浙江省溫州新力量聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1浙江省溫州新力量聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.直線：在軸上的截距是（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】將變形為，所以在軸上的截距是，故選：A.2.圓與圓的位置關(guān)系是（）A相離 B.相交 C.內(nèi)切 D.外切【答案】B【解析】因?yàn)?，兩圓的半徑分別為，所以，所以相交，故選：B.3.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，，所以共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，假設(shè)共面，則存在，使得，則共面，這與可構(gòu)成空間的一個(gè)基底矛盾，所以不共面，故C正確；對(duì)于D，，所以共面，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.正方體分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，以的原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B5.直線：在橢圓上截得的弦長(zhǎng)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)與橢圓交于，聯(lián)立可得，且，，所以，故選：D.6.點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線是動(dòng)直線，則點(diǎn)到直線的距離的最大值是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，令，所以，所以過定點(diǎn)，又因?yàn)?，所以在圓外，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離的最大值即為到的距離，又因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故選：C.7.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知?jiǎng)t離心率，故選D.8.已知是圓的一條弦，且，是的中點(diǎn)，當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長(zhǎng)度的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圓，可得，所以圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，且是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為,可其圓心為，半徑為，若直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則以為直徑的圓要包含圓，又由圓心到直線的距離為，所以的長(zhǎng)度的最小值為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.已知直線的方向向量是，兩個(gè)平面的法向量分別是，則下列說法中正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則【答案】AD【解析】若，則，故A正確；若，則或在內(nèi)，故B錯(cuò)；若，則，故C錯(cuò)；若，則，故D正確.故選：AD.10.已知點(diǎn)橢圓上一點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)是，則下列說法中正確的是（）A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是9 B.橢圓焦距是C.存在使得 D.三角形的面積的最大值是【答案】BCD【解析】，所以，對(duì)于A：因?yàn)?，所以長(zhǎng)軸為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以焦距為，B正確；對(duì)于C：當(dāng)取到上頂點(diǎn)時(shí)此時(shí)取到最大值，此時(shí)，，所以，所以此時(shí)為鈍角，所以存在使得，C正確；對(duì)于D：當(dāng)取到上頂點(diǎn)時(shí)此時(shí)三角形的面積取到最大值，此時(shí)，D正確，故選：BCD11.已知兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.存在使最小 B.存在使最小C.存在使最小 D.存在使最小【答案】ABD【解析】對(duì)于A：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為與交點(diǎn)時(shí)滿足題意，又因?yàn)?，即，所以，所以，所以，故A正確；對(duì)于B：設(shè)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值，此時(shí)，所以，故B正確；對(duì)于C：如下圖，根據(jù)與的位置關(guān)系可判斷出有最大值，無最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，取等?hào)時(shí)，即為垂直平分線與的交點(diǎn)，因?yàn)榇怪逼椒志€方程為，即，所以，所以，所以，故D正確；故選：ABD.12.已知曲線，則（）A.曲線上兩點(diǎn)間距離的最大值為B.若點(diǎn)在曲線內(nèi)部（不含邊界），則C.若曲線與直線有公共點(diǎn)，則D.若曲線與圓有公共點(diǎn)，則【答案】BC【解析】當(dāng)時(shí)，，圓心；當(dāng)時(shí)，，圓心；當(dāng)時(shí)，，圓心；當(dāng)時(shí)，，圓心；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，作出在平面直角坐標(biāo)系下的圖象如下圖：對(duì)于A：上任意兩點(diǎn)距離的最大值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)樵谥本€上，所以，所以或，若點(diǎn)在曲線內(nèi)部（不含邊界），則有，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)直線與相切時(shí)，如下圖所示：若與在第二象限相切時(shí)，則到的距離等于圓的半徑，所以，所以或（舍），若與在第四象限相切時(shí)，則到的距離等于圓的半徑，所以，所以或（舍），結(jié)合圖象可知曲線與直線有公共點(diǎn)時(shí)有，故C正確；對(duì)于D：如下圖所示：因?yàn)榕c坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以當(dāng)剛好經(jīng)過與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)剛好與在四個(gè)象限都相切時(shí)，，所以曲線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，故D錯(cuò)誤；故選：BC.選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.直線：的傾斜角是______.【答案】【解析】因?yàn)橹本€：，斜率，故傾斜角為.故答案為：.14.如圖，圓和圓的圓心分別為，，半徑都為，寫出一條與圓和圓都相切的直線的方程：__________.【答案】（或或，答案不唯一，寫出一個(gè)即可）.【解析】由已知，圓和圓的半徑，圓心距為，∴圓和圓相外切.如圖易知與圓和圓都相切的直線斜率存在，設(shè)其方程為，即，則到直線的距離，①到直線的距離，②由①、②得，即或即，∴解得或或，∴與圓和圓都相切的直線的方程為或或.故答案為：（或或，答案不唯一，寫出一個(gè)即可）.15.正四面體的所有棱長(zhǎng)都是2，分別是，的中點(diǎn)，則______.【答案】【解析】正四面體的所有棱長(zhǎng)都是2，分別是，的中點(diǎn)，則，，因此.故答案為：16.如圖，三角形中，，，為中點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折到位置，使點(diǎn)在平面上的射影落在線段上，則當(dāng)變化時(shí)，二面角的余弦值的最小值是______.【答案】.【解析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的射影為點(diǎn)，所以平面，所以，又因?yàn)椋?，所以平面，所以，所以二面角的平面角為，且，又因?yàn)?，所以，易知三點(diǎn)共線，且，則，在平面中建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示：設(shè)，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的射影為點(diǎn)，所以可知，又，所以，，所以，，所以，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，所以，故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知直線和直線的交點(diǎn)為.（1）求過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程；（2）求線段（為原點(diǎn)）的垂直平分線的方程.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，代入，所以，所以，所以.（2）因?yàn)榍抑悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以的垂直平分線方程為，即為.18.已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過，兩點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）直線：與圓交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）圓過點(diǎn)，，則點(diǎn)在線段的中垂線上，由，得點(diǎn)，圓的半徑，所以圓的方程為.（2）直線被圓所截弦長(zhǎng)，則點(diǎn)到直線的距離，因此，解得所以實(shí)數(shù)的值為.19.如圖，已知四棱錐中，平面，，，，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平?（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，，，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.為了保證我國(guó)東海油氣田海域的海上平臺(tái)的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺(tái)的正東方向設(shè)立了觀測(cè)站，在平臺(tái)的正北方向設(shè)立了觀測(cè)站，它們到平臺(tái)的距離分別為6海里和海里，記海平面上到觀測(cè)站和平臺(tái)的距離之比為2的點(diǎn)的軌跡為曲線，規(guī)定曲線及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū)（如圖）.（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，1海里為單位長(zhǎng)度，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線的方程；（2）海平面上有漁船從出發(fā)，沿方向直線行駛，為使?jié)O船不進(jìn)入預(yù)警區(qū)，求取值范圍.解：（1）根據(jù)已知條件設(shè)且，，由，有，，，，整理有，是以為圓心，為半徑的圓.，所以曲線的方程為：.（2），過的直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直，所以直線截距式方程為，化為一般式方程為，根據(jù)題意，臨界情況下直線與圓相切，圓心到直線距離為圓的半徑4，且，解得，所以綜上可知的取值范圍為.21.如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，點(diǎn)分別是線段，的中點(diǎn)，二面角為直二面角.（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.解：（1）連接，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，三角形為等邊三角形，所以，，因?yàn)闉槿庵?，，所以四邊形為菱形，，則，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平?（2）連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以為等邊三角形，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，，設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，因?yàn)槠矫?，所以可以作為平面的一個(gè)法向量，設(shè)銳二面角為，則，因?yàn)?，所以，，，所以銳二面角的余弦值得范圍為.22.如圖，已知橢圓的