浙江省衢州、麗水、湖州三地市2024屆高三上學期11月教學質量檢測數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1浙江省衢州、麗水、湖州三地市2024屆高三上學期11月教學質量檢測數(shù)學試題一、單項選擇題1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵在單調遞增，∴，則.故選：C.2.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，所以.故選：A.3.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由已知得，，，若，則，即，解得，所以“”“”，但“”“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B．4.下列命題中錯誤的是（）A.已知隨機變量，則B.已知隨機變量，若函數(shù)為偶函數(shù)，則C.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，8，10的第80百分位數(shù)是8D.樣本甲中有件樣品，其方差為，樣本乙中有件樣品，其方差為，則由甲乙組成的總體樣本的方差為【答案】D【解析】對于A，，A正確；對于B，由函數(shù)為偶函數(shù)，則，所以，所以區(qū)間，關于對稱，則，B正確；對于C，，所以數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，8，10的第80百分位數(shù)是第六個數(shù)據(jù)8，C正確；對于D，由按分層抽樣樣本方差的計算公式可知選項缺少平均數(shù)的相關數(shù)據(jù)，D錯誤.故選：D.5.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，而，則，，因此，即有，所以.故選：C.6.已知是等比數(shù)列前項和，且，，則（）A.11 B.13 C.15 D.17【答案】C【解析】因為是等比數(shù)列，是等比數(shù)列的前項和，所以成等比數(shù)列，且，所以，又因為，，所以，即，解得或，因為，所以，故選：C．7.設函數(shù)，且函數(shù)在恰好有5個零點，則正實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，令，得，因為函數(shù)在恰好有5個零點，所以函數(shù)在上恰有5條對稱軸．當時，，令，則在上恰有5條對稱軸，如圖：所以，解得．故選：B．8.四棱錐的底面是平行四邊形，點、分別為、的中點，連接交的延長線于點，平面將四棱錐分成兩部分的體積分別為，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，連接交于點，連接，則平面將四棱錐分成多面體和多面體兩部分，顯然.設平行四邊形的面積為，因為點為的中點，所以，設到平面的距離為，因為點為的中點，所以點到平面的距離為，取中點，連接，則，且，又點共線且，所以，且，所以，所以，所以點到平面的距離為，故，,因此.故選：B.二、多項選擇題9.已知直線：與圓：有兩個不同的公共點，，則（）A.直線過定點 B.當時，線段長的最小值為C.半徑的取值范圍是 D.當時，有最小值為【答案】ABD【解析】由直線，可化為，由方程組，解得，即直線過定點，所以A正確；當時，圓的方程為，可得圓心，則，可得線段長的最小值為，所以B正確；因為直線與圓有總有兩個公共點，可得點在圓內部，所以，解得，所以C不正確；當時，圓的方程為，則，當直線過圓心，此時，可得的最小值，所以有最小值為，所以D正確.故選：ABD.10.關于函數(shù)由以下四個命題，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于y軸對稱B.的圖象關于原點對稱C.的圖象關于對稱D.的最小值為2【答案】AC【解析】由函數(shù)，其定義域為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確，B錯誤；由，則函數(shù)關于對稱，故C正確；當時，，則，故D錯誤.故選：AC.11.正方體中，，分別是棱，上的動點（不含端點），且，則（）A.與的距離是定值 B.存在點使得和平面平行C. D.三棱錐的外接球體積有最小值【答案】ACD【解析】以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則對A，由圖可知，因為與是異面直線，轉化為求異面直線的距離，因為,平面，所以，所以點到的距離為的一半，等于，即為異面直線與的距離；故A正確；對B，，設平面的法向量為則，取，則，所以，若存在點使得和平面平行，因為，則，故，不符合題意，故B錯誤；對C，所以則，所以，故C正確；對D，采用補體積法，將三棱錐補到以為底面以為高的長方體里，則長方體的體對角線為外接球的半徑的二倍，體對角線長為，當且僅當時取等號；故D正確；故選：ACD.12.已知函數(shù)，若，其中，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因為，，所以，所以當時，，當時，或，所以當時，單調遞減，當或時，單調遞增，且當時，，當時，，且時，或，，，整理得：，所以的對稱中心為，如圖所示：令，則由圖可知：，，，所以A錯誤；B選項中，，又因為，所以，且，所以，所以，因為在上單調遞減，故，所以，B正確；C選項中，根據(jù)三次方程的韋達定理知，，所以，所以C正確；D選項中，因為，，，所以，由，知，，由B知，，所以，故，又，所以，所以D正確.故選：BCD.三、填空題13.展開式中的系數(shù)為______.【答案】【解析】設的通項為，當時，.故答案為：14.設函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當時，，則______.【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則，，所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱，也關于點對稱，所以，，，所以，，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，當時，，則，，，，，，，，所以，，又因為，所以，.故答案為：.15.已知函數(shù)，，寫出斜率大于且與函數(shù)，的圖象均相切的直線的方程：______.【答案】【解析】∵，∴，，設相切的直線與函數(shù)，的圖象的切點分別為，，且，∴，且，解得，∴兩切點分別為，∴與函數(shù)，的圖象均相切的直線的方程為：.故答案為：.16.已知雙曲線：的左右焦點分別為，，為坐標原點，，為上位于軸上方的兩點，且，．記，交點為，過點作，交軸于點．若，則雙曲線的離心率是______．【答案】【解析】做出圖像，如圖所示，則，在中，由得，，設，則，所以，解得，即，在中，由得，，設，則，所以，解得，即，因為，所以，則，即，所以，解得，所以，由可得，，則，所以，整理得，解得，故答案：．四、解答題17.在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若點在邊上，，，，求的面積.解：（1）由題意得，所以，故因為，.（2）設，則，在中，有.在中，有.又，所以，所以有.又，所以.在中，由余弦定理可得.又，，，所以有.聯(lián)立，解得，所以，所以.18.如圖，多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，，，，與交于點．（1）若是中點，求證：；（2）求直線和平面所成角的正弦值．解：（1）因為四邊形為正方形，所以，因為平面平面，平面平面，，所以平面，又因為平面，所以，連接，則，在中，，所以，因為，，平面，且，從而平面，又平面，所以，因為，，平面，且，所以平面，又平面，所以，又因為，所以，又是中點，，所以，因為，，平面，且，所以平面，又因為平面，所以．（2）由（1）知，平面，且，以為坐標原點，分別以、、所在的直線為、、軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則、、、，則，，，由得，，所以，所以，，設面的法向量為，由得，，取，則，設直線和平面所成角為，則，所以直線和平面所成角的正弦值為．19.某大學生創(chuàng)客實踐基地，甲、乙兩個團隊生產同種創(chuàng)新產品，現(xiàn)對其生產的產品進行質量檢驗.（1）為測試其生產水準，從甲、乙生產的產品中各抽檢15個樣本，評估結果如圖：現(xiàn)將“一、二、三等”視為產品質量合格，其余為產品質量不合格，請完善列聯(lián)表，并說明是否有95%的把握認為“產品質量”與“生產團隊”有關；

甲乙總和合格

不合格

總和151530附：，.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828（2）將甲乙生產的產品各自進行包裝，每5個產品包裝為一袋，現(xiàn)從中抽取一袋檢測（假定抽取的這袋產品來自甲生產的概率為，來自乙生產的概率為），檢測結果顯示這袋產品中恰有4件合格品，求該袋產品由甲團隊生產的概率（以（1）中各自產品的合格頻率代替各自產品的合格概率）.解：（1）完善聯(lián)表如下：甲乙總和合格12618不合格3912總和151530，根據(jù)臨界值表可知，有95%的把握認為“產品質量”與“生產團隊”有關.（2）記事件代表“一袋中有4個合格品”，事件代表“所抽取的這袋來自甲生產”，事件代表“所抽取的這袋來自乙生產”，故，,故求：由故.20.已知函數(shù).（1）若，證明：當時，；（2）求所有的實數(shù)，使得函數(shù)在上單調.（1）證明：設（），則，設（），則，顯然所以在上單調遞增，故，所以.則在上單調遞增，所以，因此（2）解：解法1：因為，所以為奇函數(shù).要使函數(shù)在上單調，只要函數(shù)在上單調.又.因為，所以函數(shù)在只能單調遞減，由，解得.下證當時，在上單調.由于是奇函數(shù)，只要在單調，因為，所以在單調遞減.解法2：因為，所以為奇函數(shù).要使函數(shù)在上單調，只要函數(shù)在上單調.又.（?。┤?，即時，，所以函數(shù)在上單調遞減，所以滿足題意；（ⅱ）若，則，故，所以由零點存在定理得存在，，使得當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減，因此不合題意；（ⅲ）若，則，故，所以由零點存定理得存在，，使得當時，，當時，，所以在單調遞減，在單調遞增，因此不合題意；因此所求實數(shù)的取值范圍是.21.已知等差數(shù)列滿足.（1）若，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，，且是等差數(shù)列，記是數(shù)列的前項和.對任意，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.解：（1）設數(shù)列的公差為，則，得，故或（2）法一：由為等差數(shù)列，可設，記的公差為，故.所以，顯然，，平方得，該式對任意成立，故，解得.故.因此，一方面，，，故，另一方面，.故整數(shù)的最小值為3.法二：記的公差為，則，，，上式平方后消去可得，因為是等差數(shù)列，所以，故，將其代入中，得，解得或，當時，，解得，故，，故，當時，，此時無意義，舍去，因此，一方面，，，故，另一方面，.故整數(shù)的最小值為3.22.已知拋物線：（）上一點的縱坐標為3，點到焦點距離為5.（1）求拋物線的方程；（2）過點作直線交于，兩點，過點，分別作的切線與，與相交于點，過點作直線垂直于，過點作直線垂直于，與相交于點，、、、分別與軸交于點、、、.記、、、的面積分別為、、、.若，求直線的方程.解：（1