高中數(shù)學二輪復習學案-1.3平面向量重難點（新高考）解析版

平面向量重難點（新高考）目錄目錄【備考指南】 2【方法技巧】 2【真題檢驗】 3【熱點預測】 8【熱點一】三點共線與共線定理 8【熱點二】三點共線與坐標形式 12【熱點三】三點共線與應用問題 14【熱點四】數(shù)量積定義運算 19【熱點五】數(shù)量積坐標運算 22【熱點六】投影向量 25【熱點七】向量共線定理解決范圍與最值 29【熱點八】向量坐標運算解決范圍與最值 35【熱點九】向量與幾何范圍與最值 40【強化訓練】 45備考指南備考指南考點考情分析考頻平面向量的線性運算2022年新高考Ⅰ卷T3數(shù)量積運算及其應用2023年新高考Ⅰ卷T32023年新高考Ⅱ卷T132022年新高考Ⅱ卷T42022年全國甲卷T132022年全國乙卷T32021年全國甲卷T142021年全國乙卷T142021年新高考Ⅱ卷T153年8考預測：從近3年看，平面向量這部分內(nèi)容主要考察數(shù)量積運算及其應用，試題難度不大，二輪復習時要牢固掌握基礎知識點，能對基礎的知識進行簡單的原因.更早以前平面向量這部分內(nèi)容也可能會出現(xiàn)難度較大的考察，在后續(xù)的復習中也應到考慮到.方法技巧方法技巧1.數(shù)量積的計算通常有三種方法：數(shù)量積的定義、坐標運算和數(shù)量積的幾何意義.2.可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中已知的向量模和夾角進行計算.3.模的范圍或最值常見方法(1)通過|a|2＝a2轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)坐標法.4.結(jié)合圖形求解運算量較小，建立坐標系將數(shù)量積用某個變量表示，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，其中選擇的變量要有可操作性.5.平面向量中涉及系數(shù)的范圍問題時，要注意利用向量的模、數(shù)量積、夾角之間的關系，通過列不等式或等式得關于系數(shù)的關系式，從而求系數(shù)的取值范圍.6.利用共線向量定理及推論(1)a∥b?a＝λb(b≠0)．(2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，則A，B，C三點共線?λ＋μ＝1.7.找兩向量的夾角時，要注意“共起點”以及向量夾角的取值范圍是[0，π]；若向量a，b的夾角為銳角，包括a·b>0和a，b不共線，同理若向量a，b的夾角為鈍角，包括a·b<0和a，b不共線．8.向量數(shù)量積最值(范圍)問題的解題策略(1)形化：利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷．(2)數(shù)化：利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關知識來解決．真題檢驗真題檢驗一、單選題1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標系，設，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D二、填空題2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量，若，則．【答案】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．【詳解】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．【點睛】本題解題關鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設，，注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分．3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量，，，．【答案】【分析】由已知可得，展開化簡后可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量．若，則．【答案】.【分析】利用向量的坐標運算法則求得向量的坐標，利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，平面向量垂直的條件，屬基礎題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.5．（2021·全國·高考真題）若向量滿足，則.【答案】【分析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.6．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為.【答案】【分析】設，由平面向量的知識可得，再結(jié)合柯西不等式即可得解.【詳解】由題意，設，則，即，又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是由平面向量的知識轉(zhuǎn)化出之間的等量關系，再結(jié)合柯西不等式變形即可求得最小值.7．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，，點為的中點，點為的中點，若設，則可用表示為；若，則的最大值為．【答案】【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合為的中點進行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因為，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當且僅當取得等號，則時，有最大值.故答案為：；.8．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為；的最小值為．【答案】1【分析】設，由可求出；將化為關于的關系式即可求出最值.【詳解】設，，為邊長為1的等邊三角形，，，，為邊長為的等邊三角形，，，，，所以當時，的最小值為.故答案為：1；.熱點預測熱點預測【熱點一】三點共線與共線定理一、單選題1．（2023春·全國·高一期中）已知平面向量a，b不共線，，，則（）A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線的定義一一判斷求解.【詳解】對A，與不共線，A錯誤；對B，則與不共線，B錯誤；對于C，則與不共線，C錯誤；對于D，，即，又線段AC與CD有公共點C，所以A，C，D三點共線，D正確.故選：D.2．（2023·全國·高一專題練習）已知、為不共線的向量，，，，則（

）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線【答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線定理及基本定理判斷即可.【詳解】因為、為不共線的向量，所以、可以作為一組基底，對于A：，，若存在實數(shù)使得，則，所以，方程組無解，所以與不共線，故、、三點不共線，即A錯誤；對于B：因為，，所以，同理可以說明不存在實數(shù)，使得，即與不共線，故、、三點不共線，即B錯誤；對于C：因為，，所以，又，所以，故、、三點共線，即C正確；對于D：，，同理可以說明不存在實數(shù)，使得，即與不共線，故、、三點不共線，即D錯誤；故選：C3．（2023春·福建寧德·高一福建省寧德第一中學?？茧A段練習）已知，，，則（

）A．M，N，P三點共線 B．M，N，Q三點共線C．M，P，Q三點共線 D．N，P，Q三點共線【答案】B【分析】根據(jù)向量線性運算求，由此證明，根據(jù)向量共線性質(zhì)判斷結(jié)論.【詳解】，，，，，由平面向量共線定理可知，與為共線向量，又與有公共點，，，三點共線，故選：B．二、填空題4．（2023秋·湖北荊州·高三公安縣車胤中學校考階段練習），是兩個不共線的向量，已知，，且三點共線，則實數(shù).【答案】【分析】先表示出，然后根據(jù)向量的共線定理進行計算.【詳解】依題意得，，于是，由三點共線可知，存在，使得，即，由于，是兩個不共線的向量，則，解得.故答案為：5．（2023秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學?？奸_學考試）已知正六邊形，?分別是對角線?上的點，使得，當時，??三點共線.【答案】【分析】連結(jié)AD，交EC于G點，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，表示出，然后根據(jù)，表示成，由共線定理求得參數(shù)r的值.【詳解】連結(jié)AD，交EC于G點，設正六邊形邊長為a，由正六邊形的性質(zhì)知，，，G點為EC的中點，且，則，又，（），則，，故，即若B、M、N三點共線，由共線定理知，，解得或（舍）故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的解題關鍵在于用向量表示，從而根據(jù)，把向量表示成，若B、M、N三點共線，由共線定理可以求得參數(shù).6．（2023秋·江西南昌·高三南昌縣蓮塘第一中學?？茧A段練習）如圖所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M為BD的中點，設P、Q分別為線段AB、CD上的動點，若P、M、Q三點共線，則的最大值為.【答案】【分析】建立直角坐標系，設，，由P、M、Q三點共線，設，求得，代入計算知，構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得最值.【詳解】如圖所示，建立直角坐標系，則，，，，，又Q是線段CD上的動點，設，則，可得設，，由P、M、Q三點共線，設利用向量相等消去可得：，令，，則在上單調(diào)遞減，故當時，取得最大值故答案為：【點睛】方法點睛：本題考查向量的坐標運算，求解向量坐標運算問題的一般思路：向量的坐標化：向量的坐標運算，使得向量的線性運算可用坐標進行，實現(xiàn)了向量坐標運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密的結(jié)合起來，建立直角坐標系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)數(shù)量運算，考查學生的邏輯思維與運算能力，屬于較難題.【熱點二】三點共線與坐標形式一、單選題1．（2023春·新疆·高一八一中學?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，向量，，，若A，B，C三點共線，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三點共線的向量關系式即可求解.【詳解】因為A，B，C三點共線，則，，即，則，解得.故選：C2．（2022·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知向量，，，若，，三點共線，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示公式進行求解即可.【詳解】因為，，所以，因為，，三點共線，所以，故選：A3．（2022秋·寧夏石嘴山·高二平羅中學?？计谥校┰O向量，，，其中O為坐標原點，，，若A，B，C三點共線，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)向量共線定理可得，再應用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號成立條件.【詳解】由題設，，，A，B，C三點共線，∴且，則，可得，∴，當且僅當時等號成立.∴的最小值為8故選：C.二、填空題4．（2023春·內(nèi)蒙古通遼·高一校考期中）已知向量，，，若點，，三點共線，則實數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)向量共線定理可知，根據(jù)向量坐標計算即可.【詳解】，，因為點，，三點共線，所以，解得.故答案為：.5．（2022春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量，，若、、三點共線，則．【答案】【分析】由已知可得，利用平面向量共線的坐標表示可求得實數(shù)的值.【詳解】由已知，則，解得.故答案為：.6．（2021秋·天津紅橋·高三天津三中校考階段練習）已知向量，若B，C，D三點共線，則.【答案】【分析】根據(jù)三點共線得出向量共線，從而得到，然后根據(jù)誘導公式求的值.【詳解】因為，所以，，因為B，C，D三點共線，所以，即，所以.故答案為：.【熱點三】三點共線與應用問題一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）已知，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，，，，則，，三點共線的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量共線的充要條件有且，即可得答案.【詳解】由，，三點共線的充要條件是且，所以，故.故選：C2．（2023秋·四川達州·高三?？奸_學考試）已知A、B、C三點共線（該直線不過原點O），且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．4【答案】C【分析】先根據(jù)三點共線，求出，利用基本不等式求最值.【詳解】因為A、B、C三點共線（該直線不過原點O），且，所以當且僅當，即時等號成立．故選：C【點睛】（1）A、B、C三點共線（該直線不過原點O），且，則有；（2）利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：“一正二定三相等”：①“一正”就是各項必須為正數(shù)；②“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方．3．（2021春·四川廣安·高一四川省廣安代市中學校校考開學考試）已知，是不共線的向量，，若三點共線，則實數(shù)滿足（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】利用三點共線再利用向量相等可得答案.【詳解】由點共線，得，而，于是有，即，.故選：C.二、多選題4．（2023春·重慶榮昌·高一重慶市榮昌安富中學校?？茧A段練習）下列四個結(jié)論正確的是（）A．若平面上四個點P，A，B，C，，則A．B，C三點共線B．已知向量，若，則為鈍角.C．若G為△ABC的重心，則D．若，△ABC一定為等腰三角形【答案】AC【分析】對于A，利用共線向量定理判斷，對于B，舉例判斷，對于C，由重心性質(zhì)判斷，對于D，利用三角函數(shù)的性質(zhì)判斷【詳解】對于A，由，所以，即，所以共線，因為有公共端點，所以A．B，C三點共線，所以A正確，對于B，當時，，此時，則的夾角為，不是鈍角，所以B錯誤，對于C，延長，交于，因為G為△ABC的重心，所以為的中點，，所以，所以，所以，所以C正確，對于D，因為，，所以或，所以或，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，所以D錯誤，故選：AC5．（2022春·湖南郴州·高一安仁縣第一中學?？茧A段練習）如圖，已知點G為的重心，點D，E分別為AB，AC上的點，且D，G，E三點共線，，，，，記，，四邊形BDEC的面積分別為，，，則（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】連接AG并延長交BC于點M，由三角形重心結(jié)合向量運算探求m，n的關系，再借助三角形面積公式及均值不等式即可逐項判斷作答.【詳解】連接AG并延長交BC于點M，如圖，因G為的重心，則M是BC邊的中點，且，又D，G，E三點共線，即，則有，而，，又，于是得，而與不共線，因此，，，A正確；邊AD上的高為，邊AB上的高為，則，B正確；由A可知，，當且僅當時取“=”，則有，即，而，于是得，C正確，D錯誤.故選：ABC三、填空題6．（2023春·安徽合肥·高一安徽省廬江湯池中學校聯(lián)考期中）在平面向量中有如下定理：設點、、、為同一平面內(nèi)的點，則、、三點共線的充要條件是：存在實數(shù)，使．試利用該定理解答下列問題：如圖，在中，點為邊的中點，點在邊上，且，交于點，設，則．【答案】【解析】由圖形知道，，三點共線，從而存在實數(shù)，使，根據(jù)，可得，所以，所以，這樣即可得到：，所以消去可得關于，的方程，同樣根據(jù)，，三點共線又可得到一個關于，的方程，這兩個方程聯(lián)立即可求出，，從而求出．【詳解】解：如圖，，，三點共線，存在實數(shù)，使，，，，又；，①；同樣，，，三點共線，所以存在，使，為邊的中點，，；，，聯(lián)立①可得：，，．故答案為：【點睛】考查對給出的定理的運用，共面向量基本定理，共線向量基本定理，屬于中檔題．【熱點四】數(shù)量積定義運算一、單選題1．（2023春·湖南岳陽·高一校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，，則（

）A．9 B．18 C．6 D．12【答案】D【分析】由可得，則，代入化簡即可得出答案.【詳解】由可得：，所以，所以，，因為，所以.故選：D.2．（2023秋·湖北恩施·高三?？茧A段練習）已知，為單位向量，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設與夾角為，利用求出，在利用夾角公式計算即可.【詳解】因為，為單位向量，由，所以，即，設與夾角為，則，又，所以，故選：C.二、多選題3．（2023春·江蘇南京·高一南京大學附屬中學校考階段練習）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】AD選項，由可得，，后結(jié)合，可判斷選項正誤；BC選項，結(jié)合AD選項分析可得，據(jù)此可判斷BC選項正誤.【詳解】AD選項，，得，整理得①．由，得，整理得②．由①②及，得，所以，.故AD正確；BC選項，，所以，所以反向共線，又，所以，.故B正確，C錯誤.故選：ABD．4．（2023秋·江蘇泰州·高三泰州中學校考階段練習）已知向量，滿足且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】先對條件進行化簡得到，再結(jié)合選項逐個判定可得答案.【詳解】因為，所以；因為，所以，所以，故C錯誤，D正確；因為，所以，A正確；因為，所以，B錯誤；故選：AD.三、填空題5．（2023·全國·高三專題練習）已知，，是平面向量，滿足，，，則向量在向量上的投影的數(shù)量的最小值是.【答案】【分析】由，可得，即，再結(jié)合條件，，不妨設，，，結(jié)合條件可得，表示出向量在向量上的投影的數(shù)量，從而求得最小值.【詳解】由，則，即，即，即，又由，所以，，不妨設，，，則，即，即，則故向量在向量上的投影的數(shù)量為，又，所以，所以向量在向量上的投影的數(shù)量的最小值是.故答案為：.6．（2023·四川成都·樹德中學?？寄M預測）已知中，，則．【答案】【分析】由以為基底表示，結(jié)合，，可得,后即可得答案.【詳解】由圖可得，因，則，則，因，則，，代入上式有：，.則.故答案為：【熱點五】數(shù)量積坐標運算一、單選題1．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市八中校考階段練習）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量共線的規(guī)則求出x，再根據(jù)向量的坐標運算規(guī)則求解.【詳解】，；故選：A.2．（2023·陜西西安·?？家荒＃┮阎蛄?，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由求得，再用倍角公式求即可.【詳解】因為，，，所以，即，所以，解得或（舍），所以，故選：B3．（2023·新疆克拉瑪依·克拉瑪依市高級中學?？寄M預測）已知向量，，且，則（

）A．2 B．－2 C．0 D．【答案】C【分析】通過向量的數(shù)量積公式及向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】因為，所以．故選：C．二、填空題4．（2023秋·山東菏澤·高三校考階段練習）已知夾角為的非零向量滿足，，則.【答案】2【分析】由得，化簡代入結(jié)合數(shù)量積的定義即可得出答案.【詳解】因為的夾角為，且，而，則，所以，則，解得：.故答案為：2.5．（2023春·云南大理·高一大理白族自治州民族中學?？计谥校┮阎矫嫦蛄?，則向量與的夾角為.【答案】【分析】根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的坐標運算即可得解.【詳解】因為，所以，因為，所以.故答案為：.6．（2023春·福建漳州·高三福建省漳州第一中學?？奸_學考試）單位圓中，為一條直徑，為圓上兩點且弦長為，則的取值范圍是.【答案】【分析】由題設，再根據(jù)數(shù)量積坐標運算計算即可.【詳解】解：如圖，由弦長為，可得，不妨設，則，所以.故答案為：.【熱點六】投影向量一、單選題1．（2023秋·浙江寧波·高三校考階段練習）已知向量，滿足，，則在方向上的投影向量的模為（

）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和向量數(shù)量積的運算得出，然后代入公式即可求解.【詳解】因為，所以，又，所以，則在方向上的投影向量的模為，故選：B．2．（2023春·福建廈門·高一廈門一中?？茧A段練習）設非零向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量模的性質(zhì)由已知可求得，則按照在方向上的投影向量的定義求解即可.【詳解】因為，，所以，則，解得，所以在方向上的投影向量為.故選：B.二、多選題3．（2023春·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）若過作的垂線，垂足為，則稱向量在上的投影向量為．如圖，已知四邊形均為正方形，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上的投影向量為B．在上的投影向量為C．在上的投影向量為D．在上的投影向量為【答案】AC【分析】過作于，連接，設，由可得，求出可得，可得在上的投影向量；根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得，可得在上的投影向量．【詳解】過作于，連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，設，則，，由可得，所以，則，所以在上的投影向量為，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得，所以在上的投影向量為．故選：AC.4．（2023·海南省直轄縣級單位·校聯(lián)考一模）已知直四棱柱的底面是菱形，，且二面角的正切值為2，則（

）A． B．C．向量在上的投影向量為 D．向量在上的投影向量為【答案】AC【分析】建立空間直角坐標系，用向量法即可得出各棱長的關系，從而可判斷各選項.【詳解】該四棱柱為直四棱柱，所以底面，，底面是菱形，，所以為等邊三角形，作中點為，則,即，，如圖，以為原點，所在的直線分別作軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設,則,,,記平面的一個法向量為，則，即，令，則，，，記平面的一個法向量為，則，即，令，則，，記二面角為（為銳角），由題知知，則，解方程組可得，二面角的余切值為，解得，即，，所以，故A正確；，所以，，即，故B錯誤；,,平面,平面，,所以向量在上的投影向量為，故C正確；，,由余弦定理可得,即為鈍角，故向量在上的投影向量與方向相反，存在一個實數(shù)，使得向量在上的投影向量等于，故D錯誤.故選：AC.三、填空題5．（2023春·上海徐匯·高一上海中學?？计谀┮阎蛄?，且，的夾角為，，則在方向上的投影向量等于.【答案】【分析】根據(jù)所給條件利用向量數(shù)量積運算求出，再由投影向量的定義求解即可.【詳解】，，，，在方向上的投影向量為.故答案為：6．（2023秋·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學校考階段練習）已知向量，的夾角為，，則向量在方向上的投影為．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的投影公式，即可求解．【詳解】向量，的夾角為，，，，，故向量在方向上的投影為．故答案為：．【熱點七】向量共線定理解決范圍與最值一、單選題1．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第一中學校考階段練習）在中，，，，為線段上的動點，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件求得解得，，，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.【詳解】設，，根據(jù)題意得，解得，，，，，又、、三點共線，，，當且僅當，即時，等號成立．故選：C【點睛】關鍵點睛：解題的關鍵是由已知條件求出后，再由三點共線，得，所以化簡后結(jié)合基本不等式可求出其最小值，2．（2023·陜西西安·校聯(lián)考一模）已知正三角形的邊長為6，，，且，則點到直線距離的最大值為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】由結(jié)合得出點在線段上運動，進而得出點到直線距離的最大值.【詳解】因為，所以，所以．如圖，設，，則．因為，，所以點在線段上運動，顯然，當點與點重合時，點到直線的距離取得最大值．故選：D3．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知中，，，，，，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知可得到的距離為2，為等腰直角三角形，若為的兩個四等分點，為中點，在線段上運動，且，數(shù)形結(jié)合求的取值范圍.【詳解】由，結(jié)合向量加法法則知：到的距離為2，又，則，所以，故為等腰直角三角形，由，則，所以共線，又，則，若為的兩個四等分點，為中點，如下圖示，所以在線段上運動，且，，，由圖：若，則，又，此時，故上述情況，易知，由圖知：與重合時，，綜上，的取值范圍為.故選：D二、多選題4．（2023·全國·高三專題練習）直角三角形中，是斜邊上一點，且滿足，點在過點的直線上，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為常數(shù) B．的值可以為：C．的最小值為3 D．的最小值為【答案】ACD【分析】作出圖形，由可得出，根據(jù)三點共線的結(jié)論得出，由此判斷A，B，結(jié)合基本不等式可判斷CD.【詳解】如下圖所示：由，可得，，若，，，則，，，、、三點共線，，，故A正確；當，時，，所以B錯誤；，當且僅當時，等號成立，C正確；的面積，的面積，所以，因為，所以，當且僅當時等號成立，即，當且僅當時等號成立，所以當時，取最小值，最小值為，所以的最小值為，D正確；故選：ACD.三、填空題5．（2023·天津·一模）在中，已知，，，為線段上的點，且，則的最小值為．【答案】【分析】首先由及得出，再由得出，由得出，設，，結(jié)合已知得出，根據(jù)基本不等式求解即可．【詳解】因為，且，所以，即，所以，因為，所以，所以，由得，由得，因為，所以，即，由及得，設，，因為，所以，，所以將，代入得，，即，所以，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以，故答案為：．6．（2023·全國·高三專題練習）在中，已知是斜邊上一動點，點滿足，若，若點在邊所在的直線上，則的值為；的最大值為.【答案】1/【分析】根據(jù)共線定理推論即得；建立直角坐標系，寫出直線BC的方程，根據(jù)方程設點P坐標，結(jié)合條件可得Q的軌跡方程，進而設出點Q坐標，根據(jù)已知表示出然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因為，若點在邊所在的直線上，則；以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則，，，得直線BC的方程為，則可設，其中，由，得點Q在以點P為圓心，2為半徑的圓上，可設，由，，，因為，所以，所以，即，則（其中），所以，即，故的最大值為.故答案為：；.【熱點八】向量坐標運算解決范圍與最值一、單選題1．（2023春·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習）在中，，，，是的外接圓上的一點，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解三角形得到為直角三角形，建立直角坐標系，通過表示出，借助三角函數(shù)求出最小值.【詳解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），設P的坐標為，所以，，，又，所以，所以，，所以，當且僅當時，等號成立．故選：B．2．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，梯形中，，且，點P在線段上運動，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用坐標法，設，可得，進而可得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】如圖建立平面直角坐標系，則，∴，設，，∴，又，∴，解得，∴，即的最小值為.故選：B.二、填空題3．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是．【答案】【分析】采用向量的坐標運算，得到所求模長之和的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為單位圓上的點到和兩點的距離之和的最小值的求解問題，由此計算得到結(jié)果.【詳解】均為單位向量且，不妨設，，且，，，，的幾何意義表示的是點到和兩點的距離之和的2倍，點在單位圓內(nèi)，點在單位圓外，則點到和兩點的距離之和的最小值即為和兩點間距離，所求最小值為.故答案為：.4．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預測）已知兩個向量，則當取得最小值時，.【答案】【分析】由，可求出，則，當時，即可求出的最小值.【詳解】由題意可得，則，所以，所以，取得最小值.故答案為：.5．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）在直角梯形中，，，，，動點在以點為圓心，且與直線相切的圓上移動，設，則最大值是.【答案】4【分析】建立直角坐標系，寫出點的坐標，求出BD的方程，求出圓的方程，設出，求出三個向量的坐標，用P的坐標表，則，根據(jù)直線AP:與有交點,求出范圍．【詳解】解：以為原點，分別以方向為軸，建立如圖所示直角坐標系：所以，，，，所以，，因為圓與直線相切，而，圓心，所以半徑，所以圓：，設,則，，又所以，則，所以所以表示坐標原點A與點P兩點之間連線的斜率的2倍，因為動點在圓上移動，所以直線AP:與有交點，則圓心到的距離為解得:，則所以，則最大值是4.故答案為：4．6．（2023春·河南周口·高一統(tǒng)考期中）如圖．在直角梯形中．，點P是腰上的動點，則的最小值為．【答案】4【分析】建立平面直角坐標系，設，求得相關點坐標，求出的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由在直角梯形中．，則，則以A為原點，為軸建立平面直角坐標系，設，設，則，故，所以，故，當且僅當即時取得等號，即的最小值為4，故答案為：4【熱點九】向量與幾何范圍與最值一、單選題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第十一中學校?？计谀┮阎呅蜛BCDEF的邊長為2，P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．8 D．【答案】B【分析】以正六邊形ABCDEF中心O為原點建立平面直角坐標系如圖所示，由向量數(shù)量積的坐標表示研究最值.【詳解】以正六邊形ABCDEF中心O為原點建立平面直角坐標系如圖所示，AB、DE交y軸于G、H，則，設，，由正六邊形對稱性，不妨只研究y軸左半部分，（1）當P在EH上時，則，，則；（2）當P在AG上時，則，，則；（3）當P在EF上時，則：，，則；（4）當P在AF上時，則：，，則.綜上，所求最大值為12.故選：B.2．（2023春·福建福州·高三?？茧A段練習）圓為銳角的外接圓，，點在圓上，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把轉(zhuǎn)化為，由余弦定理、數(shù)量積的定義得，討論的位置得，結(jié)合銳角三角形恒成立，即可得范圍.【詳解】由為銳角三角形，則外接圓圓心在三角形內(nèi)部，如下圖示，又，而，若外接圓半徑為r，則，故，且，即，由，對于且在圓上，當為直徑時，當重合時，所以，綜上，，銳角三角形中，則，即恒成立，所以，則恒成立，綜上，.故選:C3．（2023·北京·高三專題練習）已知正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的動點，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過建立合適的直角坐標系，設，得到的軌跡方程，最后得到的表達式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得到其范圍.【詳解】以中點為原點建立如下直角坐標系；則，，，設，則，，則，即，則，其中，，則，則，故選：D.4．（2023·江西南昌·南昌市八一中學校考三模）平面四邊形ABCD中，AB=1，AC=，AC⊥AB，∠ADC=，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】由題設畫出示意圖，易得且在以中點為圓心，為半徑的劣弧上，根據(jù)圓的性質(zhì)可求的最小值.【詳解】由題設，可得如下示意圖，所以，因為，即在以中點為圓心，為半徑的劣弧上，所以要使的最小，即最大即可，由圓的性質(zhì)知：當為劣弧的中點時最大，又AC=，此時，故的最小值為.故選：D5．（2023·福建廈門·廈門市湖濱中學?？寄M預測）已知A，B是圓上的動點，，P是圓上的動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得在圓上，則，數(shù)形結(jié)合即可求出的取值范圍，即可得解.【詳解】由題意可得是圓心為半徑為1的圓，是圓心為半徑為1的圓，設中點為，，由垂徑定理得，在圓上，又，由圖可知，，的范圍為.故選：C二、填空題6．（2023·全國·高三專題練習）在中，，點Q滿足，則的最大值為.【答案】/【分析】設中點為M，則，根據(jù)平面向量的線性運算可得，得當時，最大，此時是等邊三角形，求出即可求解.【詳解】設中點為M，則，，由，知P點軌跡是以為弦，圓周角為的優(yōu)弧，∴當時，最大，此時是等邊三角形，則.故答案為：.強化訓練強化訓練一、單選題1．（2023秋·江西南昌·高三南昌縣蓮塘第一中學?？茧A段練習）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】先利用向量的線性運算得到，再利用三點共線的充要條件，得到，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因為M為線段的中點，所以，又因為，所以，又，，所以，又三點共線，所以，即，所以，當且僅當，即時取等號.故選：B.2．（2023春·福建廈門·高一校考期中）在中，點為的中點，，與交于點，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量基本定理，用表示即可得答案.【詳解】解：如圖，因為點為的中點，，所以，，，所以，即，解得所以，的值為.故選：B3．（2023·全國·高一專題練習）已知向量與的夾角為，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為x?y.現(xiàn)有兩個結(jié)論：①若，則；②的最大值為.則正確的判斷是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】C【分析】①根據(jù)及與的夾角為求出，假設成立，求出與，代入后發(fā)現(xiàn)等式不成立，故①錯誤；②利用向量共線定理可知，點C在線段AB上，再結(jié)合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面積公式和基本不等式求出最大值為1，進而求出的最大值.【詳解】由，解得：，當時，，由得：，即，由得：，因為，假設，則可求出，，代入中，等號不成立，故①錯誤；設，，，因為，由向量共線定理可知，點C在線段AB上，如圖，設，則，因為，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故點C滿足，又，，所以，其中，而要想保證最大，只需最小，由余弦定理可得：，當且僅當時，等號成立，所以最小值為，所以最大值為，故的最大值為，②正確.故選：C【點睛】向量投影的理解是很重要的，在出題中往往會畫出圖形來進行思考問題，利用幾何法來解決問題，這道題目的突破口就是結(jié)合與，可得：點C在線段AB上且，進而得到最小值.4．（2023·全國·高一專題練習）中，，O是外接圓圓心，是的最大值為（）A．0 B．1 C．3 D．5【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用向量運算化簡變形向量等式，再利用正弦定理求出的最大值即可計算作答.【詳解】過點O作，垂足分別為D，E，如圖，因O是外接圓圓心，則D，E分別為AC，的中點，在中，，則，即，，同理，因此，，由正弦定理得：，當且僅當時取“=”，所以的最大值為3.故選：C【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．5．（2023春·廣東汕頭·高三校聯(lián)考階段練習）已知非零向量滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由垂直關系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由兩式得出，進而得出夾角.【詳解】因為，所以，即①.因為向量在向量方向的投影向量是，所以.所以②，將①代入②得，，又，所以.故選：B6．（2023春·全國·高一專題練習）已知A，B，C是單位圓上的三個動點，則的最小值是（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，設出，，表達出，結(jié)合，求出最小值.【詳解】以的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設，，則，故，當時，取得最小值，最小值為，由于，故當時，最小，故最小值為，此時，滿足要求，故選：B【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關知識進行求解.7．（2023春·廣東佛山·高一校考期中）在中，，，，P，Q是平面上的動點，，M是邊BC上的一點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)向量運算可得，結(jié)合圖形分析的最小值即可得結(jié)果.【詳解】取的中點，則，可得，∵，當且僅當在線段上時，等號成立，故，顯然當時，取到最小值，∴，故.故選：B.8．（2023·海南·海南華僑中學?？寄M預測）已知P是等邊三角形ABC所在平面內(nèi)一點，且，，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】作出輔助線，利用向量的線性運算及數(shù)量積運算法則得到，數(shù)形結(jié)合得到當B，P，O三點共線時，PO取得最小值2，從而求出最小值.【詳解】設AC中點為O，連接OB，則OB＝3，因為，所以P點在以B為圓心，1為半徑的圓上，所以，顯然，當B，P，O三點共線時，PO取得最小值2，．故選：A二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，F(xiàn)為線段BC的中點，E為線段AD上一動點（包括端點），，則下列說法正確的是（

）A． B．的最小值為C．若E為線段AD的中點，則 D．n的最大值為【答案】ACD【分析】如圖作出輔助線，根據(jù)所給條件及直角三角形中的三角函數(shù)求出AB判斷A，根據(jù)向量中的重要公式極化恒等式可判斷B，根據(jù)向量的線性運算及三點共線可求出判斷C，建立平面直角坐標系，利用坐標法求n的最大值判斷D.【詳解】過作，交的延長線于點，過作，交于，如圖，則四邊形為矩形，設，由題意知，則，，∴．，∴．對于選項A，，故A正確；對于選項B，由F為線段BC的中點可知，所以，所以，過F作，垂足為M，的長即最小值，且，∴，故B錯誤；對于選項C，∵E為DA中點，，∴，即．∴．故C正確；對于選項D，以D為坐標原點，，所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，則，，，，，設∴，即∴，，∴，故D正確．故選：ACD10．（2023秋·