值.【詳解】由，得，則，則為偶函數(shù)，所以，又，則，解得，所以，故，可得.由得，故或，解得或，所以相鄰兩個零點之間的距離為或.若最小，則和都是零點，此時在區(qū)間分別恰有個零點，所以在區(qū)間上恰有29個零點，從而在區(qū)間上至少有1個零點，所以，所以的最小值為.故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于由函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，再由函數(shù)的性質(zhì)求得零點，并求得區(qū)間上函數(shù)零點個數(shù).二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．“”是“”成立的充分不必要條件D．若，則【答案】BD【分析】對各個選項逐一分析判斷即可求出結(jié)果.【詳解】對于選項A，不妨令，滿足，但，所以選項A錯誤；對于選項B，若，則，所以，不等式兩邊同除以得，所以選項B正確；對于選項C，由“”不能得到“”，比如，故充分性不成立，所以選項C錯誤；對于選項D，若，則，所以選項D正確，故選：BD.10．已知各項都是實數(shù)的數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（

）A．若，則數(shù)列是遞減數(shù)列B．若，則數(shù)列無最大值C．若數(shù)列為等比數(shù)列，則為等比數(shù)列D．若數(shù)列為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列【答案】ACD【分析】根據(jù)數(shù)列通項與前項和的關(guān)系，即可求解，根據(jù)單調(diào)性即可判斷A；根據(jù)已知得數(shù)列的通項，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得數(shù)列單調(diào)性即可得最值，從而判斷B；根據(jù)等比數(shù)列前項和的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對于選項，當(dāng)時，，又，所以，則是遞減數(shù)列，故A正確；對于選項是遞減數(shù)列，所以，故B錯誤；對于選項，由題意得各項均不為0，設(shè)公比為，即，且0，即，所以，故C正確；對于選項D，若數(shù)列為等差數(shù)列，則，所以即數(shù)列為等差數(shù)列，故D正確.故選：ACD.11．如圖，直三棱柱的各條棱長均為是側(cè)棱的中點，是的中點，是的中心，則（

）A．平面平面B．平面C．異面直線與所成角的正弦值為D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【分析】對于A，證明平面即可，即只需證明平面即可；對于B，只需證明平面平面；對于CD，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，求出異面直線與的方向向量，再由向量夾角公式即可判斷C，對于D，分別求出直線的方向向量、平面的法向量，再由線面角的正弦公式即可判斷D.【詳解】對于選項A，如圖，取的中點的中點，連接，故.又四邊形為平行四邊形，.又三棱柱是直三棱柱，即面，又平面，所以，又因為為正三角形，，而，平面，所以平面，又平面.又平面，所以平面平面，故A正確；對于選項B，如圖，連接并延長交于，則為的中點，連接，因為點為棱的中點，，而平面，平面，故平面，同理平面，，平面，所以平面平面平面平面，故B正確；對于選項C，因為面，面，所以建立如圖所示的空間直角坐標系，其中，面，

則.所以，設(shè)異面直線與所成的角為，則，故異面直線與所成角的余弦值為，所以，故C錯誤；對于選項D，得，設(shè)為平面的一個法向量.由得，即.而直線的一個方向向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為，故D正確.故選：ABD.12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，則方程在上有5個不同的解B．當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減C．當(dāng)時，函數(shù)在上有2個零點D．若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為【答案】AD【分析】對于選項將代入方程，求得在上的解即可判斷正誤；對于選項將代入方程，對函數(shù)求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)函數(shù)的正負，即可判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；對于選項將代入方程，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，再由零點的存在性定理即可判斷零點個數(shù)；對于選項構(gòu)造函數(shù)，在分，兩種情況討論，判斷兩種情況在區(qū)間的單調(diào)性，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】對于選項，當(dāng)時，，方程，即，所以或，所以或，故A正確；對于選項，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，所以，即在上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于選項，因為，根據(jù)選項，所以在上有且僅有一個零點，當(dāng)時，，所以在上無零點，所以在上有且僅有一個零點，故錯誤；對于選項，由，即，整理得，令，則，當(dāng)時，對任意有，又，所以，此時在上單調(diào)遞增，故，符合題意；當(dāng)時，令，則，所以，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)，即時，在上有，此時在上單調(diào)遞增，，符合題意.當(dāng)，即時，若，即，由零點存在定理，存在使，故上，所以在上單調(diào)遞減，此時，不合題意；若，即，此時對恒有且不恒為0，即在上單調(diào)遞減，所以，不合題意.綜上，的取值范圍是，故D正確.故選：AD三、填空題13．已知函數(shù)，則.【答案】9【分析】根據(jù)分段函數(shù)的含義并結(jié)合指、對數(shù)運算即可.【詳解】因為，所以，故答案為：9.14．已知平面向量為單位向量，且，則在方向上的投影向量的坐標為.【答案】【分析】根據(jù)向量垂直和向量數(shù)量積的運算律求出，再利用投影向量公式求解即可.【詳解】由題意可知，，因為，所以，解得，則則在方向上的投影向量的坐標為，故答案為：15．已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為．【答案】【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可得為奇函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可得，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】因為的定義域為，關(guān)于對稱，且單調(diào)遞減，且，即函數(shù)為奇函數(shù)，又因為，所以，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，取等號.所以的最小值為.故答案為：16．若銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，其外接圓的半徑為，且，則的取值范圍為.【答案】【分析】首先利用三角恒等變換求得，結(jié)合正弦定理邊化角可得，進一步結(jié)合是銳角三角形、即可得解.【詳解】因為，所以，即，由正弦定理得，顯然，所以，所以，因為，所以.因為外接圓的半徑為，所以，所以，所以，因為為銳角三角形，所以，所以，即.令，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，即，所以，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是適當(dāng)利用兩角和差公式、正弦定理邊化角將目標函數(shù)表示出來，然后結(jié)合角的范圍求解即可.四、證明題17．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由條件得到，再由等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)果；（2）由（1）得到，再利用等比數(shù)列前項和公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由，得到，又，所，整理得到，又，得到，所以，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，所以，所以五、解答題18．已知函數(shù)為奇函數(shù)，.(1)求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)列式求解，注意檢驗；（2）先通過求導(dǎo)判斷在上單調(diào)遞減，從而判斷在上單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)無零點轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上無解，即可求得.【詳解】（1）由，即，所以，故對定義域內(nèi)的任意實數(shù)都成立，則，經(jīng)驗證不符合，符合題意，所以.（2）由（1）知，所以函數(shù)的定義域為，因為，所以在上單調(diào)遞減，由，得，因為在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.又在區(qū)間上無解，故.19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，內(nèi)角所對的邊分別是，且，若，求的面積.【答案】(1)的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的周期與單調(diào)性求解即可；（2）根據(jù)求出，根據(jù)余弦定理得到，結(jié)合三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）由題意可得：，所以函數(shù)的最小正周期為.令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為，則，則，可得，所以，得，由余弦定理得，即，解得，所以的面積.20．已知(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出，再根據(jù)兩角差的余弦公式即可得結(jié)果，（2）由（1）及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求出，，再根據(jù)根據(jù)兩角和與差的余弦公式即可得結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以，又，所以,所以,故的值為.（2）由（1），得，又，所以，又，所以，所以，.所以，故的值為.六、證明題21．如圖，在長方體中，點分別在棱上，且，.(1)求證：四點共面；(2)若，求平面與平面夾角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分別證明四邊形和為平行四邊形即可；（2）建系，分別求出兩平面的法向量，再用向量夾角余弦值求出即可.【詳解】（1）證明：如圖所示，在棱上取點，使得，又，所以四邊形為平行四邊形，則且，又且，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，同理可證四邊形為平行四邊形，則，所以.所以四點共面.（2）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，.設(shè)平面的法向量為，由得，解得令，則.，設(shè)平面的法向量為，由得，解得令，則，設(shè)兩個平面夾角大小為，則.所以，所以平面與平面夾角的正弦值為.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求在區(qū)間上的最值；(2)若有兩個不同的零點，證明：.【答案】(1)最大值為0，最小值為.(2)證明見解析【分析】（1）將帶入原函數(shù)中求得函數(shù)的解析式，確定函數(shù)的定義域，再對原函數(shù)求導(dǎo)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在區(qū)間上的最值；（2）對原函數(shù)求導(dǎo)，并對參數(shù)，分類討論，得出函數(shù)在兩種情況下的單調(diào)性，由單調(diào)性求得函數(shù)有兩個不同的零點時兩根與參數(shù)的關(guān)系