奧數(shù)第1講1.競(jìng)賽123班.教師版

計(jì)算之公式應(yīng)用及技巧計(jì)算之公式應(yīng)用及技巧第一講教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)中學(xué)選拔考試的試卷，考察學(xué)生的計(jì)算能力是必不可少的，近幾年來又以考察：1.速算巧算；2.分?jǐn)?shù)的計(jì)算技巧為明顯趨勢(shì)。本講我們將系統(tǒng)地歸納和總結(jié)這一局部的技巧和方法。1.回憶提取公因數(shù)〔式〕和湊整的應(yīng)用；2.精講公式應(yīng)用、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)的拆分。專題回憶專題回憶原式=，〔此題學(xué)生容易做成，雖然答案對(duì),但是老師要強(qiáng)調(diào)錯(cuò)誤原因?！场就卣埂俊彩讕煷蟾街腥雽W(xué)選拔試題〕【分析】原式=。求3333333×6666666乘積的各位數(shù)字之和。原式=9999999×2222222=〔10000000-1〕×22222222所以，各位數(shù)字之和為8×7=56。經(jīng)典精講經(jīng)典精講常用公式常用公式下面這些公式是小學(xué)奧數(shù)中常見的計(jì)算公式，同學(xué)們一定要熟練掌握，這可是小升初考試中計(jì)算的好幫手。同時(shí)也希望同學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí)能夠?qū)σ恍┮?guī)律性比擬強(qiáng)的數(shù)字的計(jì)算自己進(jìn)行歸納。常用公式：常用公式：；；；；；等比數(shù)列求和公式：。平方差公式:：；完全平方公式：，；用文字表述為：兩數(shù)和〔或差〕的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，加上〔或者減去〕這兩個(gè)數(shù)的積的倍，兩條公式也可以合寫在一起：。為便于記憶，可形象的表達(dá)為：“首平方、尾平方，倍乘積在中央〞。常用技巧常用技巧：；；，，，，，；，其中。計(jì)算【分析】原式=注：這條算式與的值相等?！就卣埂坑?jì)算【分析】原式計(jì)算【分析】原式。公元前1世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家尼科梅切斯(公元前1世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家尼科梅切斯(Nichomachus)就是采用數(shù)形結(jié)合的方法——圖解法，得出了三次方冪求和的公式：尼科梅切斯給出的解法是這樣的：把求和式中任意一項(xiàng)。寫成“〞的形式，那么就可以理解成個(gè)“邊長(zhǎng)為〞的正方形面積之和。那么，可以構(gòu)造一個(gè)圖形，如圖：一方面，圖中大正方形的邊長(zhǎng)為“1+2+3+4”。另一方面它又等于全部小正方形的面積之和。但是注意在放置兩個(gè)2×2及4×4的正方形時(shí)，兩個(gè)正方形有重疊局部——圖中淺色陰影正方形，再把重疊局部補(bǔ)到它的右上方的小正方塊——圖中深色陰影正方形中去，這樣一來這些小正方形的面積和正好等于邊長(zhǎng)為“1+2+3+4”【前鋪】(浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)課夏令營(yíng))=?！痉治觥吭?=?！军c(diǎn)評(píng)】對(duì)公比為2的等比數(shù)列求和，可以運(yùn)用“借來還去〞的技巧。此題對(duì)于后面的等比數(shù)列局部，可以“借來〞，那么有最后兩個(gè)數(shù)的和等于前面一個(gè)數(shù)，依此前推，那么總得數(shù)為兩個(gè)，即為1,但這不是最終結(jié)果，因?yàn)橐斑€去〞，即。一般地，。〔06年希望杯〕計(jì)算：原式===。(法一)設(shè) 那么，整理可得?！卜ǘ秤深}設(shè)，，那么運(yùn)用REF_Ref198635646\r\h【例5】的方法，將等式化為，整理得到。(浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)課夏令營(yíng))⑴_(tái)_____；⑵______。⑴設(shè)原式⑵原式【點(diǎn)評(píng)】這里介紹平方差公式與完全平方公式的變形應(yīng)用：原式=====原式=====【點(diǎn)評(píng)】此題利用性質(zhì)：對(duì)各個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算、比擬。循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)【前鋪】推導(dǎo)以下算式【分析】以此題為例，推導(dǎo)，設(shè)：為,那么=,=，所以：,。循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)公式循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)公式：；；；，注：循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)分母中9的個(gè)數(shù)與其循環(huán)節(jié)的位數(shù)對(duì)應(yīng)，0的個(gè)數(shù)與小數(shù)點(diǎn)后不循環(huán)的位數(shù)對(duì)應(yīng)。分子是不循環(huán)局部與第一個(gè)循環(huán)節(jié)組成的多位數(shù)與不循環(huán)局部組成的多位數(shù)的差。⑴⑵⑶⑷⑴原式=。⑵原式。⑶原式=。⑷原式。計(jì)算【分析】原式=。分?jǐn)?shù)的拆分分?jǐn)?shù)的拆分〔江蘇省吳江市小學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽〕在下面的括號(hào)里填上不同的自然數(shù)，使等式成立。=====分?jǐn)?shù)單位的拆分，主要方法是：從分母的約數(shù)中任意找出兩個(gè)數(shù)和,有：=，此題的約數(shù)有：,,,。例如：選和，有：；此題具體的解共有：。【拓展1】在下面的括號(hào)里填上不同的自然數(shù)，使等式成立。=【分析】從分母的約數(shù)中任意找出兩個(gè)和〔〕,有：=所以，例如選5和2，有：=另外的解讓學(xué)生去嘗試練習(xí)。【拓展2】在下面的括號(hào)里填上不同的自然數(shù)，使等式成立。=-=【分析】先選10的三個(gè)約數(shù)，比方5、2和1，表示成連減式5-2-1和連加式5+2+1.如果選10、5、2，那么有：?！军c(diǎn)評(píng)】分子是1，分母是非零自然數(shù)的分?jǐn)?shù)叫單位分?jǐn)?shù)。人類對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)就是從單位分?jǐn)?shù)開始的。大約在公元前2000年，古埃及人就把分子大于1的分?jǐn)?shù)表示成單位分?jǐn)?shù)之和，如=，也有人把單位分?jǐn)?shù)叫做埃及分?jǐn)?shù)。101中學(xué)根據(jù)這一知識(shí)點(diǎn)，出過一道入學(xué)考試題：幼兒園阿姨要把7個(gè)蘋果平均分給12個(gè)小朋友，每個(gè)蘋果不能超過5份。請(qǐng)幫阿姨設(shè)計(jì)一種分法。〔分發(fā)如下圖〕〔美國(guó)長(zhǎng)島小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽〕【分析】原式。注：通過對(duì)算式各項(xiàng)拆分，使算式得到化簡(jiǎn)的計(jì)算技巧稱之為裂項(xiàng)，裂項(xiàng)法的要義在于等量代換思想，并在后續(xù)的作業(yè)中實(shí)現(xiàn)抵消。【拓展】〔《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽題〕【分析】歸納總結(jié)的歸納總結(jié)的裂項(xiàng)公式如下：【分析】原式===附加題目附加題目計(jì)算【分析】設(shè)算式的值為，那么，，==。原式【分析】原式【分析】面對(duì)長(zhǎng)分式計(jì)算題時(shí)，往往是利用先裂項(xiàng)再相消的方法來解決。原式穩(wěn)固精練穩(wěn)固精練〔北京二中入學(xué)選拔試題〕計(jì)算12-22+32-42+…+20052-20062+20072原式=20072-20062+20052-……+52-42+32-22+12=〔2007+2006〕〔2007-2006〕+〔2005+2004〕〔2005-2004〕+……+〔3+2〕〔3-2〕+1=2007+2006+2005+2004+……+3+2+1==2023028計(jì)算【分析】原式=計(jì)算【分析】原式====【分析】原式足球運(yùn)動(dòng)最早起源于中國(guó)，其淵源可追溯至五千年前的黃帝時(shí)代。２００４年７月１５日，在紀(jì)念國(guó)際足聯(lián)百年華誕的特別活動(dòng)上，國(guó)際足聯(lián)主席布拉特正式向全世界宣布：足球最初起源于中國(guó)，并由亞足聯(lián)秘書長(zhǎng)維拉潘頒發(fā)確認(rèn)紀(jì)念證書。奧運(yùn)會(huì)足球比賽始于１９９０年法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)，在１９０８年的倫敦奧運(yùn)會(huì)上成為正式比賽工程。１９８４年國(guó)際足聯(lián)做出了在歐洲和南美洲參加過世界杯決賽的職業(yè)球員不得參加奧運(yùn)會(huì)足球賽的決定。１９８８年國(guó)際足聯(lián)在此根底上又做了如下規(guī)定：奧運(yùn)會(huì)足球運(yùn)發(fā)動(dòng)年齡限制在２３歲以下，每隊(duì)允許有３名超齡球員。北京奧運(yùn)會(huì)男子足球決賽階段共有１６支隊(duì)伍；女子足球決賽階段共有１２支隊(duì)伍。新中國(guó)成立后，中國(guó)男子足球隊(duì)已參加了７屆奧運(yùn)會(huì)預(yù)選賽。１９８０年和１９８４年分別輸給了新加坡和泰國(guó)，在亞洲區(qū)預(yù)選賽中沒有出線。１９９２年、１９９６年、２０００年和２００４年連續(xù)４屆奧運(yùn)會(huì)預(yù)選賽中，負(fù)于韓國(guó)隊(duì)沒有進(jìn)入決賽階段；只有在１９８８年的漢城奧運(yùn)會(huì)進(jìn)入了決賽階段賽，但在小組賽中沒有出線。１９９６年亞特蘭大奧運(yùn)會(huì)一個(gè)國(guó)王聽說有一位畫家擅長(zhǎng)水彩畫，有一天，他專程去拜訪那位畫家?！罢?qǐng)為我畫一只孔雀，〞國(guó)王要求說。一年后，他再次登門拜訪畫家?！拔矣嗁彽乃十嬙谀?？我曾經(jīng)要你為我畫一只孔雀。〞“你的孔雀就要畫好了，〞畫家說?！八贸隽水嫾垼灰粫?huì)兒工夫就畫出了一只美麗鮮艷的孔雀。國(guó)王很滿意，但是價(jià)錢卻使他吃驚：“就那么一會(huì)兒工夫，你毫不費(fèi)力、輕而易舉地就畫成了，竟要這么高的價(jià)錢?〞國(guó)王問。于是畫家領(lǐng)著國(guó)王走遍他的房子，每個(gè)房間都放著一堆堆畫著孔雀的畫紙。畫家說：“這個(gè)價(jià)錢是十分公正的，看起來毫不費(fèi)力而簡(jiǎn)單的