江蘇省高郵市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月學(xué)情調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省高郵市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月學(xué)情調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若兩條直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得：，解得.故選：C.2.拋物線的焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以到點(diǎn)的距離為.故選：B.3.已知數(shù)列中，且，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，即，兩邊同時(shí)除以得：，即，令，則，則是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，即，則，則.故選：D4.設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故選：A．5.已知圓與圓，若與有且僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓可化為，圓心，半徑；圓可化為，圓心，半徑；因?yàn)榕c有且僅有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，所以，即，解得.故選：D6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】是等差數(shù)列，∴，又，所以，公差，因此中，當(dāng)時(shí)遞減，是最小值，從開始，遞增，又，，所以使得的最大的為11，故選：C．7.已知雙曲線，是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知，，，則，，，.在中，由余弦定理可得：，即，解得．因?yàn)?，則．因?yàn)?，所以，解得．又因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線，所以，則.故選：A8.已知橢圓，P是橢圓C上的點(diǎn)，是橢圓C的左右焦點(diǎn)，若恒成立，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，，，，因?yàn)?，所以，又，所以時(shí)，取得最大值，恒成立，則，變形得，又，故解得，故選：D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列說法正確的有（）A.若直線的斜率越大，則直線的傾斜角就越大B.直線必過定點(diǎn)C.直線與直線的距離為D.斜率為，且在軸上的截距為2的直線方程為【答案】BC【解析】對(duì)于A，當(dāng)斜率為時(shí),傾斜角為，當(dāng)斜率為時(shí),傾斜角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將直線化為，則，解得，即直線必過定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，將直線化為，則這兩平行直線間的距離為，故C正確；由斜截式方程的定義可知斜率為，且在軸上的截距為2的直線方程為，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可得：對(duì)A，，A正確；對(duì)B，，B錯(cuò)誤；對(duì)C，，C錯(cuò)誤；對(duì)D，，D正確.故選：AD11.已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過拋物線的焦點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，則（）A.拋物線的方程是 B.C當(dāng)時(shí)， D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則，可得，所以拋物線的方程為，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與軸重合，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，所以直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，則，所以，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，即，則，因?yàn)?，可得，則，則，此時(shí)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，同理可得，所以，所以，D對(duì).故選：ABD.12.對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列，定義：為數(shù)列的“勻稱值”．已知數(shù)列的“勻稱值”為，的前n項(xiàng)和為，則下列關(guān)于數(shù)列的描述正確的有（）A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列為等差數(shù)列C.D.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則【答案】BCD【解析】由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，，由得，，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由知，滿足，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故錯(cuò)誤，正確；因?yàn)?，所以，故，故正確；因?yàn)?，所以，故正確.故選：.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)將答案填在答題卡中的橫線上.）13.若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為，則實(shí)數(shù)的值為_________．【答案】【解析】由于橢圓焦距為，所以，由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，所以，解得.故答案為：14.已知為等比數(shù)列，公比，，且成等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式_________．【答案】【解析】由成等差數(shù)列，且，得，解得或，又，所以，所以，故答案為：.15.已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離分別為和，且，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為_________.【答案】【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，由題意可得，整理得，即，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是半徑為，圓心為的圓，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以點(diǎn)到此直線的最大距離為．故答案為：.16.在數(shù)列中，，，若對(duì)于任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_________．【答案】【解析】，故，設(shè)，則，，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，，，即，即恒成立，設(shè)，設(shè)的最大項(xiàng)為，則，解得，故第4項(xiàng)或者第5項(xiàng)最大為，故故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，解得：，所以．?）因?yàn)?，所以，所?18.已知圓的圓心在直線上且與y軸相切于點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過點(diǎn)且被圓截得的弦長為，求直線l的方程.解：（1）圓的圓心在直線上且與軸切于點(diǎn)，可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，解得，.所以圓心，半徑，故圓的方程為.（2）由直線l過點(diǎn)且被圓C截得的弦長為，根據(jù)圓的弦長公式，可得，即，解得，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的方程為，此時(shí)不滿足條件；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則方程為，即，可得，解得或，所以直線方程為或.19.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1），，.故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）設(shè)切點(diǎn)為，，切線方程為，.切線經(jīng)過原點(diǎn)，故，所以，，故，切點(diǎn)為，切線方程為，即過原點(diǎn)的切線方程為，切點(diǎn)為.20.已知數(shù)列（1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，所以，即，又，則.所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，則，則，，兩式相減得，.所以．21.在平面直角坐標(biāo)系中，存在兩定點(diǎn)，與一動(dòng)點(diǎn).已知直線與直線的斜率之積為8.（1）求點(diǎn)A的軌跡方程；（2）記的左、右焦點(diǎn)分別為、，過定點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn).若、兩點(diǎn)滿足，求直線的方程.解：（1）設(shè)，由題意，化簡(jiǎn)可得.所以點(diǎn)A的軌跡方程為.（2）由題設(shè)過定點(diǎn)的直線方程為，將其與聯(lián)立有：，消去y得：，因交于、兩點(diǎn)，則，解得：.設(shè)，則由韋達(dá)定理有：..又，則，同理，又因?yàn)?，所?又，所以，即，解得，則直線的方程為：或.22.已知橢圓的長軸長為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）直線交于兩點(diǎn)，為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對(duì)角線，求四邊形