必修二《第八章 立體幾何初步》同步檢測試卷與答案

《8.1基本立體圖形》同步檢測試卷

一、基礎(chǔ)鞏固

1.下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（）

2.把一個已知圓錐截成個圓臺和一個小圓錐，已知圓臺的上、下底面半徑

之比為1:3,母線長為6cm,則已知圓錐的母線長為（）cm.

A.8B.9C.10D.12

3.如圖所示的組合體，其結(jié)構(gòu)特征是（）

A.左邊是三棱臺，右邊是圓柱B.左邊是三棱柱，右邊是圓柱

C.左邊是三棱臺，右邊是長方體D.左邊是三棱柱，右邊是長方體

4.下列說法正確的是（）

A.側(cè)棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱

B.棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面

C.棱柱中各條棱長都相等

D.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形

5.如圖，在棱長為1的正方體ASCO-AgCQ中，M，N分別是44,

的中點(diǎn)，過直線8。的平面。||平面40N,則平面a截該正方體所得截面的面積

為（）

A.V2B.-C.&D.國

82

6.一個圓錐的母線長為/,母線與軸的夾角為30。，則該圓錐側(cè)面展開圖的

圓心角大小為（）

A.生B.三C.生D.萬

323

7.已知過球面上三點(diǎn)的截面到球心距離等于球半徑的一半，且

是邊長為6的等邊三角形，則球面面積為（）

A.42萬B.487rC.64〃D.60乃

8.半徑為E的半圓卷成一個圓錐，則它的體積是（）

A.且兀R3B.&兀R?C.B兀ND.也兀R3

248248

9.棱臺的上、下底面面積分別為4和9,則這個棱臺的高和截得棱臺的原

棱錐的高的比是（）

A.-B.-C.-D.-

2334

10.已知長方體全部棱長的和為36,表面積為52,則其體對角線的長為（）

A.4B.729C.2>/23D.4>/17

11.下列說法中錯誤的是（）

A.正棱錐的所有側(cè)棱長相等

B.圓柱的母線垂直于底面

C.直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形

D.用經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐，所得的截面一定是全等的等腰三角形

12.正三棱錐底面邊長為“，高為巫a,則此正三棱錐的側(cè)面積為（）

6

A33「362n373

A?Cl2D.Cl2U?------ciD?----ci2

4242

二、拓展提升

13.已知四棱臺的上底面、下底面分別是邊長為4、8的正方形，各側(cè)棱長均

相等，且側(cè)棱長為J萬，求四棱臺的高.

14.把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上，下底面半徑的比是1：4.母線長

為10,求圓錐的母線長.

15.一個圓臺的母線長為12cm,兩底面面積分別為4兀cm?和25兀cm?.

（1）求圓臺的高；

（2）求截得此圓臺的圓錐的母線長.

答案解析

一、基礎(chǔ)鞏固

1.下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（）

▽

【答案】C

【詳解】

由圖可知，ABD選項(xiàng)可以圍成三棱柱，C選項(xiàng)不是三棱柱展開圖.

2.把一個已知圓錐截成個圓臺和一個小圓錐，已知圓臺的上、下底面半徑

之比為1:3,母線長為6cm,則已知圓錐的母線長為（）cm.

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【詳解】

設(shè)圓錐的母線長為/,

因?yàn)閳A臺的上、下底面半徑之比為1:3,

所以/—6:/=1:3,

解得1=9.

3.如圖所示的組合體，其結(jié)構(gòu)特征是（）

A.左邊是三棱臺，右邊是圓柱B.左邊是三棱柱，右邊是圓柱

C.左邊是三棱臺，右邊是長方體D.左邊是三棱柱，右邊是長方體

【答案】D

【詳解】

根據(jù)三棱柱和長方體的結(jié)構(gòu)特征，可知此組合體左邊是三棱柱，右邊是長方

4.下列說法正確的是（）

A.側(cè)棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱

B.棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面

C.棱柱中各條棱長都相等

D.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形

【答案】A

【詳解】

A顯然正確；

棱柱中兩個互相平行的平面不一定是棱柱的底面，

例如正六棱柱的相對側(cè)面，故B錯誤；

棱柱的每條側(cè)棱長相等，而不是各條棱長都相等，故C錯誤；

棱柱的底面可以是平行四邊形，如長方體，故D錯誤.

5.如圖，在棱長為1的正方體ABC。-A5GA中，M,N分別是AQ,4用

的中點(diǎn)，過直線8。的平面。||平面40N,則平面a截該正方體所得截面的面積

C.D.—

2

取CQ,8￡的中點(diǎn)為P,Q.

易知\MN/IBQJIBD,AD//NP.AD=NP,所以四邊形ANPD為平行四邊

形，所以AN//DP.

又BO和DP為平面DBQP的兩條相交直線，所以平面DBQP//平面AMN,

即DBQP的面積即為所求.

由PQ//DB,PQ=；BD/,所以四邊形DBQP為梯形，高為

Ig

所以面積為：-{PQ+BD）h=^.

2o

6.一個圓錐的母線長為L母線與軸的夾角為30。，則該圓錐側(cè)面展開圖的

圓心角大小為（

,7t

A.—BcD

3-T-T-"

【答案】D

【詳解】

設(shè)半徑為「，

由母線長為/,母線與軸的夾角為30。，

得：sin30°=-^r=-/,

12

則底面圓的周長為：2兀廠=兀/,

jrl

所以該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為：囤=子=

7.已知過球面上三點(diǎn)A民。的截面到球心距離等于球半徑的一半，且

△ABC是邊長為6的等邊三角形，則球面面積為（）

A.42萬B.48%C.647rD.60萬

【答案】C

【詳解】

取的中點(diǎn)〃，連接切，由題意可得△/回的外心O'在線段切上，

由A/WC是邊長為6的等邊三角形可得CO=3百，O'C=|cr）=2V3,

設(shè)球的球心為。，半徑為R,連接OC、OO',如圖:

R

由球的性質(zhì)可得OC=R,OO'，平面ABC,即。。'=—,

2

所以

在用△(?/中，O'O2+0'C2^OC2sp-+(2@-=&,

\2J

解得R=4或R=T（舍去）,

所以該球的表面積S=4TTR2=64乃.

8.半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積是（）

A.@萬R3B.好■兀RC.立兀R3D.立兀N

248248

【答案】C

【詳解】

設(shè)底面半徑為則忘"R,所以「哈

所以圓錐的高力=J店-產(chǎn)=走c

2

所以體積曠=L/x/z」/嚀x近R=@仝.

33⑴224

9.棱臺的上、下底面面積分別為4和9,則這個棱臺的高和截得棱臺的原

棱錐的高的比是（）

【答案】B

【詳解】

設(shè)棱臺的高為〃與截得它的棱錐的高“，作出草圖，如下圖所示:

SO_(9,C,SO;QCj5H-h^4

由相似關(guān)系可得,t所以《5?=方聲=不，則

~SO~~OCoc/J下9

/A\24A

得

r可

n1H=-

4-w9-H

77

10.已知長方體全部棱長的和為36,表面積為52,則其體對角線的長為()

A.4B.V29C.2723D.4>/17

【答案】B

【詳解】

設(shè)長方體的三條棱的長分別為：x，v，z,

12(xy+yz+詞=52

人4(x+y+z)=36

可得對角線的長為

yjx2+y2+z2-y](x+y+z)2-2(xy+yz+zx)-^92-52=^29?

11.下列說法中錯誤的是()

A.正棱錐的所有側(cè)棱長相等

B.圓柱的母線垂直于底面

C.直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形

D.用經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐，所得的截面一定是全等的等腰三角形

【答案】C

【詳解】

對于A,根據(jù)正棱錐的定義知,正棱錐的所有側(cè)棱長相等,故A正確；

對于B,根據(jù)圓柱是由矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而成的幾何體,可知圓柱的母線與

底面垂直,故6正確；

對于C,直棱柱的側(cè)面都是矩形，但不一定全等,故。錯誤；

對于〃圓錐的軸截面是全等的等腰三角形，故。正確.

綜上可知，錯誤的為C

12.正三棱錐底面邊長為“，高為"”，則此正三棱錐的側(cè)面積為（）

6

An2zi2C35/32n3百2

A?。B?aC?------ciD?-----ci

4242

【答案】A

因?yàn)榈酌嬲切沃懈邽榱,

其重心到頂點(diǎn)距離為=且

2233

棱錐高逅a,所以利用直角三角形勾股定理可得側(cè)棱長為

加噎所以側(cè)面積為

二、拓展提升

13.已知四棱臺的上底面、下底面分別是邊長為4、8的正方形，各側(cè)棱長

均相等，且側(cè)棱長為J萬，求四棱臺的高.

【答案】3.

由題意可知該四棱臺為正四棱臺，過A作AELAC于E點(diǎn)，

在△AEA中，AA=VF7,AE=8近個近=2叵，

：.4七=，17-8=3

故答案為3

14.把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上，下底面半徑的比是1：4.母線長

為10,求圓錐的母線長.

40

【答案】y.

【詳解】

設(shè)圓錐的母線長為/,圓臺的上、下底面半徑分別為廣，R

"-10r1,40

IR43

40

即圓錐的母線長為：y

15.一個圓臺的母線長為12cm,兩底面面積分別為4兀31?和ZSTtcm?.

(1)求圓臺的高；

(2)求截得此圓臺的圓錐的母線長.

【答案】(1)3厲cm.(2)20cm.

【詳解】

(1)如圖，過圓臺的軸作截面，則截面為等腰梯形ABCD,。一。分別為

AD,5C的中點(diǎn)，作于點(diǎn)連接。。.

由已知可得上底半徑。叢=2cm,下底半徑OB=5cm,且腰長AB=12cm,

AAM=V122-32=3V15(cm),即圓臺的高為3，i?cm.

(2)如圖，延長84,。。交于點(diǎn)S,設(shè)截得此圓臺的圓錐的母線長為/cm,

則由△SAQS^SB。，得警=%，即二經(jīng)=],.?.即截得此圓臺的圓錐的母

SDD(J/5

線長為20cm.

s

《8.2立體圖形的直觀圖》同步檢測試卷

一、基礎(chǔ)鞏固

1.已知水平放置的△/回是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其

中夕O'=CO'=1,A'O'=也,那么原△力回的面積是（）

2

A.GB.272

U?--Un?-石-

24

2.利用斜二測畫法得到的：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的

直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形.以

上結(jié)論正確的是（）

A.①②B.①C.③④D.①②③④

3.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊平行于y軸，BC,

平行于x軸.已知四邊形/四的面積為20cm2,則原平面圖形的面積為（）

C.8cm2D.872cm2

TT

4.已知邊長為1的菱形ABC。中，ZA=-,則用斜二測畫法畫出這個菱形

的直觀圖的面積為（）

A>/3R6ry/6口娓

2468

5.如圖，正方形O'AB'C'的邊長為1M,它是水平放置的一個平面圖形用斜

二測畫法得到的直觀圖，則原圖形的周長是（）

A.8cmB.6cmC.2（1+G）cmD.2（1+V^cm

6.已知正AA5c的邊長為。，那么AABC的平面直觀圖VAEC的面積為

（）

A.直/B.軋2C.通/口.逅/

48816

7.一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45。，腰和上底長均為1

的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（）.

A.1+72B.2+V2C.-+—D.1+也

222

8.如圖，已知AQ鉆的直觀圖△0W8'是一個直角邊長是1的等腰直角三角

形，那么的面積是（）

D.V2

9.下列說法正確的是（）

A.互相垂直的兩條直線的直觀圖仍然是互相垂直的兩條直線

B.梯形的直觀圖可能是平行四邊形

C.矩形的直觀圖可能是梯形

D.正方形的直觀圖可能是平行四邊形

10.如圖所示，正方形斤C的邊長為1,它是水平放置的一個平面圖形

的直觀圖，則原圖形的周長是（）

O'A'

C.2+3夜D.2+273

11.用斜二測畫法畫水平放置的AABC的直觀圖，得到如圖所示的等腰直

角三角形V4BC.已知點(diǎn)O'是斜邊BC的中點(diǎn)，且A也=1,則AABC的邊BC

邊上的高為（）

C.垃D.272

12.如圖所示，XNB'C是水平放置的AABC的直觀圖，則在AABC的三

邊及中線AD中，最長的線段是（）

A'/y'

B'D'C

二、拓展提升

13.如圖為一幾何體的平面展開圖，按圖中虛線將它折疊起來，畫出它的直

觀圖.

14.如圖，正方形O'AB'C的邊長為1cm,它是水平放置的一個平面圖形的直

觀圖.請畫出原來的平面圖形的形狀,并求原圖形的周長與面積.

15.圓臺的上、下底面半徑分別為5c?z、IOCT/Z,母線長AB=20C7〃，從圓臺

母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到3點(diǎn)（3在下底面），求：

（1）繩子的最短長度；

（2）在繩子最短時，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離.

答案解析

一、基礎(chǔ)鞏固

1.已知水平放置的△/少是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中

B'O'=CO'=1,A'O'=①，那么原△/L%的面積是（）

2

A.y/3B.272

u?—u?

24

【答案】A

【詳解】

由題圖可知原△/%的高為A0=百,

?*.S&ABC=~XBCX0A=-X2Xy/3=百，故答案為A

2.利用斜二測畫法得到的：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的

直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形.以

上結(jié)論正確的是（）

A.①②B.①C.③④D.①②③④

【答案】A

【詳解】

由斜二測畫法的規(guī)則可知：

因?yàn)槠叫嘘P(guān)系不變，所以①正確；

因?yàn)槠叫嘘P(guān)系不變，所以②是正確；

因?yàn)橹苯亲優(yōu)?5?；?35。，所以正方形的直觀圖是平行四邊形，所以③錯誤；

因?yàn)槠叫杏趛軸的線段長度減半，平行于x軸的線段長度不變，所以④是錯

誤，

3.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊4?平行于y軸，BC,

"平行于x軸.已知四邊形力時的面積為2力cm）則原平面圖形的面積為（）

A.4cm1B.4及cm2C.8cm2D.8>/2cm-

【答案】C

【解析】

詳解：設(shè)斜二測畫法中梯形的上底為長度。，下底長度為。，AB=h,

則梯形的面積為：S=g（a+b）x￥〃=2上，則（a+b）/z=8cv/,

原平面圖形是一個梯形，且上底為長度。，下底長度為6,高為243=2〃,

其面積為：S'=g（a+〃）x2/z=+=8cm2.

TT

4.已知邊長為1的菱形ABC。中，4=則用斜二測畫法畫出這個菱形

的直觀圖的面積為（）

A6R6「娓nC

A.D.C.U.

2468

【答案】D

【詳解】

JT

菱形ABCD中，45=1,ZA=—,

則菱形的面積為S菱形Meo=2SMB°=2xgxlxlxsin?=~^;

所以用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖面積為S：S-c“k=娓.

~25/2~2y/2~8

5.如圖，正方形O'AB'C'的邊長為1項(xiàng)，它是水平放置的一個平面圖形用斜

二測畫法得到的直觀圖，則原圖形的周長是（）

C.2（1+6）cmD.20+旬cm

【答案】A

【詳解】

解：將直觀圖還原為平面圖形，如圖所示.

OB=2O'B'=242-OA=O'A!=\,所以48=d+(2夜y=3,

6.已知正AABC的邊長為。，那么AABC的平面直觀圖VA0C的面積為

)

A.昱a2B.&a1C.逅/D.逅/

48816

【答案】D

【詳解】

如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖.

由斜二測畫法可知，AB=AB^a,O'C'^-OC^—a,

24

在圖②中作C'D'1.A'B'于，則CD'=O'C's\w^=—a^—=—a.

428

所以S，、/=-A'B'C'D'^-ax-a^—a2.

“sc22816

7.一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45。，腰和上底長均為1

的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（）.

A.1+72B.2+正C.-+—D.1+也

222

【答案】B

【詳解】

如圖，恢復(fù)后的原圖形為一直角梯形,

8.如圖，已知AQAB的直觀圖△O'A'6'是一個直角邊長是1的等腰直角三角

形，那么△。鉆的面積是（）

【答案】D

【詳解】

平面直觀圖AO'/T歹與其原圖形如圖,

直觀圖AO'/Te是直角邊長為1的等腰直角三角形，

還原回原圖形后，邊O'4還原為Q4長度不變，仍為6,

直觀圖中的09在原圖形中還原為0B長度，且長度為2,

所以原圖形的面積為5=:。4。8=:乂2*0=血，故選D.

9.下列說法正確的是（）

A.互相垂直的兩條直線的直觀圖仍然是互相垂直的兩條直線

B.梯形的直觀圖可能是平行四邊形

C.矩形的直觀圖可能是梯形

D.正方形的直觀圖可能是平行四邊形

【答案】D

【詳解】

A項(xiàng)，原圖形相互垂直的兩條直線在直觀圖中不一定相互垂直,故A項(xiàng)錯誤.B

項(xiàng)，原圖形中平行的兩條線段仍然平行，不平行的兩條線段也不會平行，所以梯

形的直觀圖不可能為平行四邊形，故B項(xiàng)錯誤.C項(xiàng)，原圖形相互垂直的兩條直

線在直觀圖中不一定仍然相互垂直，但是原圖形相互平行的兩條線段在直觀圖中

仍然互相平行，所以矩形的直觀圖中對邊仍然平行，所以矩形的直觀圖可能為平

行四邊形而不能為梯形.故C項(xiàng)錯誤.D項(xiàng)，原圖形相互垂直的兩條直線在直觀

圖中不一定仍然相互垂直，但是原圖形相互平行的兩條線段在直觀圖中仍然互相

平行，所以正方形中垂直的兩邊不一定仍然垂直，但是對邊仍然平行，所以正方

形的直觀圖可能是平行四邊形.故D項(xiàng)正確.選D

10.如圖所示，正方形O'4B'。的邊長為1,它是水平放置的一個平面圖形

的直觀圖，則原圖形的周長是（）

A.6B.8C.2+3收D.2+2百

【答案】B

【詳解】

作出該直觀圖的原圖形，因?yàn)橹庇^圖中的線段。片軸,

所以在原圖形中對應(yīng)的線段平行于x軸且長度不變,

點(diǎn)C和B'在原圖形中對應(yīng)的點(diǎn)。和3的縱坐標(biāo)是O夕的2倍,則0B=2及，

得到如圖所示的等腰直

角三角形VA'B'C.已知點(diǎn)O'是斜邊BC的中點(diǎn)，且A?=1,則AABC的邊5c

A.1B.2C.y[2D.272

【答案】D

【詳解】

?.?直觀圖是等腰直角三角形AB'C,?5i4C90,AV=I,AAVC=夜，

根據(jù)直觀圖中平行于丁軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

...△ABC的邊上的高2At=2VL故選D.

12.如圖所示，ANB'C是水平放置的AABC的直觀圖，則在AABC的三

邊及中線AD中，最長的線段是（）

A.ABB.ADC.BCD.AC

【答案】D

【解析】

因?yàn)锳'B'與y'軸重合,B'C與x'軸重合，所以AB_LBC,AB=2A'B',

BC=B,C'.所以在直角△ABC中,AC為斜邊，故AB<AD〈AC,BC<AC.

二、拓展提升

13.如圖為一幾何體的平面展開圖，按圖中虛線將它折疊起來，畫出它的直

觀圖.

【答案】見解析

【詳解】

由題設(shè)中所給的展開圖可以得出，此幾何體是一個四棱錐，

其底面是一個邊長為2的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長為2,其直觀圖如圖

所示.

14.如圖，正方形O'AB'C的邊長為1cm,它是水平放置的一個平面圖形的直

觀圖.請畫出原來的平面圖形的形狀,并求原圖形的周長與面積.

【答案】原圖見解析，Scm,2

【詳解】

如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,在x軸上取OA=O/Mie/??;在y軸上取

08=20'*=2岳加在過點(diǎn)8的x軸的平行線上取3c=3'C'=la〃.

連接0,A,B,。各點(diǎn)，即得到原圖形.易知，四邊形力寬為平行四邊形,

0C=yj0B2+BC=^/8+T=3(cm),

:?平行四邊形如a1的周長為(3+l)x2=8(cm),面積

S=lx2夜=20(c>).

15.圓臺的上、下底面半徑分別為5c加、10cm,母線長AB=20cm,從圓臺

母線A8的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到3點(diǎn)（B在下底面），求:

（1）繩子的最短長度；

（2）在繩子最短時，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離.

【答案】（1）Site觸；（2）明麓.

【解析】

試題解析：（1）畫出圓臺的側(cè)面展開圖，并還原成圓錐展開的扇形，且設(shè)扇

形的圓心為?.

有圖得：所求的最短距離是:戚醉，設(shè)嬤法=：感，圓心角是管，則由題意知，

為版=僦①，腐蜘=篇圖普遭）②，由①②解得，筋=3：震=懶，

.,.?=?W,=?,則顫縻=演瞰題!.故繩子最短的長度為：.

（2）作例垂直于逑懶:交于：D,皿是頂點(diǎn)◎到翻解的最短距離，

I◎用翔的如游”

則TC是闕腳與弧懸殿的最短距離，度=踴-遜=--2電初,

：?

即上底面圓周上各點(diǎn)到繩子的最短距離是強(qiáng)的.

《8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積》同步檢測試卷

一、基礎(chǔ)鞏固

1.某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐P-EFG”,下半部分是長方

體ABC?！狤EG”.正四棱錐尸-EFG”的高為百，EF=2,AE=l,則該組合

體的表面積為（）

A.20B.473+12C.16D.4百+8

2.一個正四棱錐的底面邊長為2,高為百，則該正四棱錐的全面積為

A.8B.12C.16D.20

3.如圖所示，已知正三棱柱ABC-A46的所有棱長均為1，則三棱錐

的體積為（）

---------------------B

'、B

A.—B.@C.—D.—

124124

4.把正方形ABC。沿對角線AC折起，當(dāng)以4,8,C,。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐體

積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為（）

A.90°B.60C.45°D.30°

5.某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（)

12T12T

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.-B.1CD

3-?-1

6.軸截面為正方形的圓柱的外接球的體積與該圓柱的體積的比值為（）

A.gB.|C.半D.2及

7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻薨者，下有袤有廣，而上

有袤無廣.芻，草也.薨，屋蓋也.”今有底面為正方形的屋脊形狀的多面體（如

圖所示），下底面是邊長為2的正方形，上棱=即7平面/比〃即與平

面口的距離為2,該芻薨的體積為（）

34

8.已知三棱錐F/8C滿足：P（=AB=45,PA=B^y/3,4俏分=2,則三棱錐

產(chǎn)/回的體積為（）

A而RV6R2A/6八V6

2334

9.如圖所示，網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某四面體

的三視圖，則該四面體的表面積為（)

A.6+18人

B.18+9夜

C.9+18夜

D.18+6上

10.在直三棱柱中，AB=AC=3c=2,AAt=l,則點(diǎn)A到平

面ABC的距離為（）

A.立B.—C.迪D.y/3

424

11.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用

一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸,

盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則該處的平地降雨量（盆中積水體積與盆口

面積之比）為（）（臺體體積公式：嗅體=g（R+J啊+S2）〃，5,,邑分別

為上、下底面面積，力為臺體的高，一尺等于10寸）

12.在正方體4況物/《〃中，三棱錐〃力8c的表面積與正方體的表面積的

A.1：1B.1：m

C.1：鋪D.1：2

二、拓展提升

13.如圖，已知A6CO-agG2是棱長為2的正方體.

(1)求證：平面ABQ//平面C乃。；

(2)求多面體5GA的體積.

14.如圖，正方體ABS-AB'C'D的棱長為。，連

AC,4。,43,80,80,得到一個三棱錐.求：

D'C,

(1)三棱錐4-3co的表面積與正方體的表面積之比；

(2)三棱錐4-的體積.

15.如圖，已知四棱錐的底面是正方形，且邊長為4cm,側(cè)棱長都相等，E

為a1的中點(diǎn)，高為P0,且N0正=30。，求該四棱錐的側(cè)面積和表面積.

p

答案解析

一、基礎(chǔ)鞏固

1.某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐P-EFGH,下半部分是長方體

ABC。一EEG".正四棱錐P-EFG”的高為百，EF=2,AE=1,則該組合體

的表面積為（）

P

A.20B.473+12C.16D.4百+8

【答案】A

【詳解】

由題意，正四棱錐P-瓦’GH的斜高為百工1=2,該組合體的表面積為

2x2+4x2xl+4x—x2x2=20.

2

2.一個正四棱錐的底面邊長為2,高為百，則該正四棱錐的全面積為

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【詳解】

由題得側(cè)面三角形的斜高為4引1=2，

所以該四棱錐的全面積為22+44-2.2=12.

2

3.如圖所示，已知正三棱柱ABC-4與￡的所有棱長均為1,則三棱錐

8「486的體積為（）

C.

...-L---H

.廣、8

A百Gcan指

A.DR.C.U.

124124

【答案】A

【詳解】

三棱錐4-HBG的體積等于三棱錐G-AB0的體積，

因此，三棱錐g-A8C的體積為_LXY1XLX1X1=正，

32212

3.把正方形ABCO沿對角線AC折起，當(dāng)以A,5,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐體積

最大時，直線60和平面A8C所成的角的大小為（）

A.90°B.60C.45°D.30°

【答案】C

【詳解】

記正方形ABCO的對角線AC與B。交于點(diǎn)。，

將正方形ABCD沿對角線AC折起后，如圖，

當(dāng)。O_L平面ABC時，三棱錐。-A5c的體積最大.

D

：.ZDBO為直線30和平面ABC所成的角,

?.?因?yàn)檎襟w對角線相互垂直且平分，

所以在RSOOB中，OD=OB,

直線8D和平面ABC所成的角大小為45°.

4.某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為()

K—2T12-

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

【答案】C

【解析】

該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積V=；x(gx2x2)x2=g.故

選C.

5.軸截面為正方形的圓柱的外接球的體積與該圓柱的體積的比值為（）

C晅D.2亞

'亍

【答案】C

【詳解】

設(shè)圓柱的底面半徑為此則圓柱的高為2尺圓柱的體積眸n#?2廬2n〃,

外接球的半徑為0R，故球的體積為：三兀=當(dāng)兀鵬,

故外接球的體積與該圓柱的體積的比值為迪.

3

6.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻薨者，下有袤有廣，而上

有袤無廣.芻，草也.薨，屋蓋也.”今有底面為正方形的屋脊形狀的多面體（如

、3

圖所示），下底面是邊長為2的正方形，上棱=即〃平面4BCD,跖與平

面勿口的距離為2,該芻薨的體積為（）

A.6B.—C.—D.12

34

【答案】B

【詳解】

如圖，作.FNHAE,FM//ED,則多面體被分割為棱柱與棱錐部分,

因?yàn)橄?與平面45⑦的距離為2,

所以四棱錐片A比V的高為2,

j1（3、2

所以「四棱惟尸,悅尸qS.悅〃x2=-x2x2——x2=—

313

/棱柱ZMI^NW：=S且截面x—=—x2x2x——3

211

所以該芻薨的體積為V=K四校推尸3+，棱柱gNMF=Q+3=1.

故選：B

7.已知三棱錐卜四。滿足：陷四=石，PA=BO^>,AOPB-2,則三棱錐I^ABC

的體積為（）

AV6「2屈n指

A.-----DR.L.--------D.------

2334

【答案】B

【詳解】

因?yàn)樾牧]石，PA=BOy[3,AC=PB=2,

構(gòu)造長方體如圖所示:

則PC,AB,PA,BC,AC,依為長方體的面對角線,

a2+b2=5

AD-a,BD-b,CD-c,則</+/=3,

a2+c2=4

解得"=血，所以三棱錐R/寬的體積為:

C=1

長方體的體積減去三棱錐C-DAB,F-PAC,G-PBC,E-PAB的體積，

gpV=>/3xV2xl-4x-xV3x—x>/2xl=—,

323

8.如圖所示，網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某四面體的

三視圖，則該四面體的表面積為（）

二二z乙聿s二二二z至二二二

A.6+18及

B.18+9正

C.9+18及

D.18+6及

【答案】C

【詳解】

根據(jù)三視圖可還原為三棱錐，如圖取8D中點(diǎn)。，連接OAOC,

由三視圖可得，AC_L平面38,且AC=3,BD=6,0C=3,

OA=VOC2+AC2=3V2?BC=CD=3叵,

S.ABC=^^ADC=-X3>/2x3=—A/2,

s?8cO=；x6x3=9,S4ABD=；x6x3V^=9拒,

該四面體的表面積為2夜+2夜+9+98=9+18夜.

22

9.在直三棱柱ABC—ARC中，AB=AC=3C=2,M=h則點(diǎn)A到平面

ABC的距離為（）

A.—B.—C.—D.百

424

【答案】B

【詳解】

-AB=BC=AC=2...AABC為邊長為2的等邊三角形

SMBC=1x4sin60=G,又A4,‘平面ABC

?

，9-ABC=7S&ABC'm=-

?.?A3=AC=V?TT=6，BC=2

????^^^^^。邊上的高九二后斤二？:.S^BC=^BC-h=2

設(shè)點(diǎn)A到平面ABC的距離為d

*,匕?-ABC=匕-ABC:Js刖Bld=3d=當(dāng),解得：”=￥

10.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用

一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸,

盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則該處的平地降雨量（盆中積水體積與盆口

面積之比）為（）（臺體體積公式：瞑體=g（S+J啊+S2）/?,5,,邑分別

為上、下底面面積，力為臺體的高，一尺等于10寸）

「237474

A.3B.40.-----D.

497?

【答案】A

【詳解】

解：由題意可得：池盆盆口的半徑為14寸，盆底半徑為6寸，盆高為18

寸，

因?yàn)榉e水深九寸，故水面半徑為gx（14+6）=10寸，

則盆中水的體積為:乃x（6?+102+6x10）x9=588萬（立方寸），

故該處的平地降雨量為：二［=3（寸），

〃xl4~

11.在正方體4a場1/C〃中，三棱錐〃M6C的表面積與正方體的表面積的

比為（）

A.1：1B.1：m

C.1：鋪D.1：2

【答案】C

【詳解】

2

設(shè)正方體ABCD-A.B,C,D,的棱長為a,則正方體ABCD-ABCR的表面積為S2=6a,

且三棱錐D「AB￡為各棱長均為伍的正四面體,

其中一個面的面積為S=」x@x缶x缶所以三棱錐D「AB￡的

222

表面積為：所以三棱錐D「AB￡的體積與正方體

2

ABCD-ABCR的表面積之比為：￡：Sa=l：6..

二、拓展提升

13.如圖，已知ABC。-AgG2是棱長為2的正方體.

(1)求證：平面平面G8D；

(2)求多面體BGR-ABC。的體積.

20

【答案】(1)見解析；(2)y.

【詳解】

(1)由已知，在四邊形。能〃中，BBJ/DR豆BB產(chǎn)DD、,

故四邊形DBB。為平行四邊形，即D.BJ/DB,

'：平面DBa,:.D\B\//平面DBC\；

同理在四邊形才中，ABJ/D。,

同理44〃平面DBQ,

又?：AB\CD、B\=B\,

二平面44〃〃平面BDCX.

114

(2)在正方體中，V；_A^=-X2X-X2X2=-,

又正方體的體積為片8,

所求多面體用GA-A3。的體積=8-：4=中20

14.如圖，正方體ABC。-AB'C'D的棱長為。，連

4。；4。,4氏瓦),5。,。。得到一個三棱錐.求：

D'C

(1)三棱錐4-5CO的表面積與正方體的表面積之比;

(2)三棱錐4-3。。的體積.

【答案】(1)T⑵*

【詳解】

如圖所示:

(1)由圖可知,三棱錐為正四面體，且棱長為0a

所以三棱錐4-5。。的表面積為4*4(億『=2氐2

正方體A8C。-A'8'CZ)'〃的表面積為6a2

所以三棱錐的表面積與正方體ABCD-AB'CZ)'〃的表面積之比

為2島2也

'6a2-T

(2)因?yàn)槿忮F的體積等于正方體的體積減去四個等體積的三棱

錐的體積，

所以棱錐4-5CD的體積為：a3-4x-x—xaxa^-a3.

323

15.如圖，已知四棱錐的底面是正方形，且邊長為4cm,側(cè)棱長都相等，E

為比的中點(diǎn)，高為P