高考數(shù)學(xué)排列組合常見(jiàn)方法

排列組合中的常用方法1.排列數(shù)：，（其中m≤n，m、nN）.注意：為了使m=n時(shí)，公式成立，我們規(guī)定（同時(shí)）.2.組合數(shù)：.注意：為了使m=n時(shí)，公式成立，我們規(guī)定，所以；3.排列組合問(wèn)題聯(lián)系生活實(shí)際，生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，因此解決排列組合問(wèn)題，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題或是排列與組合綜合問(wèn)題；其次要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)處理。4.排列組合中的常用方法如下：（1）特殊元素和特殊位置問(wèn)題——優(yōu)限法（2）多元問(wèn)題——合理分類(lèi)與分步法（3）相鄰問(wèn)題——捆綁法（4）不相鄰問(wèn)題——插空法（5）定序問(wèn)題——倍縮法（6）重排問(wèn)題——求冪法（7）平均分組問(wèn)題——除序法（8）分組問(wèn)題——隔板法（9）分配問(wèn)題——先分組后排列法（10）球盒問(wèn)題（11）區(qū)域涂色問(wèn)題——分步與分類(lèi)綜合法（12）“至少”“至多”問(wèn)題或者部分符合條件問(wèn)題——排除法或分類(lèi)法（“正難則反”策略）（13）元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問(wèn)題——枚舉法（14）復(fù)雜的排列組合問(wèn)題——分解與合成法

1.特殊元素和特殊位置問(wèn)題——優(yōu)限法元素分析法和位置分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法，若以元素分析為主，則先安排特殊元素，再處理其它元素；若以位置分析為主，則先滿(mǎn)足特殊位置的要求，再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件。例1.從含有甲乙的6名短跑運(yùn)動(dòng)員中任選4人參加4*100QUOTE4*100米接力，問(wèn)其中甲不能跑第一棒，且乙不能跑第四棒的概率是_____________QUOTE(??)2.多元問(wèn)題——合理分類(lèi)與分步法例2.（1983第1屆美國(guó)高中數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）數(shù)1447，1005和1231有某些共同點(diǎn)，即每個(gè)數(shù)都是首位為1的四位數(shù)，且每個(gè)四位數(shù)中恰有兩個(gè)數(shù)字相同，這樣的四位數(shù)共有多少個(gè)？3.相鄰問(wèn)題——捆綁法將n個(gè)不同元素排列成一排，其中某k個(gè)元素排在相鄰位置上，有多少種不同排法？先將這k個(gè)元素“捆綁在一起”，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其它元素一起排列，共有種排法，然后再將“捆綁”在一起的元素進(jìn)行內(nèi)部排列，共有種方法。由乘法原理得，符合條件的排列共種。例3.六種不同的商品在貨架上排成一排，其中QUOTEa，b兩種必須排在一起，而QUOTEc，d兩種不能排在一起，則不同的選排方法共有______種。4.不相鄰問(wèn)題——插空法不相鄰問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相鄰的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端。將n個(gè)不同元素排成一排，其中k個(gè)元素互不相鄰，有多少種排法？先把個(gè)元素排成一排，然后把k個(gè)元素插入個(gè)空隙中，共有排法種。例4.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的6個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了3個(gè)新節(jié)目，如果將這3個(gè)節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為_(kāi)_____________

使用組合公式的前提是各元素要不同。（3）當(dāng)球相同、盒子不同時(shí)，運(yùn)用隔板法（盒子不能空）或者連續(xù)隔板法（盒子可以空，注意排除重復(fù)計(jì)數(shù)的情況）把球分組即可、不需分配，球相同時(shí)不能使用組合公式分組，這里運(yùn)用組合公式分組實(shí)際上已經(jīng)把分配的排序問(wèn)題解決了。（4）當(dāng)球不同、盒子相同時(shí)，只需使用組合公式把球分組即可、不需分配。分組過(guò)程中存在平均分組時(shí)需要倍縮除序。綜合（3）和（4）可知，當(dāng)球和盒子中有一項(xiàng)不同時(shí)，只需分組不需分配：當(dāng)球相同、盒子不同時(shí)，運(yùn)用隔板法或者連續(xù)隔板法分組；當(dāng)球不同、盒子相同時(shí)，使用組合公式分組。（5）當(dāng)球和盒子都不同時(shí)，只需使用組合公式把球先分組，然后再分配（盒子不能空）或者分步分配每個(gè)球（盒子可以空）。11.區(qū)域涂色問(wèn)題——分步與分類(lèi)綜合法解答區(qū)域涂色問(wèn)題，一是根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，對(duì)各個(gè)區(qū)域分步涂色；二是根據(jù)共用了多少種顏色分類(lèi)討論；三是根據(jù)相間區(qū)域使用顏色的種數(shù)分類(lèi)。以上三種方法常會(huì)結(jié)合起來(lái)使用。例11.某人有4種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多)，要在如圖所示的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線(xiàn)段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有____________種。

12.“至少”“至多”問(wèn)題或者部分符合條件問(wèn)題——排除法或分類(lèi)法（“正難則反”策略）例12.四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，則不同的取法共有_________13.元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問(wèn)題——枚舉法例13.已知人相互傳球，由甲開(kāi)始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)次傳球后，球仍回到甲的手中，則不同的傳球方式有______種。14.復(fù)雜的排列組合問(wèn)題分解與合成法分解與合成法是排列組合問(wèn)題的一種最基本的解題策略，即把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)小問(wèn)題逐一解決，然后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu)，用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成，從而得到問(wèn)題的答案。每個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題都可以用這種解題策略。例14.自然數(shù)30030能被多少個(gè)不同偶數(shù)整除？

變式訓(xùn)練：1.（2012全國(guó)Ⅰ）將1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，下面是一種填法，則不同的填寫(xiě)方法共有_____________種。2.設(shè)a1，a2，…，an是1，2，…，n的一個(gè)排列，把排在ai的左邊且比ai小的數(shù)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為3.設(shè)集合，那么集合中滿(mǎn)足條件：“”的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_________4.設(shè)集合A={(x1，x2，x35.如圖所示，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A(yíng)，B的六個(gè)點(diǎn)C1、C2、…、C6，直徑AB上有異于A(yíng)、B的四個(gè)點(diǎn)D1、D2、D3、D4.則：（1）以這12個(gè)點(diǎn)(包括A，B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？（2）以這10個(gè)點(diǎn)(不包括A，B)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)三角形？其中含點(diǎn)C1的有多少個(gè)？6.將25人排成5×5方陣，從中選出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，則不同的選法為_(kāi)_________種。7.學(xué)生在拼寫(xiě)“hollywood”可能的拼寫(xiě)錯(cuò)誤有_________種。8.將20個(gè)相同的小球，全部裝入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子里，每個(gè)盒子內(nèi)所放的球數(shù)不小于盒子的編號(hào)數(shù)，則共有________種不同的放法。9.（2015靜安區(qū)一模）兩名高一學(xué)生被允許參加高二年級(jí)象棋比賽，每?jī)擅麉①愡x手之間都比賽一次，勝者得1分，和棋各得0.5分，輸者得0分；兩名高一學(xué)生共得8分，，且每名高二學(xué)生都得相同分?jǐn)?shù)，則有________名高二學(xué)生參賽。10.馬路上有編號(hào)為1，2，3…，9九只相同路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，則滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方案有_________種。

11.有7個(gè)燈泡排成一排，現(xiàn)要求至少點(diǎn)亮其中的3個(gè)燈泡，且相鄰的燈泡不能同時(shí)點(diǎn)亮，則不同的點(diǎn)亮方法有_______種。12.已知方程，這個(gè)方程的自然數(shù)解的組數(shù)為_(kāi)______13.如圖，點(diǎn)，，…，分別是四面體頂點(diǎn)或棱的中點(diǎn)，則在同一平面上的四點(diǎn)組有_____________個(gè)。14.將正方體ABCD-A1B1C1D1QUOTEABCD-A1B1C1D1的各面涂色，任何相鄰兩個(gè)面不同色，現(xiàn)在有5個(gè)不同的顏色，并且涂好了過(guò)頂點(diǎn)A的3個(gè)面的顏色，那么其余15.用四種不同的顏色為正六邊形（如圖）中的六塊區(qū)域涂色，要求有公共邊的區(qū)域涂不同顏色，一共有______種不同的涂色方法。

16.平面上給定10個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線(xiàn)中，無(wú)三條直線(xiàn)交于同一點(diǎn)（除原10點(diǎn)外），無(wú)兩條直線(xiàn)互相平行。求：（1）這些直線(xiàn)所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)（除原10點(diǎn)外）？（2）這些直線(xiàn)交成多少個(gè)三角形？

17.按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？（1）6個(gè)不同的小