《相似三角形》單元測試卷及答案

《相似三角形》單元測試卷及答案

《相似三角形》

第I卷（選擇題）

評卷人得分

一.選擇題（共6小題）

1.如圖，已知矩形ABCD中，AB=2,在BC上取一點E,沿AE將AABE向上

折疊，使B點落在AD上的F點處，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=

（）

A.V5B.V5+1C.4D.2M

2.在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如下圖所示，點A的坐標為（1,

0）,點D的坐標為（0,3）.延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1

C；延長C1B1交x軸于點A2,作正方形A2B2C2C1...按這樣的規(guī)律進行下

去，第2012個正方形的面積為（）

4__4_4

A.^/lOx(S-)4022B.10x(百)4022C.5x(石)4022D.10x

_4

(S')4023

3.在平面直角坐標系中，已知點A(-2,4),B(-3,1),以原點。為

位似中心，相似比為2,把^ABO放大，則點A的對應點A'的坐標是()

A.(-4,8)B.(-1,2)C.(-4,8)或(4,-8)D.(-

1,2)或(1,-2)

a+bb+cc+a

4.若c=a=b=k,貝!Jk的值為()

A.2B.-1C.2或-ID.-2或1

5.在比例尺為1：1000000的地圖上，相距8cm的A、B兩地的實際距離是

()

A.0.8kmB.8kmC.80kmD.800km

6.下列各組中的四條線段成比例的是()

A.a=l,b=3,c=2,d=4B.a=4,b=6,c=5,d=10

C.a=2,b=4,c=3,d=6D.a=2,b=3,c=4,d=l

第n卷（非選擇題）

請點擊修改第II卷的文字說明

評卷人得分

二.填空題（共6小題）

7.將△ABC的紙片按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B',

折疊痕為EF,已知AB=AC=8,BC=10,若以點B'、F、C為頂點的三角形與△

ABC相似，那么BF的長度是

8.如圖，AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F,且AB=1,

9.如圖，Rt^ABC中，zACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,動點P從點B出發(fā),

在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊

上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0<t<2）,連接

PQ.若^BPQ與△ABC相似，貝八的值為

10.如圖所示，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm.點P從點A出發(fā)沿AB向

點B以2cm/s的速度運動，點Q從點B出發(fā)沿BC向點C以4cm/s的速度運

動.如果點P,Q分別從點A,B同時出發(fā)，則秒鐘后4PBQ與^ABC

11.如圖，邊長12的正方形ABCD中，有一個小正方形EFGH,其中E、F、G

分別在AB、BC、FD上.若BF=3,則小正方形的邊長為

A

12.如圖，11||12||13,AB=4,DF=8,BC=6,則DE=

評卷人得分

三.解答題（共8小題）

13.在△ABC中，zB=90°,AB=6cm,BC=12cm,點P從點A開始沿AB邊

向點B以lcm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移

動，設P、Q兩點同時出發(fā)，移動時間為t秒.

（1）幾秒鐘后△PBQ是等腰三角形？

（2）幾秒鐘后△PQB的面積為5cm2?

（3）幾秒鐘后，以P、B、Q為頂點的三角形和△ABC相似？

14.如圖，在AAOB中，zAOB=90°,0A=12cm,AB=6'mcm,點P從。開

始沿0A邊向點A以2cm/s（厘米/秒）的速度移動；點Q從點B開始沿B0邊向

點。以lcm/s的速度移動，如果P,Q同時出發(fā)，用x（秒）表示時間（Ovxv

6）,那么：

(1)點Q運動多少秒時，△OPQ的面積為5cm2；

(2)當x為何值時，以P、0、Q為頂點的三角形與△A0B相似?

2kX.

OP—>A

15.如圖，在矩形0ABC中，A0=10,AB=8,沿直線CD折疊矩形0ABC的一邊

BC,使點B落在0A邊上的點E處.

(1)求AD的長；

(2)一動點P從點E出發(fā)，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動

點Q從點C出發(fā)，沿C0以每秒1個單位長的速度向點0運動，當點P運動到點C

時，兩點同時停止運動.設運動時間為t秒，當t為何值時，以P、Q、C為頂點

的三角形與△ADE相似？

16.如圖，已知△ABC中，AB=AC=a,BC=10,動點P沿CA方向從點C向點A

運動，同時，動點Q沿CB方向從點C向點B運動，速度都為每秒1個單位長度，

P、Q中任意一點到達終點時，另一點也隨之停止運動.過點P作PDIIBC,交

AB邊于點D,連接DQ.設P、Q的運動時間為t.

(1)直接寫出BD的長；(用含t的代數式表示)

(2)若a=15,求當t為何值時，△ADP^△BDQ相似；

(3)是否存在某個a的值，使P、Q在運動過程中，存在SABDQ：S△ADP：

S梯形CPDQ=1：4：4的時亥I」，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

17.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=11.直角尺的直角頂點P在AD上滑

動時(點P與A,D不重合)，一直角邊始終經過點C,另一直角邊與AB交于點

E.

(1)△CDP與△PAE相似嗎？如果相似，請寫出證明過程;

(2)是否存在這樣的點P,使△CDP的周長等于△PAE周長的2倍？若存在,

求DP的長；若不存在，請說明理由.

18.如圖，某測量人員的眼睛A與標桿頂端F、電視塔頂端E在同一條直線上，

已知此人的眼睛到地面的距離AB=1.6m,標桿FC=2.2m，且BC=lm,CD=5m,

標桿FC、ED垂直于地面.求電視塔的高ED.

19.已知，△ABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別為A(-2,2)、

B(-1,0)、C(0,1)(正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長

度).

(1)畫出△ABC關于y軸的軸對稱圖形4AlB1C1；

(2)以點0為位似中心，在網格內畫出所有符合條件的△A2B2C2,使4A

2B2C2與^AIBICI位似，且位似比為2：1；

(3)求△人181(：1與4A2B2C2的面積比.

20.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，點P沿AB邊從點A

開始向點B以2厘米/秒的速度移動；點Q沿DA邊從點D向點A以1厘米/秒的

速度移動.如果P、Q同時出發(fā)，用t(秒)表示移動時間(0vtv6).那么：

(1)當t為何值時，△QAP為等腰直角三角形?

(2)當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似?

2017年11月21日《相似三角形》

參考答案與試題解析

—.選擇題(共6小題)

1.如圖，已知矩形ABCD中，AB=2,在BC上取一點E,沿AE將AABE向上

折疊，使B點落在AD上的F點處，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=

（）

D.-------------三-----------------n.4

A.巫B.V5+1C.4D.2y

【解答】解：???沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點,

四邊形ABEF是正方形，

?:AB=2,

設AD=x,則FD=x-2,FE=2,

???四邊形EFDC與矩形ABCD相似，

EF_AD

而下，

2二x

x-22,

解得xl=l+疾，x2=l-泥（負值舍去），

經檢驗x1=1+正是原方程的解.

故選B

2.在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如下圖所示，點A的坐標為（1,

0）,點D的坐標為（0,3）.延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1

C；延長C1B1交x軸于點A2,作正方形A2B2C2C1...按這樣的規(guī)律進行下

去，第2012個正方形的面積為（）

4__4_4

A.VlOx(S-)4022B.10x(巨)4022C.5x(百)4022D.10x

_4

(S')4023

【解答】解：?.?點A的坐標為(1,0),點D的坐標為(0,3),

???OA=1,0D=3,

vzAOD=90°,

AB=AD=Vl2+32=VTo,zODA+zOAD=90°,

???四邊形ABCD是正方形，

???zBAD=ZABC=90°,S正方形ABCD=(V10)2=10,

.-.zABA1=90°,ZOAD+ZBAA1=90°,

.-.zODA=ZBAA1,

ABA1DOA,

BA】ABBA[^3

-0A-=OD,gp~1~=~3~,

VlO

???BA1=3,

CA1=3,

4_

??.第三個正方形的邊長：A2C1=A2B2=(5)2V10,

_4

二第四個正方形的邊長：=(5)3710,

_4

第2012個正方形的邊長：=（~3）2011V10,

4,_4

???第2012個正方形的面積為[:（巨）2011V10]2=10?（豆）4022,

故選：B.

3.在平面直角坐標系中，已知點A(-2,4),B(-3,1),以原點。為

位似中心，相似比為2,把^ABO放大，則點A的對應點A'的坐標是()

A.(-4,8)B.(-1,2)C.(-4,8)或(4,-8)D.(-

1,2)或(1,-2)

【解答】解：；以原點0為位似中心，相似比為2,將△OAB放大為△OA'B',

點A(-2,4),

二A'點的坐標為(-4,8),B'(4,-8).

故選：C.

a+bb+cc+a

4.若c=a=b=k,則k的值為()

A.2B.-1C.2或-ID.-2或1

【解答】解：①a+b+c=0時，，a+b=-c,

a+b-c

所以，k=c=c=-1；

a+bb+cc+aa+b+b+c+c+a2(a+b+c)

②a+b+c,0時，c=a=b=a+b+c=a+b+c=2,

所以，k=2,

綜上所述，k的值為2或-1.

故選C.

5.在比例尺為1：1000000的地圖上，相距8cm的A、B兩地的實際距離是

()

A.0.8kmB.8kmC.80kmD.800km

]

【解答】解：81000000=8000000cm=80km.

故選C.

6.下列各組中的四條線段成比例的是()

A.a=l，b=3,c=2，d=4B.a=4,b=6，c=5,d=10

C.a=2,b=4,c=3,d=6D.a=2,b=3,c=4,d=l

【解答】解：A.lx43x2,故本選項錯誤；

B.4x1046x5,故本選項錯誤；

C.4x3=2x6,故本選項正確；

D.2x3*1x4,故本選項錯誤；

故選C.

二.填空題（共6小題）

7.將△ABC的紙片按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B',

折疊痕為EF,已知AB=AC=8,BC=10,若以點B'、F、C為頂點的三角形與△

40

ABC相似，那么BF的長度是3"或5.

【解答】解：設BF=x,

???△ABC的紙片按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B',折疊痕

為EF,

:.BF=B'F=x,

FC=BC-BF=1O-x,

vzFCB=zBCA,

CFCB，F(xiàn)B，

當CB=CA=AB時，△CFBZCBA,

10-xx40

即10=瓦即得x=3"；

CFCB，F(xiàn)B，

當CB=AB時,△CFB's^CAB,

10-xx

即8=京,即得x=5,

綜上所述，當BF=9或5時，以點B'、F、C為頂點的三角形與△ABC相似.

40

故答案為"T或5.

8.如圖，AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F,且AB=1,

CD=3,則EF:CD的值為W.

BF

【解答】解：???AB、CD、EF都與BD垂直,

AB||CD||EF,

DEFsXDAB,△BEFBCD,

EF：AB=DF：DB,EF：CD=BF：BD,

EFEF^DFBFBF+DF=BD

ABTD^DB^D=BD=BD=1,

???AB=1,CD=3,

?岑亭

3_

EF=7,

EF

CD=T,

故答案為：4.

9.如圖，Rt^ABC中，zACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,動點P從點B出發(fā),

在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊

上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0<t<2）,連接

32

PQ.若小BPQ與△ABC相似，則t的值為1秒或五秒.

【解答】解：設運動時間為t秒（0<t<2）,貝l」BP=5t,CQ=4t,BQ=8-

4t,

vzACB=90°,AC=6,BC=8,

AB=V62+82=10,

BPBQ5t8-4t

當△BPQ-ABAC時,BA=BC,即而=8解得t=l（秒）；

BPBQ518-4t32

當△BPQ-ABQP時,BC=BA,即"§-=10,解得t=五（秒），

32

即當t=l秒或五秒時,△BPQ與△ABC相似.

32

故答案為1秒或&秒時

10.如圖所示，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm.點P從點A出發(fā)沿AB向

點B以2cm/s的速度運動，點Q從點B出發(fā)沿BC向點C以4cm/s的速度運

動.如果點P,Q分別從點A,B同時出發(fā)，貝！|0.8或2秒鐘后△PBQ與

△ABC相似？

【解答】解：設經過x秒后△ABC相似.

則AP=2xcm,BQ=4xcm,

,:AB=8cm，BC=16cm,

???BP=(8-2x)cm,

BPBQ

①BP與BC邊是對應邊，則前=直，

8-2x4x

即16=T,

解得x=0.8,

BPBQ

②BP與AB邊是對應邊，則瓦=而，

8-2x4x

即8=16,

解得x=2.

綜上所述，經過0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似.

故答案為：0.8或2.

11.如圖，邊長12的正方形ABCD中，有一個小正方形EFGH,其中E、F、G

15

分別在AB、BC、FD±.若BF=3,則小正方形的邊長為T.

【解答】解：在^BEF與△CFD中

vzl+z.2=z.2+z.3=90°，

AZ.1=z.3>

vz.B=z.C=90°,

???△BEFCFD,

???BF=3,BC=12,

ACF=BC-BF=12-3=9,

又DF=7CD2+CF2=7122+92：

BFEF3EF

CD=DF,BP?2=15,

15

EF=T,

15

故答案為：T.

16

12.如圖，11||12||13,AB=4,DF=8,BC=6,則DE=~5~

【解答】解：11||13,AB=4,BC=6,

DEAB_2

EF=BC=3,又DF=8,

16

:.DE=5,

16

故答案為：T.

三.解答題（共8小題）

13.在△ABC中，zB=90°,AB=6cm,BC=12cm,點P從點A開始沿AB邊

向點B以lcm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移

動，設P、Q兩點同時出發(fā)，移動時間為t秒.

(1)幾秒鐘后△PBQ是等腰三角形？

(2)幾秒鐘后△PQB的面積為5cm2?

(3)幾秒鐘后，以P、B、Q為頂點的三角形和△ABC相似?

【解答】解：設t秒后，則BP=6-t,BQ=2t,

(1)△PBQ是等腰三角形，則BP=BQ即6-t=2t,解得t=2；

11

(2)△PQB的面積為彳BP?BQ=5(6-t)(2t)=5,即(t-1)(t-

5)=0,解得t=l或5.

BPBQ

(3)?ABPQBAC,則AB=BC,即2t=2(6-t),解得t=3.

②△BPQs^BCA,則有BP：BC=BQ：AB,???6-t：12=2t：6,解得

t=1.2

當t=3秒或t=1.2秒時以P、B、Q為頂點的三角形和△ABC相似.

14.如圖，在^AOB中，zAOB=90°,0A=12cm,AB=6泥cm,點P從0開

始沿OA邊向點A以2cm/s(厘米/秒)的速度移動；點Q從點B開始沿BO邊向

點。以lcm/s的速度移動，如果P,Q同時出發(fā)，用x(秒)表示時間(Ovxv

6),那么：

(1)點Q運動多少秒時，△OPQ的面積為5cm2；

(2)當x為何值時，以P、0、Q為頂點的三角形與△AOB相似?

O—>A

【解答】解：(1)vzAOB=90°,

BO2=AB2-AO2,

BO=6,

在心△OPQ中，OQ=6-x,OP=2x,

???△OPQ的面積為5cm2；

EOQ?OP=5,即萬(6-x)?2x=5,解得x1=1,x2=5；

OPOQ2x6-x

(2)當△OPQSAOABH寸，0A=OB,即誦=飛-，解得x=3秒；

OPOQ2x-§

當△OPQSAOBA,0B=OA,即"T=正，解得x=百秒.

且

綜上所述，當x=3秒或百秒時，以P、0、Q為頂點的三角形與△AOB相似.

15.如圖，在矩形OABC中，A0=10,AB=8,沿直線CD折疊矩形OABC的一邊

BC,使點B落在0A邊上的點E處.

(1)求AD的長；

(2)一動點P從點E出發(fā)，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動

點Q從點C出發(fā)，沿C0以每秒1個單位長的速度向點0運動，當點P運動到點C

時，兩點同時停止運動.設運動時間為t秒，當t為何值時，以P、Q、C為頂點

的三角形與△ADE相似？

【解答】解：(1)由折疊可得，CE=CB=AO=10,而C0=AB=8,

???0E=6,

???AE=10-6=4,

設AD=x,貝DB=DE=8-x,

心△ADE中，AD2+AE2=DE2,

?，.x2+42=(8-x)2,

解得x=3,

AD=3；

(2)vzDEA+zOEC=90°,ZOCE+zOEC=90°,

.?.ZDEA=zOCE,

由(1)可得，AD=3,AE=4,DE=5,

,:CQ=t,EP=2t,

PC=10-2t,

①當/PQC=zDAE=90°時，△ADE5sQPC,

CQCPX_102

EA=ED,即W=5,

40

解得t=E；

②當4QPC=zDAE=90°時，△ADEPQC,

PCCQ102X_

AE=ED,即4=

25

解得t=7,

4025

綜上所述，當t=I?或彳時，以P、QC為頂點的三角形與△ADE相似.

16.如圖，已知△ABC中，AB=AC=a,BC=10,動點P沿CA方向從點C向點A

運動，同時，動點Q沿CB方向從點C向點B運動，速度都為每秒1個單位長度，

P、Q中任意一點到達終點時.，另一點也隨之停止運動.過點P作PDIIBC,交

AB邊于點D,連接DQ.設P、Q的運動時間為t.

（1）直接寫出BD的長；（用含t的代數式表示）

（2）若a=15,求當t為何值時，△ADP與△BDQ相似；

（3）是否存在某個a的值，使P、Q在運動過程中，存在SABDQ：S△ADP：

S梯形CPDQ=1：4：4的時刻，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)BD=t.

(2)???PD||BC,AB=AC=15,

APAD

:.AC=AB,

AD=AP=15-t,

:.BD=CP=t,

VAC=15,BC=10,CP=t,

2

PD=10-3t,

???△ADP和△BDQ相似，

QBBDQBBD

:.AD=而或PD=AD,

t10-t

10-t_2_2t

.?.許T=l0與t或10萬t=w

解得：tl=4,t2=15（舍去），t3=15>10（舍去），t4=6

答：t=4或6時，△ADP與△BDQ相似.

(3)存在，

理由是：假設存在SaBDQ：S△ADP：S梯形CPDQ=1：4：4,

S^APD44

即SAABC=1+4+4=~3,

vPD||BC,

2

APD-AACB,相似比是瓦

AP2

??.AC=3,

設四邊形CPDQ的邊CQ上的高是h,

則△BDQ的邊BQ上的高是h,△ABC的邊BC上的高是3h,

111

:.2BQxh=9x2BCx3h,

1

(10-t)=?x3x10,

20

:.t=3,

20

AP=a-t=a-3,AC=a,

20

a萬_2

:.a=3,

代入解得：a=20,

答：存在某個a的值，使P、Q在運動過程中，存在BDQ：S△ADP：S梯

形CPDQ=1：4：4的時?刻，a的值是20.

17.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=11.直角尺的直角頂點P在AD上滑

動時(點P與A,D不重合)，一直角邊始終經過點C,另一直角邊與AB交于點

E.

(1)△CDP與△PAE相似嗎？如果相似，請寫出證明過程;

(2)是否存在這樣的點P,使△CDP的周長等于△PAE周長的2倍？若存在,

求DP的長；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)△CDP八PAE.

證明：?.?四邊形ABCD是矩形,

???Z.D=ZA=90°,CD=AB=6,

??zPCD+CPD=90°,

vzCPE=90°,

.-.zAPE+zCPD=90°,

.-.zAPE=zPCD,

CDPPAE；

（2）假設存在滿足條件的點P,設DP=x,則AP=AD-DP=11-x,

CDPPAE,

CD

AP=2,

6

:.ll-x=2,

解得：x=8)

:.AP=3,AE=4,

即DP=8.

18.如圖，某測量人員的眼睛A與標桿頂端F、電視塔頂端E在同一條直線上，

已知此人的眼睛到地面的距離AB=1.6m,標桿FC=2.2m,且