概率論中幾種具有可加性的分布及其關(guān)系及概率-摸球問題

概率論中幾種具有可加性的分布及其關(guān)系②取自然數(shù)的時候，有1.4.1伽瑪分布的定義定義1.4如果隨機變量的密度函數(shù)為就稱作服從伽瑪分布，記為且的值均大于0.為伽瑪分布的形狀參數(shù)，為其尺度參數(shù).當時，為嚴格單調(diào)遞減的函數(shù)，在處取得奇異點；當時，亦嚴格單調(diào)減，且時有當時，為單峰函數(shù)，先上凸然后下凸；當時，先下凸再上凸，最后下凸.而且隨著的增大，逐漸接近于正態(tài)分布的密度函數(shù).1.4.2伽瑪分布的可加性定理1.4.1設(shè)隨機變量且和彼此獨立，則證明知且與彼此獨立，所以此即為的特征函數(shù)，根據(jù)惟一性定理則可知結(jié)論得證！如正態(tài)分布，對于伽瑪分布，我們同樣可以利用連續(xù)場合的卷積公式對其可加性進行證明，詳見文獻[5];1.5柯西分布[4]1.5.1柯西分布的密度函數(shù)柯西分布是幾個常見的連續(xù)分布之一.它的密度函數(shù)為時的柯西分布密度函數(shù)稱為標準柯西分布密度函數(shù)，即為方便起見，往后我們分別記這兩類密度函數(shù)為和對于柯西分布的數(shù)學期望和方差，因所以不收斂，故柯西分布的數(shù)學期望與方差均不存在.1.5.2柯西分布的可加性定理1.5.1設(shè)隨機變量且彼此獨立，則有證明因均服從于柯西分布，且的特征函數(shù)分別是又因彼此獨立，所以這恰好就是參數(shù)為的柯西分布的特征函數(shù)，所以即證！1.6卡方分布（分布）1.6.1卡方分布（分布）的定義及密度函數(shù)定義1.6[7]設(shè)獨立同分布與標準正態(tài)分布分布則稱所服從的分布為自由度為的卡方分布，記為卡方分布的密度函數(shù)為1.6.2卡方分布可加性卡方分布密度函數(shù)的圖像是一個只取非負值的偏態(tài)圖像.它的圖像隨著自由度的增加而逐漸趨于對稱，當自由度時，其圖像趨于正態(tài)分布的圖像.這也從另一個側(cè)面告訴我們，卡方分布是由其自由度決定的，不同的自由度對應(yīng)了不同的卡方分布.由1.6.1，我們可以知道卡方分布即伽瑪分布的一個特例，所以由伽瑪分布的可加性我們易知卡方分布亦滿足可加性定理，即定理1.6.1[5]設(shè)且彼此獨立，則有證明由卡方分布的定義，設(shè)且彼此獨立.則有，從從卡方分布的定義，因此即證！2具有可加性的概率分布間的關(guān)系2.1二項分布的泊松近似[4]當?shù)娜≈岛艽髸r，二項分布的計算是令人頭疼的.這里介紹了泊松分布的一個十分有用的特性，我們可利用泊松分布作為二項分布的一種特殊近似，即二項分布的泊松近似.下面我們來看泊松定理，當取值較大，而取值偏小的情況下使用泊松定理，可大大減小二項分布的計算量.定理2.1[8]（定理)在重伯努利試驗中，記事件在每次試驗中發(fā)生的概率為它與試驗發(fā)生的次數(shù)有關(guān)，若當時，有即則對任意給定的（為非負整數(shù)），有證明設(shè)則有所以由已知有，則對于給定的值，有且；所以有即證！因定理的條件之一為所以在二項分布的計算中，若值很大，的值卻很小，且的大小適中時（一般認為當且時），二項分布可以使用參數(shù)為的泊松分布來做近似，即有此即為二項分布的泊松近似，而且的值應(yīng)盡可能的大，這樣計算結(jié)果才能更精確.二項分布的泊松近似經(jīng)常被用于稀有事件（即每次試驗中事件發(fā)生的概率很?。┑难芯恐?，大量實例表明，一般情況下概率時，泊松近似非常好用，甚至的取值不必很大.2.2二項分布的正態(tài)近似定理2.2[7]（棣莫佛-拉普拉斯（）極限定理）設(shè)隨機變量（），則對任意的實數(shù)，有證明因隨機變量服從二項分布，所以可看做是個相互獨立的且服從于同一參數(shù)的兩點分布的隨機變量的和，即而且根據(jù)中心極限定理，有定理得證！中心極限定理說明，相當大時，服從二項分布的隨機變量的概率的計算服從正態(tài)分布的隨機變量的計算.也就是說，二項分布可以用正態(tài)分布來近似計算.比如，在比較大的時候的計算量時十分大的.根據(jù)中心極限定理，因近似服從于標準正態(tài)分布，或者說是近似服從于分布，也就是說對于有我們只需查一下標準正態(tài)分布表，就可以求出我們需要的相當精確的值.但是，當較大或者較小時近似效果可能差一些，利用公式時的值最好滿足另外，因二項分布是離散分布，正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以在我們實際的應(yīng)用中，為減小誤差，常常使用來替換式.2.3正態(tài)分布與泊松分布之間的關(guān)系[9]由上面的定理2.1和定理2.2我們可以知道，二項分布可以用泊松分布來做近似，同樣也可以用正態(tài)分布來近似.所以，從某個方面來說，泊松分布與正態(tài)分布也具有某種近似的關(guān)系，首先我們來看特征函數(shù)的連續(xù)性定理.定理2.3.1[11]分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)的充分必要條件是它的相應(yīng)的特征函數(shù)列收斂于的特征函數(shù)定理2.3.2[11]設(shè)隨機變量則有證明知服從泊松分布，則的特征函數(shù)為所以的特征函數(shù)是對于任何一個我們有所以有因此對于任意的點列有又知是標準正態(tài)分布的特征函數(shù)，因此由連續(xù)性定理可以得到，由的任意性，所以有成立.我們來看泊松分布的正態(tài)逼近.定理2.3.3[8]對于任意的有其中其證明見文獻[8].由前可知，的正態(tài)近似與泊松近似的條件是不同的，當?shù)娜≈堤貏e小時，哪怕的值不是太大，用泊松分布來近似二項分布也是可以的.但在這種情況下，用正態(tài)近似卻是不合理的.我們可以想象，若值很小，但的值也不是太大，則的值肯定不會很大，而由定理2.3.1，我們可知，此時正態(tài)分布就不可能很好的進行泊松近似.2.4正態(tài)分布與柯西分布、卡方分布及卡方分布與伽瑪分布之間的關(guān)系首先來看正態(tài)分布與柯西分布的關(guān)系.定理2.4.1設(shè)且與獨立同分布，記,則.證明易知的取值范圍是，所以對于，我們利用商的公式，可以得到這正是時的柯西分布的密度函數(shù)，所以結(jié)論得證！正態(tài)分布與卡方分布的關(guān)系如下：定理2.4.2若隨機變量則定理證明見文獻[10].這說明了標準正態(tài)分布與自由度為1的卡方分布之間的關(guān)系.若且彼此獨立，記，根據(jù)卡方分布的定義，我們知服從自由度為的卡方分布.對于伽瑪分布，當其參數(shù)時即為自由度為的卡方分布，記為3小結(jié)文章第一部分我們討論了六種具有可加性的分布以及它們的簡單性質(zhì)，上述分布的可加性均可利用卷積公式或者特征函數(shù)進行證明.正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，一般地，如果某個數(shù)量指標受到大量隨機因素影響，而每一因素起的作用很小，則這個數(shù)量指標就近似服從正態(tài)分布.在第二部分里研究了二項分布、正態(tài)分布與泊松分布的關(guān)系，從此處我們可以知道二項分布不僅可以用泊松分布近似，同樣也可由正態(tài)分布來近似.參考文獻[1]羅建華.卷積公式的應(yīng)用注記[J].中南林業(yè)科技大學學報，2007年，第27卷，第1期：152頁.[2]李賢平，沈崇生，陳子毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].上海：復旦大學出版社，2003.5：221-231.[3]唐玲，徐懷.復合泊松分布和泊松過程的可加性[J].安徽建筑工業(yè)學院學報，2007.05：83頁.[4]郭彥.對柯西分布性質(zhì)的進一步討論[J].淮陰工學院學報，2005.05：12頁.[5]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2004.7:155-160;[6]王梓坤.概率論基礎(chǔ)及應(yīng)用[M].北京：北京師范大學出版社，1996.3:61-64.[7]宋立新.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：人民大學出版社，2003.9:176-177.[8]于洋.淺析二項分布、泊松分布和正態(tài)分布之間的關(guān)系[J].《企業(yè)科技與發(fā)展》，2008年第20期：120頁.[9]魏宗舒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，1983.10:208-211.[10]孟凡華.淺談幾種概率分布之間的相互關(guān)系[J].信陽農(nóng)專學報，1992年第3卷第2期:63-65.[11]王淑云.特征函數(shù)及其應(yīng)用[J].邯鄲學院學報，2008年第18卷第3期:52-56.高二復習公開課《摸球問題的三種題型及解題方法》摸球問題是古典概型中一類重要而常見的問題。由于摸球的方式、球色的搭配及最終考慮的問題不同,其內(nèi)容可以說是形形色色、千差萬別。在高考中以摸球為背景的概率問題多種多樣，但同學們對這一類問題始終不能很好地分析和解答，為此有必要對以摸球為背景的問題類型做一次深入的歸納總結(jié)，以期讓同學提高解決這一類問題的能力。下面我們通過三個典型的摸球問題來闡述解決此類問題的思想方法。引例：盒中裝有大小、重量相同的5個小球，其中白色2個，黑色3個，求下列事件的概率：（1）從中摸出3個小球，恰有一個是白色；（2）連續(xù)摸球3次，每次摸一個，摸后不放回，第三次摸到白球；（3）連續(xù)摸球三次，每次摸一個，摸后放回，恰有兩次摸到白球。總結(jié)：以上三個問題，分別代表了摸球問題中常見的三種類型，即（1）一次性摸?。好虻奶攸c：一次摸夠，元素不重復，無順序。解決的方法：用組合的思想去解決。（2）逐次、每次不放回摸取:摸球的特點：每次只摸一個，若干次摸夠，元素不重復，但有順序。解決的方法：用排列的思想或分步計數(shù)原理去解決。（3）逐次、每次有放回摸取:摸球的特點：每次只摸一個，若干次摸夠，元素重復，同一個（種）球每次被摸到的概率都一樣。解決方法：獨立重復實驗?zāi)呈录『冒l(fā)生k次的概率。為了讓大家更好地理解并應(yīng)用這三種思想方法來解決相關(guān)問題，我們再通過三個三個例題來加深大家的印象：例1.一個口袋中裝有大小相同的2個白球和4個黑球。（1）從中摸出兩個球，求兩球顏色不同的概率；（2）采取不放回的抽樣方式，從中摸出兩個球，求兩球顏色不同的概率。例2.袋中有同樣的小球5個，其中3個紅球，2個黃球，現(xiàn)從中隨機且不放回地摸球，每次摸一個，當兩種顏色的小球都被摸到時，即停止摸球，求至少摸球三次才停止游戲的概率。例3.袋子中有若干個均勻的小球，其中紅球5個，白球10個。從袋中有放回地摸球，每次摸一個，有3次摸到紅球即停止。求恰好摸5次停止的概率是多少？總結(jié)：（1）解決此類問題，審題時注意看是否有“放回”、“不放回”、逐次（或逐個）”等關(guān)鍵詞，借助于它們可以辨別該問題屬于哪一類題型，若沒有這些詞匯更要注意正確理解題意，以便采取恰當?shù)慕忸}思想和方法。（2）排列組合是解決摸球問題的基本功，應(yīng)在平時復習中加強排列組合問題的解題能力。例4．袋中有10個球,其中7個紅球3個白球,,則（1）從中取2個，先摸到紅球，后摸到白球的概率是（2）從中取2個，后一個摸到的是紅球的概率是例5.已知盒中裝有3只螺口與7支卡口燈泡,這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著,現(xiàn)需要一只卡口燈泡使用,電工師傅每次從中任取一只并不放回,則他直到第3次才取得卡口燈泡的概率為;他三次內(nèi)取得卡口燈泡的概率為例6:（山東卷）盒中裝著標有數(shù)字1，2，3，4的卡片各2張，從盒中任取3張，每張卡片被抽出的可能性都相等，求：(Ⅰ)抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率；(Ⅱ)抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概率；(Ⅲ)抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率.解：（=1\*ROMANI）“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4”的事件記為A，由題意（=2\*ROMANII）“抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3