第4章-彎曲內(nèi)力

第四章彎曲內(nèi)力第四章彎曲內(nèi)力§4.4

剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖§4.1彎曲的概念和實(shí)例§4.2受彎桿件的簡(jiǎn)化§4.3剪力和彎矩工程實(shí)例:§4.1彎曲的概念

1、彎曲：在垂直于桿軸線的平衡力系的作用下，桿的軸線在變形后成為曲線的變形形式。

2、梁：主要承受垂直于軸線荷載的桿件

3、平面彎曲（對(duì)稱彎曲）：若梁上所有外力都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁變形后軸線形成的曲線也在該平面內(nèi)的彎曲。

(1)受力特征外力（包括力偶）的作用線垂直于桿軸線.(2)變形特征

變形前為直線的軸線,變形后成為曲線.AB對(duì)稱軸縱向?qū)ΨQ面梁變形后的軸線與外力在同一平面內(nèi)梁的軸線RAF1F2RB

研究對(duì)象：等截面的直梁，且外力作用在梁對(duì)稱面內(nèi)的平面力系。

1.梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖：梁軸線代替梁，將荷載和支座加到軸線上。

2.梁的支座簡(jiǎn)化(平面力系)：a)滑動(dòng)鉸支座b)固定鉸支座c)固定端§4.2受彎桿件的簡(jiǎn)化

3.靜定梁(a)懸臂梁(b)簡(jiǎn)支梁(c)外伸梁4.作用在梁上的荷載可分為:(a)集中荷載F1集中力M集中力偶(b)分布荷載q(x)任意分布荷載q均布荷載一、截面法過(guò)程：切、取、代、平FAB剪力C彎矩§4.3

剪力和彎矩

①剪力—平行于橫截面的內(nèi)力，符號(hào)：Fs，正負(fù)號(hào)規(guī)定：使梁順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)剪為正，反之為負(fù).MMMMFSFSFSFS

②彎矩—繞截面轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)力，符號(hào)：M，正負(fù)號(hào)規(guī)定：使梁變形呈上凹下凸的彎矩為正，反之為負(fù)(梁上壓下拉的彎矩為正)。剪力為正剪力為負(fù)彎矩為正彎矩為負(fù)二、平面彎曲梁橫截面上的內(nèi)力：例:求下圖所示簡(jiǎn)支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：1、求支反力2、計(jì)算1-1截面的內(nèi)力3、計(jì)算2-2截面的內(nèi)力F=8kNFAFBq=12kN/m1.剪力、彎矩方程：

2.剪力、彎矩圖：剪力、彎矩方程的圖形，橫軸沿軸線方向表示截面的位置，縱軸為內(nèi)力的大小。剪力圖為正值畫在x軸上側(cè)，負(fù)值畫在x軸下側(cè)彎矩圖為正值畫在x軸上側(cè)，負(fù)值畫在x軸下側(cè)§4.4

剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖

例:在圖示簡(jiǎn)支梁AB的C點(diǎn)處作用一集中力F，試列剪力方程和彎矩方程,并作剪力圖和彎矩圖。由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，剪力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向。解：1、求支反力2、建立剪力方程和彎矩方程+lFABCabFAFB+例:如圖所示的懸臂梁在自由端受集中荷載F作用,試列剪力方程和彎矩方程,并作剪力圖和彎矩圖.BAFlx解

(1)將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端，列出梁的剪力方程和彎矩方程FSxFFlxM由剪力、彎矩圖知：在集中力偶作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生突變，其突變值為集中力偶的大小。

例:

在圖示簡(jiǎn)支梁AB的C點(diǎn)處作用一集中力偶M，作該梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、求支反力2、建立剪力方程和彎矩方程lABCabFAFBM++FSM例:圖示簡(jiǎn)支梁受均布荷載q的作用，試列剪力方程和彎矩方程,并作該梁的剪力圖和彎矩圖。qlAB解：1、求支反力FAFB2、建立剪力方程和彎矩方程+l/2§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩關(guān)系：目錄載荷集度、剪力和彎矩關(guān)系：q＝0，F(xiàn)s=常數(shù)，剪力圖為水平直線；M(x)為x的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。2.q＝常數(shù)，F(xiàn)s(x)為x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；

M(x)為x的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。分布載荷向上（q>0），拋物線呈凹形；

分布載荷向下（q<0），拋物線呈凸形。3.剪力Fs=0處，彎矩取極值。4.集中力作用處，剪力圖突變；集中力偶作用處，彎矩圖突變§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系目錄5、也可通過(guò)積分方法確定剪力、彎矩圖上各點(diǎn)處的數(shù)值。

從左到右，向上（下）集中力作用處，剪力圖向上（下）突變，突變幅度為集中力的大小。彎矩圖在該處為尖點(diǎn)。

從左到右，順（逆）時(shí)針集中力偶作用處，彎矩圖向上（下）突變，突變幅度為集中力偶的大小。剪力圖在該點(diǎn)沒(méi)有變化。

§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系目錄微分關(guān)系繪制剪力圖與彎矩圖的方法：

根據(jù)載荷及約束力的作用位置，確定控制面。

應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值。

建立FS一x和M一x坐標(biāo)系，并將控制面上的剪力和彎矩值標(biāo)在相應(yīng)的坐標(biāo)系中。

應(yīng)用平衡微分方程確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進(jìn)而畫出剪力圖與彎矩圖?！?-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系目錄BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例題4-6

簡(jiǎn)支梁受力的大小和方向如圖示。試畫出其剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力求得A、B

二處的約束力

FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN根據(jù)力矩平衡方程

2．確定控制面

在集中力和集中力偶作用處的兩側(cè)截面以及支座反力內(nèi)側(cè)截面均為控制面。即A、C、D、E、F、B截面。

EDCF§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系目錄(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO3．建立坐標(biāo)系建立FS－x和M－x坐標(biāo)系

5．根據(jù)微分關(guān)系連圖線4．應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FS－x和M－x坐標(biāo)系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS

(kN)O0.89kN=＝1.11kN§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系目錄（-）（+）解法2：1．確定約束力FAy＝0.89kNFFy＝1.11kN2．確定控制面為A、C、D、B兩側(cè)截面。

FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3．從A截面左測(cè)開始畫剪力圖。

Fs（kN）0.891.11§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系目錄（-）（-）4．從A截面左測(cè)開始畫彎矩圖。

M（kN.m）從A左到A右從C左到C右從D左到D右從A右到C左1.3300.330從C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系從D右到B左從B左到B右目錄qBADa4aFAyFBy例題4-7試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力根據(jù)梁的整體平衡，由求得A、B二處的約束力qa2．確定控制面

由于AB段上作用有連續(xù)分布載荷，故A、B兩個(gè)截面為控制面，約束力FBy右側(cè)的截面，以及集中力qa左側(cè)的截面，也都是控制面。C§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系目錄（+）（-）（+）qBADa4aFAyFByqaC3．建立坐標(biāo)系建立FS－x和M－x坐標(biāo)系OFSxOMx4．確定控制面上的剪力值，并將其標(biāo)在FS－x中。5．確定控制面上的彎矩值，并將其標(biāo)在M－x中。§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系目錄

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa解法2：1．確定約束力2．確定控制面，即A、B、D兩側(cè)截面。

3．從A截面左測(cè)開始畫剪力圖。

Fs

9qa/4

7qa/4qa§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系目錄（+）M

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

Fs

9qa/4

7qa/4qa4．求出剪力為零的點(diǎn)到A的距離。

B點(diǎn)的彎矩為-1/2×7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2AB段為上凸拋物線。且有極大值。該點(diǎn)的彎矩為1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325．從A截面左測(cè)開始畫彎矩圖

81qa2/32qa2§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系目錄（-）（-）（+）（+）（-）

Fs例題4-8試畫出圖示有中間鉸梁的剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力從鉸處將梁截開qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系目錄小結(jié)1、熟練求解各種形式靜定梁的支座反力2、明確剪力和彎矩的概念，理解剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定3、熟練計(jì)算任意截面上的剪力和彎矩的數(shù)值4、熟練建立剪力方程、彎矩方程，正確繪制剪力圖和彎矩圖目錄通過(guò)剪力、彎矩和分布載荷之間的微分關(guān)系，可推知剪力圖和彎矩圖的形狀:

1.以集中力、集中力偶作用處、分布荷載開始或結(jié)束處，及支

座截面處為界點(diǎn)將梁分段.

2．若梁上無(wú)分布載荷，則該段梁的剪力圖為平行于軸的直線；而彎矩彎矩圖為斜直線。3．若梁上有均布載荷，則剪力圖為斜直線；而彎矩圖為拋物線。本書規(guī)定當(dāng)（向上）時(shí)，彎矩圖為向下凸的曲線；當(dāng)（向下）時(shí)，彎矩圖為向上凸的曲線。4．在集中力作用處，剪力圖有突變（突變值等于集中力），彎矩圖有折角。在集中力偶作用處，剪力圖無(wú)變化，彎矩圖有突變（突變值等于集中力偶矩）5．梁上的最大剪力發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面處；梁上的最大彎矩發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面，或Fs=0的截面處.例一簡(jiǎn)支梁受兩個(gè)力F作用，如圖所示。已知F=25.3kN，有關(guān)尺寸如圖所示.試用本節(jié)所述關(guān)系作此梁的剪力圖和彎矩圖.解(1)求梁的支反力將梁分為AC,CD,DB三段.BACD2001151265FFRARB231(2)剪力圖23.61.727+最大剪力發(fā)生在DB段中的任一橫截面上(3)彎矩圖4.723.11+最大彎矩發(fā)生在C

截面例:一簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，其集度q=100kN/m,如圖

所示.試用簡(jiǎn)易法作此梁的剪力圖和彎矩圖.

解:(1)計(jì)算梁的支反力RARBEqABCD0.21.612將梁分為AC、CD、DB

三段.(2)剪力圖80kN80kN最大剪力發(fā)生在AC

和DB

段的任一橫截面上.(3)彎矩圖+161648單位：kN.m全梁的最大彎矩梁跨中E點(diǎn)的橫截面上.+解支座反力為RA

=81kNRB=29kNmA

=96.5kN.m例:

用簡(jiǎn)易法作組合梁的剪力圖和彎矩圖.10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAq=20kN/m將梁分為AE，EC，CD，DK，KB

五段。(1)剪力圖81kN31kN29kN+設(shè)距K截面為x

的截面上剪力FS=0.即(2)彎矩圖96.53115.5x+55345中間鉸鏈傳遞剪力(鉸鏈左，右兩側(cè)的剪力相等)；但不傳遞彎矩(鉸鏈處彎矩必為零).F=50kNM=5kN.mAECDKRARBmAq=20kN/m++例:作梁的內(nèi)力圖.解(1)支座反力為3m4mABCDE4m4mRARBF1=2kNq=1kN/mm=10kN.mF2=2kN將梁分為AC、CD、

DB、BE四段.(2)剪力圖7kN1kN++3kN3kN2kNx=5mF點(diǎn)剪力為零,令其距A點(diǎn)為xx=5m(3)彎矩圖201666+20.5例:已知簡(jiǎn)支梁的彎矩圖，作出梁的剪力圖和荷載圖.AB段因?yàn)镸(x)=常量，剪力圖為水平直線，且FS(x)=0.40kN.mabcd2m2m2m+解：(1)作剪力圖BC段F

S(x)=常量,剪力圖為水平直線CD段剪力圖為水平直線且F

S(x)=0abcd20kNAB段無(wú)荷載.m=40kN.m(

)m在A處有集中力偶.(2)作荷載圖40KN.mabcd2m2m2m+abcd20kNBCADF=20kN(

)B

處有集中力.集中力BC段無(wú)荷載.C處有集中力.集中力:F=20kN(

)CD段無(wú)荷載.FF

例:已知簡(jiǎn)支梁的剪力圖.作梁的彎矩圖和荷載圖.已知梁上沒(méi)有集中力偶作用.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+解(1)畫荷載圖AB段沒(méi)有荷載，在B處有集中力,因?yàn)?所以F=20kN方向向下CABDF=20kNBC段

無(wú)荷載CD

段有均布荷載q(

)abcd18kN2kN14kN3m3m6m+q=2kNCABDF=20kN(2)彎矩圖AB段