由一道教材習題談起

精品文檔-下載后可編輯由一道教材習題談起習題是數(shù)學教材的重要組成部分：一方面，習題可以起到復習、鞏固知識，加深學生對知識理解和記憶的作用；另一方面，習題是培養(yǎng)學生能力的重要載體。高中數(shù)學新教材無一例外地配備了大量的例題和習題，而數(shù)列通常又是高考的壓軸大題，特別是近幾年考查的遞推數(shù)列。一個重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的題，但是在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發(fā)現(xiàn)，而且直接影響到學生學習質量的高低，本文將以一道習題探究待定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項公式的求法。人教版高中數(shù)學必修5P69復習參考題B組第6題：

已知數(shù)列an中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3）.求數(shù)列an的通項公式.

解：設an+xan-1=（x+2）an-1+3an-2?圯an+xan-1=（x+2）［an-1+an-2］

令x=，解得x=-3或1，

即an+an-1=3（an-1+an-2）①

an-3an-1=-（an-1+an-2）②

由①得an+an-1=3（an-1+an-2）＝32（an-2+an-3）=…=3n-2（a2+a1）=3n-2×7③

由②得an-3an-1=-（an-1+an-2）=（-1）2（an-2-3an-3）=…（-1）n-2（a2-3a1）=（-1）n-1×13④

由③×3＋④得4an=3n-1×7+（-1）n-1×13?圯an=［3n-1×7+（-1）n-1×13］

數(shù)列an的通項公式為an=［3n-1×7+（-1）n-1×13］

探究1.已知數(shù)列an中，a1=5，an=2an-1+3n+1（n≥2），求數(shù)列an的通項公式.

解：設an+xn+y=2［an-1+x（n-1）+y］，整理得an=2an-1+xn-2x+y

比較an=2an-1+3n+1（n≥2）得x=3y-2x=1，解得x=3y=7，從而an+3n+7=2［an-1+3（n-1）+7］，即數(shù)列an+3n+7是以a1+3×1+7為首項，以2為公比的等比數(shù)列.

an+3n+7=15×2n-1?圯an=15×2n-1-3n-7，即數(shù)列an的通項公式an=15×2n-1-3n-7

探究2.已知數(shù)列an中，a1=5，an=2an-1+3n2+2n+1（n≥2），求數(shù)列an的通項公式.

解：設an+xn2+yn+z=2［an-1+x（n-1）2+y（n-1）+z］，整理得an=2an-1+xn2+（y-4x）n+2x-2y+z，比較an=2an-1+3n2+2n+1（n≥2）得x=3y-4x=22x-2y+z=1，解得x=3y=14z=23

從而an+3n2+14n+23=2［an-1+3（n-1）2+7（n-1）+23）］，即數(shù)列an+3n2+14n+23是以a1+3×12+14×1+23為首項，以2為公比的等比數(shù)列.

an+3n2+14n+23=45×2n-1?圯an=45×2n-1-3n2-14n-23，即數(shù)列an的通項公式為an=45×2n-1-3n2-14n-23.

探究3.已知數(shù)列an中，a1=5，an=2an-1+3n+n+1（n≥2），求數(shù)列an的通項公式.

解：設an+x×3n+yn+z=2［an-1+x×3n-1+

y（n-1）+z］，整理得an=2an-1-×3n+yn-2y+z，比較得-x=1y=1z-2y=1，解得x=-3y=1z=3

從而an-3×3n+n+3=2［an-1-3×3n-1+（n-1）+3］，即數(shù)列an-3×3n+n+3是以a1-3×31+1+3為首項，以2為公比的等比數(shù)列.

an-3×3n+n+3=2×2n-1?圯an=2n+3n+1-n-