2024屆江西省部分學(xué)校高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat20頁2024屆江西省部分學(xué)校高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合只有一個(gè)元素，則a的值為（）A．0 B．1 C．0或1 D．—1【答案】C【詳解】因?yàn)榧现挥幸粋€(gè)元素，所以或或，選C.2．若直線，，則直線間的位置關(guān)系是A．平行 B．異面或平行 C．相交 D．異面【答案】B【解析】利用空間中線線，線面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】解：若直線，，則直線間的位置關(guān)系是平行或異面，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.3．若k∈R則“k>5”是“方程表示雙曲線”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線意義，求得k的取值范圍；結(jié)合充分及必要關(guān)系即可判斷．【詳解】若k>5，則所以方程表示雙曲線若方程表示雙曲線，則所以或綜上可知，“k>5”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件所以選A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，充分及必要條件關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．4．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念結(jié)合復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算求解.【詳解】∵，則，∴.故選：C.5．已知函數(shù)y＝f(x)的表達(dá)式為f(x)＝|log2x|，若0＜m＜n且f(m)＝f(n)，則2m+n的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式和的取值范圍可求出mn＝1，從而利用基本不等式即可求出2m+n的取值范圍.【詳解】因?yàn)閒(x)＝|log2x|，0＜m＜n且f(m)＝f(n)，所以，即，所以mn＝1．∴2m+n≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)2m＝n，即時(shí)等號(hào)成立．故2m+n的取值范圍為.故選：D．6．雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，，，兩點(diǎn)在雙曲線上，且，，線段交雙曲線于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，線段交雙曲線于點(diǎn)，且確定的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可求出雙曲線的離心率．【詳解】因?yàn)?，，所以，則由對(duì)稱性可知，因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，則，將代入雙曲線，可得，，消去得，故．故選：D.7．已知無窮正整數(shù)數(shù)列滿足，則的可能值有（

）個(gè)A．2 B．4 C．6 D．9【答案】C【分析】變形給定的遞推公式，由，推導(dǎo)出矛盾，從而得，再代入即可分析求解.【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，于是，依題意，若，有，則，即是遞減數(shù)列，由于是無窮正整數(shù)數(shù)列，則必存在，使得與矛盾，因此，即，于是數(shù)列是周期為2的周期數(shù)列，當(dāng)時(shí)，由，得，即，從而，所以的可能值有6個(gè).故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，結(jié)合已知條件探討項(xiàng)間關(guān)系而解決問題.8．已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，則b的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化問題為，恒成立，令，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，從而求得最值，可得，，進(jìn)而結(jié)合不等式的基本性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意，即，恒成立，即，即，即．令，，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．又，，，且，即，所以的最小值為，最大值為．由知，，，設(shè)，即，則，解得，，所以，因?yàn)?，，所以，，則，即，所以b的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為，恒成立，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析其最值，最后結(jié)合不等式的基本性質(zhì)求解.二、多選題9．已知直線，直線，則（

）A．當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)為 B．直線恒過點(diǎn)C．若，則 D．存在，使【答案】ABC【分析】將代入解得兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為可判斷A；令解得可判斷B，由直線垂直的條件可判斷C，由直線平行的條件可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線，直線，聯(lián)立解得所以兩直線的交點(diǎn)為，故A正確；對(duì)于B，直線，令解得即直線恒過點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C：若，則，解得，故C正確；對(duì)于D，假設(shè)存在，使，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，舍去，當(dāng)時(shí)，直線，直線，兩直線重合，舍去，所以不存在，使，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．在中，，，，是邊上的一點(diǎn)，則（

）A． B．外接圓的半徑是C．若，則 D．若是的平分線，則【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式判斷A選項(xiàng)，應(yīng)用余弦定理及正弦定理判斷B選項(xiàng)，應(yīng)用向量加減法判斷C選項(xiàng)，根據(jù)面積公式求解判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由余弦定理，得，解得，由正弦定理，得外接圓的半徑是，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，所以，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由等面積法，得即，解得，故選項(xiàng)D正確；故選：.11．設(shè)向量滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式，將平方后，即可判斷A；由已知變形得，平方后即可求，即可判斷B；利用向量模的數(shù)量積公式即可判斷C；根據(jù)向量數(shù)量積的夾角公式，即可判斷D.【詳解】將平方得，由，，得，故A正確；由平方得，得，所以，故B不正確；因?yàn)?，所以，所以，所以，即，故C正確；由選項(xiàng)C可得，，與C同理可得，，，所以，故D正確．故選：ACD12．定義數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A．是單調(diào)遞減數(shù)列 B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)，得，結(jié)合選項(xiàng)利用各項(xiàng)間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)一次求解即可.【詳解】由題意得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，若，又因?yàn)?，則，則，又因?yàn)?，所以，所?對(duì)A：設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以時(shí)，，所以，所以，由，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，則，同理得，當(dāng)時(shí)，，所以，故數(shù)列單調(diào)遞減，選項(xiàng)A正確；對(duì)B：需證明，令，令，則，成立，所以，選項(xiàng)B正確；對(duì)C：，設(shè)，設(shè)，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以隨著減小，從而增大，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，根據(jù)選項(xiàng)B可知，，當(dāng)時(shí)，，即，選項(xiàng)D正確．故選:ABD【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，結(jié)合構(gòu)造的模型函數(shù)進(jìn)行求解.三、填空題13．已知函數(shù)，若，則．【答案】2【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】解：函數(shù)，，，．故答案為：．14．飛鏢運(yùn)動(dòng)于十五世紀(jì)興起于英格蘭，二十世紀(jì)初，成為人們?cè)诰瓢扇粘Ｐ蓍e的必備活動(dòng).某熱愛飛鏢的小朋友用紙片折出如圖所示的十字飛鏢，該十字飛鏢由四個(gè)全等的四邊形拼成.在四邊形中，，，，，點(diǎn)是八邊形內(nèi)（不含邊界）一點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)，作，延長(zhǎng)至點(diǎn)，作，過點(diǎn)作，垂足為，再利用向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而根據(jù)的位置確定取值范圍即可【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，作，延長(zhǎng)至點(diǎn)，作，過點(diǎn)作，垂足為.，..當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，.故的取值范圍是.故答案為：15．已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且在上單調(diào)遞減，則的最大值為.【答案】【分析】由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上得到，再結(jié)合在上單調(diào)遞減，求得函數(shù)即可.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以.又在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，易知的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的最大值為.故答案為：16．已知，，為曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線與曲線在第一象限的交點(diǎn)，直線為曲線在點(diǎn)P處的切線，若三角形的內(nèi)心為點(diǎn)M，直線與直線交于N點(diǎn)，則點(diǎn)橫坐標(biāo)之差為．【答案】【分析】由題意寫出明確兩曲線的焦點(diǎn)，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出P點(diǎn)處的切線方程，利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合雙曲線幾何性質(zhì)求出三角形內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)，再表示出直線的方程，聯(lián)立解得N點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可求得答案.【詳解】由題意得，，為曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為曲線與曲線在第一象限的交點(diǎn)，即C、E有相同的焦點(diǎn)，則，聯(lián)立，消去，得，又，可得，對(duì)于橢圓，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，令，則橢圓化為圓，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)即為，由圓上一點(diǎn)處的切線方程可知在處的切線方程為，故可得橢圓在處的切線方程為，故由直線為曲線在點(diǎn)處的切線，P點(diǎn)在第一象限，則，可得直線方程為①，設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，由等面積得，，則②，又P在雙曲線上，設(shè)三角形內(nèi)切圓圓心，各邊上的切點(diǎn)分別為，如圖：由圓的切線性質(zhì)得，則，即，即M點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，由，可得直線的方程為③，聯(lián)立①②③，化簡(jiǎn)可得，又，故.故答案為：四、解答題17．在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求；(2)為邊上一點(diǎn)，，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知等式去分母，正弦定理邊化角，利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，可得角；（2）由且，利用向量法求得，再結(jié)合余弦定理求和.【詳解】（1）已知，由，有，所以，兩邊同乘以abc得：．由正弦定理得：．由，，所以，．（2）取、為平面向量的基底．因?yàn)镈在BC邊上，且，所以．因?yàn)?，所以，則即，得，所以，．不妨設(shè)，．在中，由余弦定理：，所以．由余弦定理：．18．2023年9月23日第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州開幕，本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目.為研究不同性別學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況，某學(xué)校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件“了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，.附：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(1)根據(jù)已知條件，填寫下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)?了解不了解合計(jì)男生女生合計(jì)(2)現(xiàn)從該校了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取9名學(xué)生，再?gòu)倪@9名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)列聯(lián)表見解析，該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無關(guān)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）根據(jù)題中所給條件填寫表格，寫出零假設(shè)，根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算出值，與比較，得出結(jié)論即可.（2）根據(jù)題意知其服從超幾何分布，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以?duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目了解的女生為，了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生為，結(jié)合男生和女生各50名，填寫2×2列聯(lián)表為：了解不了解合計(jì)男生153550女生302050合計(jì)4555100零假設(shè)：該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷成立，即該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無關(guān).（2）由（1）知，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取9名學(xué)生，其中男生人數(shù)為（人）；女生人數(shù)為（人），由題意可得，隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3.，，，.隨機(jī)變量的分布列如下：0123則.五、問答題19．已知數(shù)列中，，，數(shù)列中，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使得恒成立的最大正整數(shù)的值.【答案】（1）；；（2）6.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，再與相減可得，從而得到是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，易得是常數(shù)列且，即可得到答案；（2）利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的前項(xiàng)和為，求出的最小值，再解不等式，即可得到答案；【詳解】解：（1）由題意知，∴當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，∴，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴.數(shù)列中，，，∴是常數(shù)列且∴.（2）由（1）知，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，，兩式相減可得，∴，顯然單調(diào)遞增，∴，故恒成立，即恒成立，解得，所以最大正整數(shù).六、證明題20．如圖，在四棱臺(tái)中，底面是中點(diǎn)．底面為直角梯形，且．

(1)證明：直線平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意先證平面，進(jìn)而可得，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)線面垂直的判定定理分析證明；（2）建系，分別求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，底面，則，由題意可知：，且平面，所以平面，且平面，可得，不妨設(shè)，由題意可得：，可知：，即，且，平面，所以直線平面.（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，

則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，可得，設(shè)二面角為，則，所以二面角的正弦值.七、解答題21．已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為．橢圓的中心為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，且．(1)求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)．記和的面積分別為和，是否存在直線，使得？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)存在，其方程為或【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)直接可得拋物線方程，再設(shè)，，結(jié)合，可得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，可得面積，再根據(jù)，可得直線方程.【詳解】（1）由拋物線的焦點(diǎn)為，可知，所以，所以拋物線的方程為；設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，所以，，由，可得，又，所以，解得或（舍），則，所以橢圓方程為；（2）

由題意可知，直線的斜率一定不為，則設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線，得，，則，，所以的面積，聯(lián)立直線與橢圓，得，，則，，所以的面積，又，所以，解得，所以存在滿足條件的直線，且直線方程為或.【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．22．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值；(3)設(shè)實(shí)數(shù)a使得對(duì)恒成立，求a的最大整數(shù)值.【答案】(1)(2)(3)-2【分析】（1）求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可得出切線方程；（2）求出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出最值即可；（3）依題意，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為在R恒成立，構(gòu)造函