專題5.5 三角恒等變換1（重點(diǎn)題型解題技巧）（解析版）2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點(diǎn)題型秒殺秘籍與滿分必刷（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第第頁專題5.5三角恒等變換1（重點(diǎn)題型解題技巧）【題型1三角函數(shù)和差、半角正余弦公式】【題型2三角函數(shù)非特殊角選擇問題】【題型3已知值求值問題】【題型4輔助角公式的基礎(chǔ)知識(shí)及妙用】題型1三角函數(shù)和差、半角正余弦公式三角函數(shù)和差、半角正余弦公式技巧總結(jié)①兩角和與差的正弦公式口訣：正余余正，符號(hào)相同故：②兩角和與差的余弦公式口訣：余余正正，符號(hào)相反③； ③二倍角公式①；②； ③；④降次（冪）公式⑤半角公式形如1、化簡(jiǎn)的值為（）A． B． C． D．解：（方法一），（方法二），故選：C．形如2、（）．A． B． C． D．解：由兩角差的余弦函數(shù)，可得，故選．形如3、（）．A． B． C． D．解：根據(jù)余弦的和角公式有．故選：A.1．計(jì)算的值（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】.故選：C．2．若，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦的差角公式得到，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又，所以，故選：D.3．已知銳角，滿足，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出、，由利用余弦的兩角差的展開式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以，因?yàn)?，為銳角，所以，所以，.故選：B.4．已知，均為銳角，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平方和關(guān)系求出、的值，再根據(jù)兩角和的余弦公式求出的值，即可得答案.【詳解】解：易知，，所以，又因?yàn)?，，所以，?故選：C.5．下列化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的和差角公式，代入計(jì)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】，所以A正確；，所以B正確；，所以C錯(cuò)誤；，所以D錯(cuò)誤．故選：AB．6．下列式子的運(yùn)算結(jié)果為的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用兩角和與差的正弦，余弦，正切公式化簡(jiǎn)及特殊角的三角函數(shù)求值，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，不符合題意；對(duì)于B，，符合題意；對(duì)于C，，不符合題意；對(duì)于D，，符合題意．故選:BD．7．已知角A，B是△ABC的內(nèi)角，且，，則．【答案】或【分析】先根據(jù)已知條件得到角A，B的正弦值和余弦值，然后直接由兩角和的余弦公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榻茿是△ABC的內(nèi)角，，所以，，因?yàn)榻荁是△ABC的內(nèi)角，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故答案為：或.8．已知，則.【答案】【分析】根據(jù)和差公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以?故答案為：-1.9．利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）（5）直接使用和差公式化簡(jiǎn)求值即可；（2）（3）（6）先使用和差公式或二倍角公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解；（4）先用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成和差公式形式，再有和差公式求解即可.【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）原式..（5）.（6）.10．求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角的余弦公式即可求解；（2）逆用兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】（1）.（2）.題型2三角函數(shù)非特殊角選擇問題三角函數(shù)非特殊角選擇問題技巧總結(jié)記住常見數(shù)據(jù)： 形如1、（）．A． B． C． D．解：原式所以原式一定為正的，排除BD而故答案為C形如2、的值為（）A． B． C． D．解：原式所以原式一定為正的，排除BD而故答案為A形如3、（）A． B． C． D．解：原式而故答案為A形如4、已知為銳角，，則（）A． B． C． D．解：∴故一定為負(fù)的故排除BD故答案為C1．計(jì)算（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將看成，根據(jù)誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得出答案.【詳解】.故選：D．2．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和的正弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：故選：C3．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】由誘導(dǎo)公式可知點(diǎn)即為，，由三角函數(shù)定義可知，平方利用兩角和的正弦計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】解：角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，即，由三角函數(shù)的定義可得，，所以．故選：．4．計(jì)算：（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將拆成，用兩角和的正弦計(jì)算即可.【詳解】解：.故選：D.5．的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角與的和，然后利用兩角和的正弦公式即可求解.【詳解】解：.故選：D.6．（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直接根據(jù)利用兩角差的正弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：∵，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查兩差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7．的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】,,故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式，特殊角的三角函數(shù)值，屬于容易題.8．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可利用誘導(dǎo)公式，考慮加上，再結(jié)合正弦的和角公式運(yùn)算即可【詳解】，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題9．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角和的正弦公式,將化簡(jiǎn),利用特殊角的三角函數(shù)值代入即可求得.【詳解】法一：.法二：故選:.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正弦公式,關(guān)鍵在于熟記公式,準(zhǔn)確化簡(jiǎn),難度較易.10．的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】將1變?yōu)椋倮谜械膬山遣畹墓接?jì)算即可.【詳解】.故選：B.題型3已知值求值問題基礎(chǔ)工具：①；；②；③；④；⑤．注意特殊的角也看成已知角，如．給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數(shù)表示；②將已知條件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時(shí)首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相互關(guān)系，并根據(jù)這些關(guān)系來選擇公式.1．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及倍角公式求解.【詳解】，故選：B2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)為，再利用二倍角余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，化為齊次式，結(jié)合齊次式法求值，即可得答案.【詳解】由題意知，故，故選：D3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)余弦的和差角公式，結(jié)合正弦二倍角公式即可求解.【詳解】，即，兩邊平方得，所以，故選:A.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式對(duì)已知三角函數(shù)值進(jìn)行三角恒等變換從而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?所以有，則.故選:D.5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)正切的兩角差公式求，然后利用二倍角公式和平方關(guān)系將所求化為齊次式，利用可求.【詳解】由，有，解得，則．故選：C．6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用換元法，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角公式，即可求得本題答案.【詳解】設(shè)，則，.故選：C7．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)求解即可.【詳解】由題意，即，即.故.故選：A8．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所求角用已知角表示，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式即可得解.【詳解】由，得.故選：B.9．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角正切公式求得，再利用拆角的方法結(jié)合兩角差的正切公式，即可求得答案.【詳解】由得，，而，故，故選：B10．設(shè)為銳角，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用角的變換表示，再利用兩角差的正弦公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，且，所?,.故選：B11．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用降冪公式及誘導(dǎo)公式即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.12．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)結(jié)合二倍角的余弦公式計(jì)算即可.【詳解】.故選：D.題型4輔助角公式的基礎(chǔ)知識(shí)及妙用三角函數(shù)輔助角公式技巧總結(jié)形如：第一步：第二步：等號(hào)左側(cè)若是加號(hào)，則等號(hào)右側(cè)也為加號(hào)，等號(hào)左側(cè)若是減號(hào)，等號(hào)右側(cè)也為減號(hào).第三步：的求算，只需在第一象限標(biāo)明點(diǎn)尋找夾角即可達(dá)到秒殺的境界.注意：若果，則需提負(fù)號(hào)，繼續(xù)遵循以上步驟形如1、若，那么（）A． B． C． D．解：第一步：第二步：坐標(biāo)為則∴∴第三步：設(shè)∴∴故選D形如2、已知為銳角，，則（）A． B． C． D．解:第一步：第二步：坐標(biāo)為則∴∴第三步：所以．故選：C．形如3、對(duì)于函數(shù)，給出下列選項(xiàng)其中正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．函數(shù)有最大值，沒有最小值解：第一步：第二步：坐標(biāo)為則∴第三步：對(duì)稱中心：峰值，故錯(cuò)周期：故錯(cuò) 單調(diào)性：峰值根據(jù)正弦走勢(shì)為遞增，故正確 最值：存在最大值與最小值1．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式求出a，根據(jù)輔助角公式求出b，根據(jù)兩角和的正切公式求出c，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，又，所以．故選：A.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計(jì)算即得.【詳解】由，得，即，所以.故選：A3．已知，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩角和與差的余弦公式以及輔助角公式即可得到答案.【詳解】.故選：B.4．的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知，化簡(jiǎn)可得，即可得出答案.【詳解】.故選：B.5．計(jì)算的值是（

）A． B．2C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式變形求解作答.【詳解】.故選：C6．已知，則．【答案】/0.875【分析】應(yīng)用輔助角公式得，令，解出，則，結(jié)合二倍角公式即可求.【詳解】由，得，即，令，則，，所以故答案為：.7．將下列各式化成的形式，其中，，．（1）；（2）；（3）．【答案】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】故答案為：，，8．關(guān)于x的方程有解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【答案】【分析】等價(jià)于方程有解，求出函數(shù)的值域即得解.【詳解】解：由題得方程有解，所以方程有解，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故答案為：9．化簡(jiǎn)以下式子：(1)；(2)；(